剖析試題情境 培養(yǎng)理性思維

摘要：文章以兩道質(zhì)檢試題為例，從不同角度剖析試題情境，提出了深度剖析情境，發(fā)展學(xué)生思維的啟示.

關(guān)鍵詞：試題情境；解題思路；發(fā)展思維

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》指出，在試題命制層面，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)情境化設(shè)計(jì)［1］.試題情境是實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求的載體，學(xué)生解決問題時(shí)，需要在理解與提取、分析與推理、歸納與表達(dá)的基礎(chǔ)上，尋求解決問題的途徑.下面，筆者以兩道質(zhì)檢試題為例，談?wù)勔龑?dǎo)學(xué)生合理剖析試題情境，聯(lián)想求解方法，培養(yǎng)理性思維的策略和體會(huì).

案例1" （2023屆泉州市高三第3次質(zhì)檢·8）已知平面向量a，b，c滿足|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1則|b+c|的最小值為（" ）.

A.1

B.2

C.2

D.4

本題情境以向量的模、數(shù)量積為載體，考查向量模的取值范圍問題.由于試題已知條件的情境是三個(gè)向量間的關(guān)系，四個(gè)條件相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生答題有一定的難度.可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾種思路加以分析：

思路1：已知條件中有三個(gè)向量數(shù)量積的關(guān)系，由數(shù)量積的幾何意義入手分析，從數(shù)的情境轉(zhuǎn)化為形的情境，再借助圖形進(jìn)行分析.

解析：設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，OD=－OA.因?yàn)閍·b=1，a·c=－1，b·c=0，

所以由向量數(shù)量積的幾何意義，可得AB⊥OA，DC⊥DO，OB⊥OC.

如圖1，因?yàn)閨b+c|=|b－c|=|OB－OC|=|CB|，|CB|為夾在兩平行直線AB與CD間的線段長(zhǎng)，

所以當(dāng)BC⊥AB時(shí)，|CB|取到最小值2，即|b+c|的最小值為2.故選：C.

思路2：提取情境中三個(gè)向量數(shù)量積的關(guān)系，利用坐標(biāo)表示三個(gè)向量，從而把要解決的問題情境轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算.

解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)a=（1，0），b=（x1，y1），c=（x2，y2）.

因?yàn)閍·b=1，a·c=－1，b·c=0，所以x1=1，x2=－1，x1x2+y1y2=0，則y1y2=1.

所以|b+c|=（x1+x2）2+（y1+y2）2=y21+y22+2≥2y1y2+2=2，

當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=1或y1=y2=－1時(shí)，等號(hào)成立.所以|b+c|的最小值為2.故選：C.

思路3：提取情境中三個(gè)向量數(shù)量積的關(guān)系，利用向量數(shù)量積的定義用向量間的夾角表示數(shù)量積，從而把要解決的問題情境轉(zhuǎn)化為用向量的夾角來(lái)表示.

解析：設(shè)a與b的夾角為α0lt;αlt;π2，a與c的夾角為βπ2lt;βlt;π.

因?yàn)閎·c=0，a·c=－1lt;0，所以β－α=π2.

因?yàn)閍·b=1，a·c=－1，|a|=1，所以|b|cos α=1，|c|cos β=－1，則

|b+c|=1cos 2α+1cos 2β=1cos 2α+1sin 2α=1sin αcos α≥2sin 2α+cos 2α=2，

當(dāng)且僅當(dāng)α=π4時(shí)，等號(hào)成立.

所以|b+c|的最小值為2.故選：C.

思路4：根據(jù)b·c=0，得到b⊥c，又利用向量加減運(yùn)算的幾何意義，把要解決的問題情境|b+c|轉(zhuǎn)化為|b－c|.

解析：由b·c=0，可得|b+c|=b2+c2=|b－c|.

由a·b=1，a·c=－1，可得a·（b－c）=2=|b－c|cos 〈a，b－c〉.

所以|b－c|=2cos 〈a，b－c〉≥2，當(dāng)且僅當(dāng)〈a，b－c〉=0且滿足b·c=0時(shí)，等號(hào)成立.

所以|b+c|的最小值為2.故選：C.

情境變式" 已知平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，且（b－c）·（2b－c）=0，則|a－2c|的最大值為（" ）.

A.7+2

B.27+1

C.7+1

D.27+2

解析：由|a|=|b|=a·b=2，可知cos〈a，b〉=a·b|a||b|=12，則〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)a=（2，0），b=（1，3），c=（x，y）.由（b－c）·（2b－c）=0，可得

（1－x，3－y）·（2－x，23－y）=x2－3x+2+y2－33y+6=0，即x－322+y－3322=1.

所以，向量c=（x，y）的終點(diǎn)在以32，332為圓心，1為半徑的圓上.

由|a－2c|=212a－c，可知其幾何意義為點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（1，0）距離的2倍，所以可得

|a－2c|max=21－322+3322+1=27+2.故選：D.

