利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖象常見錯(cuò)誤及策略分析

摘 要：利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖象可以加深對(duì)函數(shù)的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升.教學(xué)過程中，首先教師可以加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)，幫助學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；其次通過具體實(shí)例和圖象輔助學(xué)生構(gòu)建極限概念，準(zhǔn)確繪制關(guān)鍵點(diǎn)、線；最后完善畫圖細(xì)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的畫圖習(xí)慣.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；導(dǎo)數(shù)；函數(shù)圖象；單調(diào)性

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）01-0027-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡(jiǎn)介：劉志成，本科，高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：重慶市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題（渝教規(guī)辦［2022］ 4號(hào)）“基于SOLO理論的高中學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)培養(yǎng)策略研究”（項(xiàng)目編號(hào)：K22YG120575）．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出要重視圖形直觀，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合，要求學(xué)生能夠運(yùn)用圖形解決問題.畫函數(shù)圖象是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要途徑和必要手段.高中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生深入理解函數(shù)性質(zhì)，優(yōu)化問題解決路徑，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.利用導(dǎo)數(shù)畫出函數(shù)圖象可以直觀呈現(xiàn)函數(shù)特征，確定函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，輔助精確計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維方式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的整體把握［1］.

1 理論依據(jù)

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖象可以幫助學(xué)生通過直觀方式理解和建構(gòu)抽象概念；多元智能理論認(rèn)為，利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖象有助于發(fā)揮學(xué)生的空間智能和視覺智能；認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，圖象化的表達(dá)，可以幫助學(xué)生更好地處理和記憶信息；符號(hào)互動(dòng)理論認(rèn)為，畫圖作為一種符號(hào)表達(dá)，促進(jìn)了學(xué)生與知識(shí)、教師和同伴之間的互動(dòng)；經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生可以在畫圖過程中積累經(jīng)驗(yàn)，從而加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握［2］.但是筆者經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于繪制基本初等函數(shù)等簡(jiǎn)單圖象不存在太大問題，但對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，特別是需要利用導(dǎo)數(shù)甚至借用極限畫函數(shù)圖象存在困難.

2 教學(xué)實(shí)踐——畫圖常見錯(cuò)誤

2.1 缺乏對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，無法準(zhǔn)確畫出走勢(shì)圖

部分同學(xué)不理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，導(dǎo)致對(duì)極值點(diǎn)定義的理解是模糊的，無法準(zhǔn)確畫出原函數(shù)圖象走勢(shì)，例如筆者在實(shí)際教學(xué)中碰到的以下題目.

例1 如圖1是y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的圖象，請(qǐng)畫出y=f（x）的大致圖象.

錯(cuò)誤分析 學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)在于分不清原函數(shù)單調(diào)性的分界點(diǎn)是哪一個(gè)，有同學(xué)錯(cuò)誤地認(rèn)為1，3是原函數(shù)極值點(diǎn)，從而畫圖錯(cuò)誤.在學(xué)生能夠利用導(dǎo)數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性，并且準(zhǔn)確說出原函數(shù)f（x）在（-2，-1），（2，4）單調(diào)遞減，（-1，2），（4，+∞）單調(diào)遞增后，畫出了正確的原函數(shù)的大致圖象.

變式糾錯(cuò) 為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)利用導(dǎo)數(shù)畫出原函數(shù)圖象的理解，筆者設(shè)計(jì)了兩道變式練習(xí)題.

變式1 若圖1為y=xf ′（x）的函數(shù)圖象，請(qǐng)畫出原函數(shù)f（x）的大致圖象.

當(dāng)xgt;0時(shí)，f ′（x）在區(qū)間（0，2），（4，+∞）大于0，原函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)xlt;0時(shí)，f ′（x）在區(qū)間（-2，-1） 大于0，原函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增，學(xué)生畫出的圖象如圖2，由于極值沒有確定，所以圖象不唯一.

變式2 若圖1為函數(shù)y=（x-1）f ′（x）圖象，請(qǐng)畫出原函數(shù)f（x）的大致圖象.

2.2 對(duì)極限不理解，不能準(zhǔn)確描繪關(guān)鍵點(diǎn)，無法確定漸進(jìn)線

有些函數(shù)存在漸近線，通過極限可以確定.但是高中對(duì)極限的要求比較基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)極限的不理解，導(dǎo)致了畫圖錯(cuò)誤.

例2 畫出函數(shù)f（x）=lnxx的圖象

學(xué)生畫圖典型錯(cuò)誤：如圖3所示.

學(xué)生畫圖過程如下：

定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)得f ′（x）=1-lnxx2.

因?yàn)楫?dāng)∈（e，+∞）時(shí)，f ′（x）lt;0，所以f（x）在x∈（e，+∞）上單調(diào)遞減.

又因?yàn)楫?dāng)x∈（0，e）時(shí)，f ′（x）gt;0，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，且f（e）=1e.

