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    嘗試自己得出結論 促進數(shù)學核心素養(yǎng)提升

    2022-01-25 06:00:53廖蓓蓓
    教學月刊·小學數(shù)學 2022年2期
    關鍵詞:數(shù)學思考解決問題

    廖蓓蓓

    【摘? ?要】“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”是數(shù)學素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。學生經歷自己得出結論的過程,有助于鍛煉分析與解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學思維。以“積的變化規(guī)律”一課為例,教師通過“巧用素材、質疑解析、應用模型、方法遷移”等方式,引導學生經歷自己得出結論的過程,做到“言之有物、言之有據(jù)、言之有理、言之有瞻”。此外,教師結合教學實踐提出“給足學生參與的時空,允許學生有試錯的機會,提供人人有話說的素材”的思考,讓數(shù)學素養(yǎng)的培育落到實處。

    【關鍵詞】積的變化規(guī)律;數(shù)學思考;解決問題;自己得出結論

    “會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”是數(shù)學素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。學生經歷自己得出結論的過程,有助于鍛煉分析與解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學思維。然而在實際教學中,學生自己得出結論時常常偏離核心或過于直觀淺白,很難深入完整地對結論進行提煉。筆者以“積的變化規(guī)律”為例,談談如何為學生創(chuàng)設合適的學習環(huán)境,創(chuàng)造機會讓學生能參與自己得出結論的過程,提升自己得出結論的能力。

    一、教學內容分析

    人教版教材四年級上冊有探索“積的變化規(guī)律”這一內容,其中包括探索因數(shù)與積的協(xié)變關系,要求學生概述關系或以文字記錄規(guī)律等教學內容。

    “積的變化規(guī)律”是學生后續(xù)學習商的變化規(guī)律、運算定律、比例基本性質等內容的重要基礎,也是引導學生經歷抽象概括全過程,培養(yǎng)學生合情推理能力的好材料。從培養(yǎng)學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”這一角度看,這一內容的學習價值不僅僅體現(xiàn)在掌握“規(guī)律”本身,更重要的是讓學生經歷“數(shù)學思考”的過程,提升思維能力。

    二、教學過程介紹

    (一)巧用素材,使之“言之有物”

    在對教材中的素材進行梳理與調整的基礎上開始教學,引導學生在分析問題時做到“言之有物”。

    1.經歷初步形成結論的過程

    教師呈現(xiàn)研究問題:

    請你完成下面兩組計算,你發(fā)現(xiàn)了什么?把你發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象寫出來。

    6×2=(? )? ? ? 4×25=(? )

    6×20=(? )? ? 12×25=(? )

    6×200=(? )? ?48×25=(? )

    布置任務:①你發(fā)現(xiàn)了什么結論?②你是怎么發(fā)現(xiàn)這個結論的?③你覺得你發(fā)現(xiàn)的結論對嗎?怎么證明它是對的?

    交流學習:小組交流后得出以下三個結論。

    結論1:第一個因數(shù)不變,第二個因數(shù)乘10,積也乘10;第一個因數(shù)乘幾,第二個因數(shù)不變,積也乘幾。

    結論2:第一個或第二個因數(shù)不變,其余因數(shù)是倍數(shù)關系,積也是倍數(shù)關系。

    結論3:某一個因數(shù)乘幾,另一個因數(shù)不變,積就乘幾。

    2.辨析結論是否正確

    教師組織學生針對以上三個結論進行討論。因為結論1體現(xiàn)了規(guī)律從特殊到一般化的過渡,具有典型性,所以下面的教學圍繞此結論展開。

    (1)素材1:“第一個因數(shù)不變,第二個因數(shù)乘10,積也乘10”這個結論對嗎?

    生:對的。在左邊這組算式中,先看前面兩個算式。第一個因數(shù)6保持不變,第二個因數(shù)從2變?yōu)?0,也就是乘了10,積也從12變成120,也是乘10。

    生:從第2個算式到第3個算式也是這樣的。第一個因數(shù)不變,第二個因數(shù)乘了10,積也是乘10。

    師梳理并板書(如圖1):我們先理一理是怎么發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的。6不變,20=2×10,那么6×20=6×2×10,也就是“6×2”的積12再乘10。

    生:當20×10的時候,積就是(6×20)×10=120×10=1200。200也可以看作2×100,那么6×200=(6×2)×100=12×100=1200。

    生:6都不變,一個因數(shù)乘10,積就乘10;一個因數(shù)乘100,積就乘100。

    (2)素材2:“第一個因數(shù)乘幾,第二個因數(shù)不變,積也乘幾”這個結論對嗎?

