橢圓的一個(gè)“小題大做”的優(yōu)美結(jié)論

摘要：從“已知橢圓焦點(diǎn)三角形面積求橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)”這個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題和橢圓的一個(gè)常見(jiàn)二級(jí)結(jié)論出發(fā)，歷盡發(fā)問(wèn)、探索與再探索以及不懈思考，最終得到“橢圓焦點(diǎn)三角形中橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)與頂角θ之間關(guān)系”的簡(jiǎn)潔優(yōu)美的數(shù)學(xué)表達(dá)式.探索過(guò)程中，好奇心與求知欲是探索點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與角θ之間關(guān)系的最初動(dòng)機(jī)；見(jiàn)多識(shí)廣與名師指引是繼續(xù)探索二者關(guān)系的動(dòng)力；終身學(xué)習(xí)與不懈思考是最終得到二者關(guān)系的保障.在整個(gè)過(guò)程中，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探索的艱辛，見(jiàn)識(shí)了名師指引的重要，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美！

關(guān)鍵詞：橢圓；焦點(diǎn)三角形；縱坐標(biāo)；數(shù)量積

1 問(wèn)題提出

人教A版新教材《數(shù)學(xué)5選擇性必修第一冊(cè)》第115頁(yè)的第5題：已知P是橢圓x25+y24=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

這個(gè)題本身并不難，可作如下解答：

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則

12·2c·|y0|=1.

又c=1，所以|y0|=1.

由x205+y204=1，得x20=154.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為152，1或152，－1或－152，1或－152，－1.

我們知道，若設(shè)∠F1PF2=θ，則橢圓有個(gè)二級(jí)結(jié)論：焦點(diǎn)三角形F1PF2的面積為b2tanθ2，其中b為短半軸長(zhǎng).

由△F1PF2的面積為1，且b2=4，可得tanθ2=14，那么這樣能否得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)呢？也就是說(shuō)，能否“小題大做”建立點(diǎn)P的坐標(biāo)與tanθ2之間的關(guān)系呢？筆者曾進(jìn)行過(guò)嘗試，無(wú)果.

2 再次探究

2022年下半年，東莞市正高級(jí)教師劉心華老師為筆者所在學(xué)校教師進(jìn)行了線(xiàn)上培訓(xùn).他在文獻(xiàn)[1]里也提到了該題.培訓(xùn)結(jié)束，筆者趕緊下載了該文進(jìn)行學(xué)習(xí).該文在用上述常規(guī)方法求解之后，也“小題大做”了一番：在三角形F1PF2中先運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式得到

tanθ2=14.

整個(gè)過(guò)程相當(dāng)于把上述二級(jí)結(jié)論證明了一遍，從而得到

tan θ=815，sin θ=817，

再運(yùn)用正弦定理和三角公式，解得

sin ∠PF1F2=45+2317，

sin ∠PF2F1=45－2317，

或sin ∠PF1F2=45－2317，

sin ∠PF2F1=45+2317，進(jìn)而得

|y0|=|PF1|sin∠PF1F2

=|PF2|sin∠PF2F1

=174×45-2317×45+2317

=1，

最終得到點(diǎn)P的四個(gè)坐標(biāo).

文獻(xiàn)[1]里“小題大做”的三角解答思路，比較切近學(xué)生實(shí)際，但計(jì)算量偏大.事后，筆者與劉老師進(jìn)行了溝通，提出了如下解答：

設(shè)∠F1PF2的角平分線(xiàn)PQ與x軸相交于點(diǎn)Q，則由角平分線(xiàn)定理及橢圓的焦半徑公式，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（e2x0，0），即15x0，0，其中e是橢圓的離心率，從而可知直線(xiàn)PF1和PF2的斜率分別為

kPF1=y0x0+1，kPQ=y045x0=5y04x0.

由直線(xiàn)的夾角公式，得

y0x0+1－5y04x01+y0x0+1·5y04x0=14.