案例2" （2023屆湖北七市高三3月質(zhì)檢·17）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcos C=2a+c.

（1）求B；

（2）設(shè)b=9，若點(diǎn)M是邊AC上一點(diǎn)，2AM=MC，且∠MAB=∠MBA，求△BMC的面積.

本題情境以三角形問題為載體，第（1）問易求出B=23π，難點(diǎn)在第（2）問，M是邊AC的三等分點(diǎn)，學(xué)生對(duì)這個(gè)情境比較陌生，導(dǎo)致無(wú)法正確作答.下面重點(diǎn)解答第（2）問.

思路1：由M是邊AC的三等分點(diǎn)，聯(lián)想到中線的向量表示，利用向量處理.

解析：

因?yàn)?AM=MC，所以AM=3，MC=6.又∠MAB=∠MBA，所以BM=AM=3.

在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2－2ac＼5cos B，即a2+c2+ac=81.

又2AM=MC，所以BM=23BA+13BC，兩邊平方得BM2=49BA2+19BC2+49BA·BC，即9=49c2+19a2+49accos B，即

a2+4c2－2ac=81.結(jié)合a2+c2+ac=81，得a=c=33.

在△BMC中，BM2+BC2=32+（33）2=36=MC2，所以△BMC是以∠MBC為直角的三角形，所以△BMC的面積為12×3×33=932.

思路2：在△ABC中，易得邊a與邊c的關(guān)系；在△BCM中發(fā)現(xiàn)角C與∠CBM均可用角A表示，進(jìn)而可由正弦定理求得A的值，問題得以解決.

解析：因?yàn)?AM=MC，所以AM=3，MC=6.又∠MAB=∠MBA，所以BM=AM=3.

在△ABC中，有b2=a2+c2－2accos B，即a2+c2+ac=81.

在△BCM中，有BMsin∠ACB=CMsin∠CBM，即3sin∠ACB=6sin∠CBM.

由∠ABC=2π3，得C=π－B－A=π3－A.又∠MAB=∠MBA，

所以3sinπ3－A=6sin2π3－A，即sinA－π6=0.又A∈0，π2，所以A=π6.

所以C=A=π6，則a=c.代入a2+c2+ac=81，得a=c=33，下同思路1.

思路3：在△ABC中，易得邊a與邊c的關(guān)系；發(fā)現(xiàn)△BCM與△ABM中∠BMC=π－∠BMA，進(jìn)而分別根據(jù)余弦定理求得邊a與邊c的另一個(gè)關(guān)系，難點(diǎn)得以突破.

解析：因?yàn)?AM=MC，所以AM=3，MC=6.又∠MAB=∠MBA，所以BM=AM=3.

在△ABC中，有b2=a2+c2－2accos B，即a2+c2+ac=81.

在△BMC中，有BC2=BM2+MC2－2BM·MC·cos∠BMC，所以cos∠BMC=45－a236.

在△BMA中，有AB2=BM2+MA2－2BM·MA·cos∠BMA，所以cos∠BMA=18－c218.

因?yàn)椤螧MC+∠BMA=π，所以cos∠BMC=－cos∠BMA，即45－a236=－18－c218，

得a2+2c2=81.結(jié)合a2+c2+ac=81，解得a=c=33.

在△BMC中，BM2+BC2=32+（33）2=36=MC2，所以△BMC是以∠MBC為直角的三角形，所以△BMC的面積為12×3×33=932.

情境變式" 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcos A+acos B+2ccos A=0.

（1）求角A的大??；

（2）若BC邊上的中線AD=23，且S△ABC=23，求△ABC的周長(zhǎng).

解析：（1）A=2π3.（過程略）

（2）由（1）知A=2π3，所以S△ABC=12bcsin A=34bc=23，得bc=8.

在△ABC中，有a2=b2+c2+bc，則b2+c2=a2－8.

在△ABD中，有c2=a22+232－2×23×a2×cos∠ADB.

在△ACD中，有b2=a22+（23）2－2×23×a2×cos∠ADC.

由cos∠ADB=－cos∠ADC，可得b2+c2=a22+24.

結(jié)合b2+c2=a2-8，解得a=8，b2+c2=56.

所以可得b+c=（b+c）2=b2+c2+2bc=72=62.故△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=8+62.

由以上兩個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，從不同角度提取、剖析、解讀試題情境會(huì)有不同的思路，可以從不同角度去解決問題.因此，在解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.根據(jù)試題的情境，深度理解情境中的多元信息，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)或形或轉(zhuǎn)化等角度去解讀，在一題多解中總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，對(duì)情境進(jìn)行變式，在變的過程中，發(fā)現(xiàn)、歸納反思其中蘊(yùn)含的知識(shí)、能力、思想的不變性，進(jìn)而揭示問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.