    生:對的??梢钥从疫呥@組算式中的前兩個算式。算式中的第一個因數(shù)25一直保持不變,第二個因數(shù)從4變?yōu)?2,因為4×3=12,所以12×25=(4×25)×3=100×3=300。

    生:看第二組中的第1個算式和第3個算式,也有這樣的規(guī)律。4×12=48,那么48×25=(4×12)×25=(4×25)×12=100×12=1200。

    生:這句話在左邊這組算式中也適用。

    (3)比較結論優(yōu)劣,理解結論的一般化。

    教師引導學生對比前文中總結出的結論,對比“第一個因數(shù)不變,第二個因數(shù)乘10,積也乘10”和“第一個因數(shù)乘幾,第二個因數(shù)不變,積也乘幾”這兩句話,思考哪句話的表達更清晰、更準確。

    生:后面的好。第一句只講一種情況,后面是用一句話概括所有的情況。

    師:包括哪些情況?

    生:一個因數(shù)不變,另一個因數(shù)乘10,積就乘10;另一個因數(shù)乘100,積就乘100;因數(shù)乘3,積就乘3;因數(shù)乘9,積就乘9。

    師:還有其他情況嗎?

    教師引導學生分兩個層次舉例,并記錄(如圖2)。

    ……

    (4)對比歸納,修正結論。

    師:結論2與結論3,所表述的意思一樣嗎?

    生:我們組說的倍數(shù)關系,和乘幾是同樣的意思。

    師:(指板書)關于“幾”與“幾”的關系,有具體要求嗎?

    生:積要跟著乘相同的數(shù)。

    修正結論:一個因數(shù)不變,另一個因數(shù)乘幾,積也乘相同的數(shù)。

    以上過程,教師通過素材的呈現(xiàn),引導學生觀察、比較,不斷發(fā)現(xiàn)、分析,理解規(guī)律蘊含的結構化思想,懂得提煉結論要“言之有物”。用“結論是否正確”來引導學生從結論倒回去看算式,通過對6×2與6×20,6×200積的變化規(guī)律的對比分析,清楚積的變化規(guī)律藏在兩個算式的對比之中。再通過提問“哪個結論比較好”,引導學生對比結論的不同表述方式,經歷從用具體數(shù)據(jù)描述規(guī)律到用“幾”這樣的一般性詞匯描述規(guī)律的過渡。在這一過程中,學生更好地體會到結論一般化的含義,提煉了規(guī)律結構化的數(shù)學思想。

    (二)質疑解析,使之“言之有據(jù)”

    結論的得出必須要有依據(jù),有依據(jù)的結論才具有科學性。教師應首先引導學生對結論的一般性進行質疑,解釋結論的表述是否完整,讓學生體會“推理的嚴密性”,再引導學生用學過的知識,如面積模型、乘法的意義等對結論的合理性進行解釋,體現(xiàn)“言之有據(jù)”。

    1.分析結論的合理性

    (1)質疑。

    師:我們舉了這些例子后,是不是就可以說明結論一定合理?

    生:還要舉更多的例子,例子是舉不完的。

    師:如果能找到它的反例,就可以說明結論不成立。

    生:0除外。

    師:這是對數(shù)的要求做補充。(板書:0除外)

    (2)解釋。

    師:如果找不到反例,那么我們說暫時這個結論可用。除此之外,你還有什么辦法能解釋此結論確實合理嗎?

    生畫圖解析:我畫了一個長方形,長是5,寬是4。如果長不變,寬乘2,面積就乘2。如果寬不變,長乘2,面積也是乘2。

    ……

    借圖歸納:長方形面積用“長×寬”來表示,在長與寬中,一個數(shù)不變時,不管是長乘幾或者寬乘幾,面積都會跟著乘相同的數(shù)。這和積的變化規(guī)律完全一致。

    (3)總結。

    看來,通過面積圖或者對乘法意義的解釋,確實可以說明以上總結出的“積的變化規(guī)律”是存在的。

    2.完善“積的變化規(guī)律”

    師:研究到這兒,你還能“推”出其他的猜測嗎?

    生:如果一個因數(shù)不變,另一個因數(shù)除以幾,或者加上幾、減去幾,積是不是也會隨著發(fā)生同樣的變化?

    學生提出猜測后,教師引導學生推翻不成立的猜測,解釋成立的猜測,并用一句話把規(guī)律寫完整。

    (三)應用模型,使之“言之有理”

    模型建立后,應用模型的過程既是對模型進行鞏固的過程,也是從歸納走向演繹,用已經證明是正確的規(guī)律解決問題的過程。在這個過程中,學生要做到“言之有理”。

    教師出示問題:

    (1)如果A×8=200,那么A×8×3=?

    (2)如果A×8=25,那么A×8×3=?A×32=?