所以學(xué)生會(huì)畫出如圖3所示的錯(cuò)誤圖象.這是因?yàn)閷W(xué)生不了解極限，從而忽略了當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0+而導(dǎo)致的.

正確解答：當(dāng)xgt;e，lnxgt;0，f（x）gt;0，正確的圖象如圖4所示.

2.3 忽略函數(shù)定義域，導(dǎo)致畫圖錯(cuò)誤

日常教學(xué)中，教師要求學(xué)生遇見函數(shù)問題先求定義域，學(xué)生也確實(shí)照做了，但是并不影響學(xué)生在畫圖時(shí)會(huì)再次忽略定義域，從而導(dǎo)致畫圖錯(cuò)誤.

例3 畫f（x）=xlnx的圖象.

學(xué)生畫圖典型錯(cuò)誤：如圖5所示.

學(xué)生畫圖過程：

定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)得f ′（x）=lnx-1（lnx）2.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的法則可知f（x）在（0，e）單調(diào)遞減，在（e，+∞）單調(diào)遞增.又因?yàn)閒（e）=e，從而得到錯(cuò)誤圖象.這是因?yàn)閷W(xué)生忽略了定義域，而且沒有仔細(xì)分析x→

1+時(shí)，f（x）→+∞；x→1-時(shí)，f（x）→-∞導(dǎo)致.

正確解答：f（x）在（0，1），（1，e）單調(diào)遞減，在（e，+∞）單調(diào)遞增.結(jié)合極限，得到正確圖象如圖6.

3 策略分析

3.1 正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系

在教學(xué)時(shí)需要著重注意以下兩點(diǎn)：首先，導(dǎo)數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減.若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減.其次，導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)為極值點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)性有改變，導(dǎo)數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)應(yīng)為凹凸性變化的點(diǎn)，但沒有單調(diào)性的變化.3.2 建立極限概念，準(zhǔn)確描繪函數(shù)圖象走勢(shì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)極限內(nèi)容的要求主要體現(xiàn)在了解極限概念，掌握極限運(yùn)算和認(rèn)識(shí)極限在數(shù)學(xué)中的重要性，通過實(shí)例理解極限思想.在教學(xué)過程中，可以用三步走的方式幫助學(xué)生建立極限概念，從而準(zhǔn)確描繪圖象走勢(shì).

第一步，通過實(shí)例介紹高中的兩個(gè)極限，即limx→∞1x=0，limx→01x=∞，一方面可以通過舉等比數(shù)列的實(shí)例讓學(xué)生感知，如舉例110，1100，11 000，…，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分母趨向于無窮時(shí)，整個(gè)值趨向于0；同理可以舉例10.1，10.01，10.001，…，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分母趨向于0時(shí)，整個(gè)值趨向于無窮.另一方面也可以通過反比例圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x→∞時(shí)，1x →0，當(dāng)x→0時(shí)，1x →∞.

第二步，利用理論和實(shí)例讓學(xué)生感知極限的四則運(yùn)算.如在極限的加法中，學(xué)生可以通過舉例和生活經(jīng)驗(yàn)快速得到+∞+（+∞）→+∞，+∞+0→+∞，但是對(duì)于+∞+（-∞）→+∞的結(jié)果就持懷疑態(tài)度，這時(shí)候可以讓學(xué)生合作探究，不停舉反例得到結(jié)論.

第三步，繪制具體圖象，鞏固練習(xí).畫出函數(shù)

y=xex，y=exx，y=xex，y=xlnx，y=lnxx，y=xlnx等常用函數(shù)的圖象.

3.3 完善畫圖細(xì)節(jié)，注意圖象關(guān)鍵信息

完善畫圖細(xì)節(jié)可能需要從以下幾個(gè)方面考慮.首先，求導(dǎo)之前需要求定義域，畫任何函數(shù)圖象之前都得再次關(guān)注定義域，定義域取不到的地方有可能是函數(shù)的漸近線；其次，通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確判斷出函數(shù)的趨勢(shì)變化，計(jì)算出關(guān)鍵點(diǎn)如零點(diǎn)、極值點(diǎn)、間斷點(diǎn)等；最后，繪制曲線時(shí)保持平滑，檢查圖象是否符合函數(shù)的性質(zhì)特征.

4 結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中非常重要的思想，畫圖是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的重要手段之一.教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)其和畫圖習(xí)慣在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，在教學(xué)過程中多進(jìn)行畫圖示范，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，同時(shí)提供足夠的練習(xí)機(jī)會(huì)，逐步提高難度，培養(yǎng)學(xué)生良好的畫圖習(xí)慣，鞏固畫圖技能，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 杜軍利.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（01）：19-21；

［2］ 張志剛.“補(bǔ)”教材之“白”促數(shù)學(xué)理解：以“利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（10）：12-14.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］