立幾體積巧求解，分割補(bǔ)形總相宜

摘要：有關(guān)空間多面體中的柱、錐、臺(tái)及簡(jiǎn)單組合體的計(jì)算問(wèn)題，大都是通過(guò)“分割”與“補(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化與處理.臺(tái)補(bǔ)錐、臺(tái)割錐、柱割錐、錐補(bǔ)柱、利用截面“化斜為直”、“化非規(guī)則為規(guī)則”等都是常用的方法和技巧.結(jié)合實(shí)例，就割補(bǔ)法中“割”與“補(bǔ)”的一些常見(jiàn)類型加以剖析，總結(jié)規(guī)律，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

關(guān)鍵詞：立體幾何；體積；分割；補(bǔ)形；應(yīng)用

空間立體幾何中割補(bǔ)法的運(yùn)用一般是將復(fù)雜、不規(guī)則、不易認(rèn)識(shí)的幾何體，通過(guò)分割或者補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、規(guī)則、易于認(rèn)識(shí)的幾何體，從而解決問(wèn)題.割補(bǔ)法主要分為分割與補(bǔ)形兩種，解題時(shí)要結(jié)合不同的問(wèn)題情境選擇行之有效的方法來(lái)進(jìn)行割補(bǔ)處理，巧妙轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解與應(yīng)用.

1 合理巧分割

分割法思維是化整為零的一種基本策略，其是將一個(gè)比較復(fù)雜的空間幾何體或不便于求解的空間幾何體等，合理分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體或幾個(gè)易于求解的簡(jiǎn)單幾何體.

例1〔2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷〕如圖1，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB=8 cm，CD=2 cm，則該青銅器的體積為（）.

A.872π cm3B.8724π cm3

C.4322π cm3D.432π cm3

解析：依題，該青銅器可以分割成一個(gè)圓柱體和兩個(gè)圓臺(tái).

結(jié)合題中的數(shù)據(jù)信息，可得該青銅器的體積V=π×22×22+13×（π×22+π×42+π×22×π×42）×32+13×（π×42+π×12+π×42×π×12）×2=82π+282π+72π=432π（cm3）.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：利用分割法思維處理空間幾何體的體積時(shí)，關(guān)鍵是依托問(wèn)題場(chǎng)景與條件，將復(fù)雜的空間幾何體加以合理分割，使得分割出來(lái)的簡(jiǎn)單幾何體易于直接求解.

2 回歸妙補(bǔ)形

補(bǔ)形法思維是化零為整的一種基本策略，其是將一個(gè)不規(guī)則的空間幾何體補(bǔ)成原來(lái)規(guī)則的空間幾何體，或進(jìn)行相同幾何體的補(bǔ)形，或進(jìn)行不同幾何體的補(bǔ)形，借助二者之間的聯(lián)系，合理回歸，巧妙應(yīng)用.

例2（2024年廣西柳州市高考數(shù)學(xué)二模試卷）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”（如圖2）.若該多面體的棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）.

A.4023B.5C.173D.203

解析：依題，如圖3，把該“阿基米德多面體”補(bǔ)形為正方體，由所給多面體的棱長(zhǎng)為2，可得正方體的棱長(zhǎng)為2，則知該多面體的體積是對(duì)應(yīng)正方體的體積，減去8個(gè)三棱錐的體積.

所以該多面體的體積V=2×2×2－8×13×12×1×1×1=203.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：用補(bǔ)形法思維處理空間幾何體的體積時(shí)，關(guān)鍵是依托問(wèn)題場(chǎng)景與條件，合理回歸原來(lái)的簡(jiǎn)單幾何體，這往往也是題中所給空間幾何體的來(lái)源.補(bǔ)形有機(jī)可循，不是盲目的空間想象.完整地進(jìn)行補(bǔ)形是解題成功的關(guān)鍵所在，正確構(gòu)建不同圖形之間的關(guān)系是解題的基本要求.

3 割補(bǔ)總相宜

依托空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，或基于化整為零思維進(jìn)行合理分割，或基于化零為整思維進(jìn)行巧妙補(bǔ)形，有時(shí)割與補(bǔ)均可達(dá)到目的，割與補(bǔ)總相宜.解題時(shí)應(yīng)根據(jù)具體應(yīng)用場(chǎng)景，選擇更為簡(jiǎn)單、快捷的割或補(bǔ)的轉(zhuǎn)化方式來(lái)求解.

例3（2024年高考數(shù)學(xué)天津卷·9）如圖4，一個(gè)五面體ABCDEF，已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.并已知AD=1，BE=2，CF=3.則該五面體的體積為（）.

A.36B.334+12

C.32D.334－12

解法1：分割法1.

依題，如圖5，連接BD，CD，CE.

結(jié)合空間幾何體的基本性質(zhì)有VCBDE=2VCABD，VDCEF=32VDBCE=3VCABD.

結(jié)合AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，可得VDBCFE=13SBCFE×32=13×12（2+3）×1×32=5312.

又因?yàn)閂DBCFE=VCBDE+VDCEF=5VCABD，所以可得VCABD=312.

所以VABCDEF=VDBCFE+VCABD=5312+312=32.

故選擇答案：C.

解法2：分割法2.

依題，不妨讓AD⊥底面ABC，此時(shí)AB=BC=CA=1.

如圖6，在BE，CF上分別取點(diǎn)M，N，使得BM=CN=1，連接DM，MN，ND.

結(jié)合空間幾何體的基本性質(zhì)有VABCDEF=VABCDMN+VDMNFE.

結(jié)合AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，得VABCDMN=34×12×1=34，VDMNFE=13×12×（1+2）×1×32=34.

所以VABCDEF=VABCDMN+VDMNFE=34+34=32.

故選擇答案：C.

解法3：補(bǔ)形法.

依題，用一個(gè)完全相同的五面體HIJLMN（頂點(diǎn)與五面體ABCDEF一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得D與N，E與M，F(xiàn)與L重合，如圖7所示.

因?yàn)锳D∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，則知形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1+3=2+2=3+1=4.

所以VABCDEF=12VABCHIJ=12×12×1×1×32×4=32.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：割補(bǔ)總相宜是解題多樣性的充分體現(xiàn)，結(jié)合問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景，根據(jù)自身對(duì)問(wèn)題的理解與切入，或合理分割，或巧妙補(bǔ)形，從多種不同思維視角將不規(guī)則的立體幾何圖形轉(zhuǎn)化為容易求解的簡(jiǎn)單幾何體問(wèn)題來(lái)求解.同時(shí)要注意分割后要合理融合，而補(bǔ)形后要合理剔除，保持原問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不增加不遺漏.

其實(shí)，涉及空間幾何體的體積及其綜合問(wèn)題的求解與應(yīng)用中，“割形”與“補(bǔ)形”是求解相關(guān)不規(guī)則空間幾何體的體積問(wèn)題中的常用技巧與方法之一，或巧妙分割，化整為零，或合理補(bǔ)形，化零為整，借助“割”或“補(bǔ)”將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為已熟知的幾何體，從而較快地找到解決問(wèn)題的突破口.