    學生解答問題……

    教師呈現(xiàn)學生解決問題(1)的兩種情況。

    情況1:A=200÷8=25,A×8×3=25×8×3=200×3=600。

    情況2:A×8×3=200×3=600。

    教師追問:情況2中的200是從哪里來的?

    生:因為A×8=200,所以可以用200代替“A×8”。

    師:用這兩種方法都能得到答案,給兩種方法各取一個名字,你會怎么?。?/p>

    生:第1種叫按步計算法,第2種叫打包法。

    ……

    師:看問題(2),如果A×8=25,要求A×8×3=?你選哪種方法?

    生:用打包法。因為這道題要把A求出來,那是有小數(shù)的,不好算。

    生:用打包法更方便,A×8就是25呀!25×3=75,一下子就算出來了。

    師小結:看來可以把“A×8”看成一個標準,快速求出“A×8×3”的積。

    教師再次出示題目:A×32=?請學生計算并寫出思考過程。

    學生解題后,教師呈現(xiàn)學生作品(如圖3)。

    教師引導學生思考并交流:①三種方法有什么相同的地方?②生2作品中的(8×4)是什么意思?“A×8”圈起來又是什么意思?③根據(jù)A×8=25,你還能求哪些算式的積,看誰想得多……

    “打包法”以“A×8”的積為參照標準,可求出“A×8×3”與“A×32”的積。學生在解決問題的過程中體會“A×8”與“A×32”的關系。圖中生2的方法是將規(guī)律作為一個結論使用,這其實就是對后續(xù)要學習的乘法結合律的實際應用。學生自主編題求積,是結構化模型的再應用,對促進自身數(shù)學思維的發(fā)展具有重要的意義。

    (四)方法遷移,使之“言之有瞻”

    在本課學習之后,學生獲得了探索規(guī)律的一般方法和經驗,這為他們后續(xù)的探索和研究提供了學習路徑,使之“言之有瞻”。

    1.回顧梳理

    師:這堂課我們分幾個步驟研究了積的變化規(guī)律?

    2.追問

    師:研究積的變化規(guī)律后,你還想研究什么?

    借問題給學生提供研究方向:①兩個因數(shù)同時變化時,積會怎么變?②兩個因數(shù)發(fā)生怎樣的變化,積不變?引導學生選一個問題課后進行探究。

    學生由本節(jié)課研究的“積的變化規(guī)律”聯(lián)想到“如果兩個因數(shù)同時變化,積會怎么變”以及根據(jù)“積的不變規(guī)律”聯(lián)想到“商的變或不變規(guī)律”等。本課探索規(guī)律的研究路徑,為學生后續(xù)的規(guī)律探索提供了方法上的支持。這些活動經驗與數(shù)學思考將支持學生的長久發(fā)展。

    三、教學實踐啟示

    選擇合適的素材,創(chuàng)設有價值的活動,讓學生經歷自主得出結論的過程,可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,促進其核心素養(yǎng)的提升。要達到此目的,教學時,教師需要做好以下三件事情。

    (一)給足學生參與的時空

    學生要自己得出有價值的結論,需要經過積極深入的思考和鉆研,經歷觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納等學習過程。因此要給學生提供充足的時間,并為學生提供獨立思考的機會,讓他們先嘗試記錄想法,再與同伴充分地討論、交流,經過比較、辨析,讓大多數(shù)學生都能完整經歷過程,深入思考結論。

    (二)允許學生有試錯的機會

    數(shù)學學習是知識不斷擴充、能力不斷發(fā)展的過程,糾錯也是數(shù)學學習的必要途徑。教師應允許學生有試錯的機會,可以經常使用“寫下你發(fā)現(xiàn)的結論”這樣的方式讓學生嘗試有深度的思考。同時,教師不要立即對學生的結論給出評價,而要通過學生間的交流、討論,讓他們嘗試自己發(fā)現(xiàn)問題,從而得出正確的結論。

    (三)提供人人有話說的素材

    教師在挑選教學素材時,需考慮學生的不同水平層次,設計讓人人都有話說的素材。如本課中“已知A×8=200,求A×8×3=?”學生都能求解,但解題方法未必相同;“A×8=25,A×32=?”學生得到的答案是相同的,但他們記錄的思考過程及方式卻不一定相同。這些都是讓人人有話說的好素材。

    參考文獻:

    [1]李光樹.小學數(shù)學學習論[M].北京:人民教育出版社,2014:167-203.

    [2]程靖,孫婷,鮑建生.我國八年級學生數(shù)學推理論證能力的調查研究 [J].課程·教材·教法,2016(4):17-22.

    [3]林碧珍.數(shù)學臆測引發(fā)數(shù)學論證的課堂實踐(上)[J].小學教學(數(shù)學版),2018(4):4-7.

    (浙江省溫州市永嘉縣甌北中心小學? ?325102)

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