結(jié)合x(chóng)205+y204=1，整理可得|y0|=1，進(jìn)而得到點(diǎn)P的四個(gè)坐標(biāo).

這種解答方法，用到了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、橢圓焦半徑公式與直線(xiàn)的夾角公式，這些都是教材沒(méi)有正面給出的知識(shí)點(diǎn).劉老師和筆者對(duì)此種解答并不是特別滿(mǎn)意.建立點(diǎn)P的坐標(biāo)與θ之間關(guān)系的探索就此擱淺.

3 柳暗花明

直到筆者看到2022年高考解析幾何題的一個(gè)漂亮解答，這個(gè)探索又出現(xiàn)了新機(jī)，終于邁出了關(guān)鍵的一步！

（2022新高考Ⅰ卷第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2a2－1=1（agt;1）上，直線(xiàn)l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為0.

（Ⅰ）求l的斜率；

（Ⅱ）若tan ∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

本題易得雙曲線(xiàn)方程為x22－y2=1，直線(xiàn)l的斜率為－1.由tan ∠PAQ=22，可得直線(xiàn)l的方程為y=－x+53.

接下來(lái)怎么求△PAQ面積呢？方法很多.學(xué)生容易想得到的解答可能是

S△PAQ=12|PQ|·d，

其中d是點(diǎn)A到直線(xiàn)PQ的距離.

筆者在一個(gè)群號(hào)為324623715的QQ數(shù)學(xué)群里看到了一個(gè)驚艷的解答，思路是這樣的：

S△PAQ=12|AP|·|AQ|·sin∠PAQ

=12AP5AQ5tan∠PAQ.

這個(gè)解答的精彩之處在于，把已知條件中的正切值用得恰到好處！

文獻(xiàn)[2]中，把橢圓焦點(diǎn)三角形F1PF2的一個(gè)數(shù)量積表示為PF1·PF2=2b2cos θ1+cos θ，其中θ為向量PF1與向量PF2的夾角.

筆者由此聯(lián)想到了三角形面積的向量數(shù)量積與夾角正切乘積的表達(dá)！現(xiàn)在再來(lái)探索上述擱淺的問(wèn)題：如何建立點(diǎn)P的坐標(biāo)與θ之間比較直接的關(guān)系？

設(shè)P（x0，y0），則PF15PF2=x20+y20-c2.

由等面積法，橢圓焦點(diǎn)三角形F1PF2的面積為

b2·tanθ2=12PF1·PF2·tan θ

=（x20+y20-c2）tanθ21-tan2θ2.

整理，得

b21-tan2θ2

=a21-y20b2+y20-c2

=b2-c2y20b2.

所以y20=b4c2tan2θ2.

至此，終于運(yùn)用常規(guī)解法建立了點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與∠F1PF2=θ之間的一個(gè)直接的關(guān)系，解決了我們當(dāng)初的問(wèn)題，善哉，美哉！

回到我們最初的問(wèn)題，b2=4，c2=a2-b2=1，tanθ2=14，從而y20=421×142=1，進(jìn)而可得點(diǎn)P的四個(gè)坐標(biāo).

回顧上述得到y(tǒng)20=b4c2tan2θ2這個(gè)結(jié)果的過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)：好奇心與求知欲是最初探索點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與θ之間關(guān)系的動(dòng)機(jī)；見(jiàn)多識(shí)廣與名師指引是繼續(xù)探索二者關(guān)系的動(dòng)力；終身學(xué)習(xí)與不懈思考是最終得到二者關(guān)系的保障.在這個(gè)探索過(guò)程中，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探索的艱辛，見(jiàn)識(shí)了名師指引的重要，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美！

參考文獻(xiàn)：

[1]劉心華.素養(yǎng)導(dǎo)向下的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)——以橢圓及其幾何性質(zhì)習(xí)題教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（2）：1620.

[2]陳飛.新高中數(shù)學(xué)同步全刷：選擇性必修第一冊(cè)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2022.