基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)

可視化教學(xué)是一種十分有效的教學(xué)方法，它能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效率、更好地滿足學(xué)生的多樣化需求.但進(jìn)行數(shù)學(xué)的可視化教學(xué)時(shí)，需要考慮哪些原則？如何在設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的可視化教學(xué)時(shí)保持合理和科學(xué)？運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意哪些問題？在思考上述問題的基礎(chǔ)上，以認(rèn)知負(fù)荷理論、數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)等理論為支撐，筆者對高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入思考，以高中數(shù)學(xué)“橢圓及其幾何性質(zhì)”為例，借助GeoGebra軟件探索高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)，以期對可視化教學(xué)貢獻(xiàn)一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

1 可視化教學(xué)與GeoGebra

可視化教學(xué)是一種教學(xué)方法，利用圖像、圖表、動畫、模擬和多媒體等可視化工具，幫助學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)知識.通過可視化教學(xué)，教師可以將抽象的概念和復(fù)雜的知識轉(zhuǎn)化為直觀、形象的形式，使學(xué)生能夠更容易地理解和記憶;GeoGebra是一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，旨在助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教師的高效教學(xué).它集成了幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)工具，提供直觀界面和動態(tài)演示功能.用戶可以創(chuàng)建、探索和修改各種數(shù)學(xué)對象，觀察數(shù)學(xué)概念和關(guān)系.依托GeoGebra平臺可以有效地進(jìn)行可視化教學(xué).

2 可視化設(shè)計(jì)原則

2.1 學(xué)生主體原則——培養(yǎng)核心素養(yǎng)

學(xué)生主體原則強(qiáng)調(diào)將學(xué)生置于學(xué)習(xí)的核心位置，以學(xué)生的學(xué)習(xí)需求、興趣和能力為出發(fā)點(diǎn)和中心，教學(xué)內(nèi)容、過程和方法都應(yīng)與學(xué)生相契合.

2.2 信息組塊原則——促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

可視化教學(xué)的過程中，學(xué)生接受到的信息是有限的，為了提高教學(xué)效率，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成，在教學(xué)前應(yīng)該合理地設(shè)計(jì)“信息塊”.構(gòu)建“信息塊”的目的是降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，因此“信息塊”的設(shè)計(jì)不宜過于復(fù)雜，且數(shù)量也不應(yīng)過多，否則學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中一旦產(chǎn)生倦怠心理，就會適得其反.

2.3 雙通道原則——降低認(rèn)知負(fù)荷

一般來說，“可視化教學(xué)都是視覺表征，大腦認(rèn)知的過程主要發(fā)生在視覺通道中”[1].然而，由于視覺通道所能接受的信息容量是有限度的，這可能會導(dǎo)致視覺通道接收的信息超負(fù)荷.因此，在組織可視化教學(xué)內(nèi)容的信息時(shí)，應(yīng)盡量采用\"視聽結(jié)合\"的雙通道形式，以充分呈現(xiàn)“信息塊”，降低學(xué)習(xí)者的認(rèn)知負(fù)荷.也就是說在教學(xué)中應(yīng)該盡量避免使用大段的文字描述，而宜采用動態(tài)演示和教師講解相結(jié)合的教學(xué)手段，這樣可以有效降低認(rèn)知負(fù)荷，提高教學(xué)效率.

3 教學(xué)過程示例

橢圓是高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要知識點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)過程中一般是利用黑板作圖建立直觀，然后通過代數(shù)進(jìn)行表達(dá).但是要更直觀地認(rèn)識橢圓的幾何特征和相關(guān)性質(zhì)，需要將信息技術(shù)與課堂教學(xué)深度融合.通過使用動態(tài)幾何軟件作圖，可以直觀地演示抽象概念，展示動點(diǎn)的運(yùn)動變化規(guī)律，并探究圖形之間的關(guān)系.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察參數(shù)的變化，實(shí)現(xiàn)可視化教學(xué)，從而更好地理解圓錐曲線的定義及性質(zhì).

3.1 問題情境導(dǎo)入

在授課之前創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際情況，引發(fā)他們的興趣，以便更好地進(jìn)行教學(xué).

“取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？”[2]

3.2 概念動態(tài)演示

在所展示的GeoGebra界面上，對滑動條施加動畫效果，動態(tài)演示上述情境的軌跡圖，幫助學(xué)生深刻理解橢圓的定義.這一過程要遵循信息組塊原則，動態(tài)展示準(zhǔn)備的過程不宜展示，也不能只為學(xué)生展示一個(gè)橢圓的圖形，而應(yīng)該將關(guān)鍵的圖形、對應(yīng)的參數(shù)整合成有意義的信息塊（如圖1），使學(xué)生直觀地理解知識點(diǎn).這種方式可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，降低他們的認(rèn)知負(fù)荷，將核心素養(yǎng)中的幾何直觀落地，而不是架在空中樓閣.

通過GeoGebra展示橢圓定義的本質(zhì)，學(xué)生可以清晰地觀察到橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和始終保持不變，如圖2.這種直觀的演示，使學(xué)生在動態(tài)變化中直觀感知橢圓的軌跡特征，從而加深對橢圓定義的理解.

3.3 學(xué)生求解方程

教師根據(jù)圖形，設(shè)P（x，y），A（－c，0），B（c，0）.學(xué)生根據(jù)教師的指導(dǎo)，利用橢圓定義自主分析出動點(diǎn)P的軌跡方程為x2a2+y2b2=1.這一過程中應(yīng)該充分體現(xiàn)學(xué)生主體原則，教學(xué)不只是教師的灌輸性講解，而是要在講解過后，發(fā)揮學(xué)生的課堂主體性，通過自己的分析得到問題的答案，這樣才能形成數(shù)學(xué)思維.

3.4 性質(zhì)探索

動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在橢圓教學(xué)中的應(yīng)用，為學(xué)生提供了一種直觀且富有互動性的學(xué)習(xí)方式.與傳統(tǒng)的靜態(tài)圖形或文字描述相比，動態(tài)可視化的演示更貼合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，有助于他們從具體情境中抽象出橢圓的幾何特征，準(zhǔn)確把握橢圓的性質(zhì).

在講解橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)（如圖3），動態(tài)數(shù)學(xué)軟件同樣展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢.通過教師利用GeoGebra講解橢圓的基本幾何性質(zhì)，學(xué)生可以直觀地觀察到橢圓的取值范圍、對稱性、長短軸、焦距、頂點(diǎn)和離心率等幾何性質(zhì).例如，當(dāng)離心率參數(shù)調(diào)整時(shí)，學(xué)生可以清晰地看到橢圓從接近圓形逐漸變得扁平的過程，從而深刻理解離心率對橢圓形狀的直接影響.這種動態(tài)演示不僅吸引了學(xué)生的注意力，還促使他們在觀察和思考中主動建構(gòu)知識，有效促進(jìn)了對橢圓幾何性質(zhì)的理解和掌握.

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)邊演示邊講解，遵循雙通道原則.這種多感官協(xié)同的教學(xué)方式，有助于學(xué)生更好地吸收和理解知識，提高教學(xué)效率.GeoGebra在橢圓教學(xué)中的應(yīng)用，借助直觀的演示和多感官的協(xié)同教學(xué)，有效促進(jìn)了學(xué)生對橢圓定義及其幾何性質(zhì)的理解和掌握，提升了教學(xué)效果.

課后，筆者通過問卷及訪談?wù){(diào)查收集學(xué)生的反饋，結(jié)果顯示，絕大部分學(xué)生認(rèn)為動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的演示使他們對橢圓的定義和幾何性質(zhì)有了更清晰的認(rèn)識，學(xué)習(xí)興趣也得到了顯著提升.這表明，動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，還激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情.通過可視化的演示，學(xué)生更好地理解了橢圓的概念及其性質(zhì)的實(shí)質(zhì).

3.5 習(xí)題強(qiáng)化理解

學(xué)生了解橢圓的定義及其性質(zhì)并得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師應(yīng)隨即給出幾道習(xí)題以深化學(xué)生對定義及性質(zhì)的理解，問題不必過多，但需要構(gòu)造難度遞進(jìn)的問題鏈供學(xué)生學(xué)習(xí)，問題的設(shè)置應(yīng)盡量覆蓋課堂教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生的深度理解.

問題1橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|=，離心率為，△PF1F2的周長為.

問題2橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=12，且過點(diǎn)（23，3），則橢圓的方程為.

問題3已知橢圓C：x24+y23=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A（1，2），P為橢圓C上的動點(diǎn)，則|PA|－|PF1|的最小值為.

GeoGebra與高中數(shù)學(xué)的有效融合可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.其實(shí)構(gòu)建可視化教學(xué)展示示例的過程就是數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的過程.在可視化教學(xué)的過程中不只是要理解數(shù)學(xué)，還要理解學(xué)生，要以學(xué)生為中心，使他們更直觀地體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的魅力.同時(shí)，教師要明確融合的目的，不是為了展示而展示、為了炫技而展示，而是要根據(jù)教材協(xié)助教學(xué)，落腳于學(xué)生的發(fā)展，而不是演示者自己的狂歡.教學(xué)時(shí)呈現(xiàn)形式應(yīng)簡潔凝練、操作過程應(yīng)盡量簡單，同時(shí)不失其內(nèi)涵，充分利用信息組塊的原則合理設(shè)計(jì)展示內(nèi)容;操作的關(guān)鍵在于展示過程直觀形象，并且應(yīng)鼓勵學(xué)生參與操作過程，感受更加具象的數(shù)學(xué)知識;教學(xué)不能只是一味地利用GeoGebra進(jìn)行展示，要找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，不過度依賴信息技術(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（7）：2124，28.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019：105106.