基于教材的拓展課：一道例題的引申及應(yīng)用

1 教學(xué)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）借助教材例題中的幾何模型引申出“三余弦定理”及求二面角的面積射影公式；

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察教材例題模型，探索過(guò)一點(diǎn)的三條線段構(gòu)成三面角之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“三余弦定理”和求二面角的面積射影公式；

（3）通過(guò)對(duì)例題的引申、發(fā)散，培養(yǎng)學(xué)生利用現(xiàn)有資源發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探究得出“三余弦定理”、最小角定理及求二面角大小的面積射影法.

難點(diǎn)：掌握“三余弦定理”、最小角定理、面積射影法在立體幾何中的靈活應(yīng)用.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 例題導(dǎo)入

例題" （滬教版數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)第10章的例7）如圖1，設(shè)l是平面α的一條斜線，與平面α交于點(diǎn)O，l′是l在平面α上的投影，l″是平面α上過(guò)點(diǎn)O的另一條直線，l與l′所成的角為θ，l與l″所成角為μ.求證：θlt;μ.

師：該例題是證明線面角是最小角時(shí)出現(xiàn)的，是通過(guò)構(gòu)造直角三角形邊的大小關(guān)系建立角的正弦值從而確定角的大小關(guān)系.今天我們?cè)僮屑?xì)觀察這個(gè)圖形（模型），看看還能探究出哪些新的結(jié)論？同學(xué)們能否根據(jù)題干條件抽象出基本的幾何模型？

生：l是平面α的斜線，l′是l在平面α上的射影，l″是平面α的另一條直線，三條直線交于同一點(diǎn)O.

師：我們得到了本節(jié)課要研究的幾何模型，即從一點(diǎn)引出三條射線，其中兩條線確定平面α，另一條線是α的斜線，且斜線在α上的射影是確定α的兩條直線中的一條.如圖1，OB是OA在α的射影，若過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OC于點(diǎn)C，則四面體OABC的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形.

2.2 問(wèn)題探究

問(wèn)題" 如圖2，由點(diǎn)O引出三條射線OA，OC，OD，若∠COA=∠DOA=π3，∠DOC=π2，求OA與平面OCD所成的角的大小.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能在具體問(wèn)題中判斷并構(gòu)造出所需的幾何模型，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何模型的理解，從特殊到一般推導(dǎo)和論證“三余弦定理”.

師：本題同樣是由點(diǎn)O引出的三條射線，這是我們今天所要探究的幾何模型嗎？

生：不是.

師：為什么？

生：因?yàn)镺D不是OA的射影.

師：你能確定OA在平面OCD上的射影的位置嗎？

生：OA在平面OCD上的射影OB落在∠COD的平分線上，如圖3.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探究由條件∠COA=∠DOA得出OA在平面OCD上的射影位置，延伸出教材第30頁(yè)求證的一般結(jié)論.

師：這道題目中出現(xiàn)了兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的幾何模型，只研究其中一個(gè)模型即可.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知OA與OC的夾角μ=π3，OB與OC的夾角α=π4，求OA與OB的夾角θ.構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系去轉(zhuǎn)化求解.

生：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OC，垂足為H，連接AH，AB，如圖4.設(shè)OH=a，∠BOH=α.

在Rt△AOH中，cos μ=OHOA，于是可得OA=2a.在Rt△BOH中，cos α=OHOB，則OB=2a.所以在Rt△AOB中，cos θ=OBOA=22，故OA與平面OCD的夾角大小為π4.

師：在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)cos μ=OHOA，cos α=OHOB，cos θ=OBOA，這三個(gè)等式之間存在何種關(guān)系？

生：cos μ=cos α＼5cos θ.

（注：上式中μ，α，θ均為銳角.）

師：其中OA與OC的夾角μ為斜線角，OA與OB的夾角θ為線面角，OB與OC的夾角α為射影角，這三個(gè)角的余弦值存在上述的等量關(guān)系可稱(chēng)之為“三余弦定理”.

師：教材中是利用角的正弦值證明最小角定理，那現(xiàn)在能否利用這個(gè)余弦關(guān)系式進(jìn)行證明呢？

生：因?yàn)閏os α∈［－1，1］，所以cos μ≤cos θ，那么μ≥θ，最小角定理就得證了.

師：按照這個(gè)推理，不僅可以證出最小角定理，即μ≥θ，也可以得出斜線角與射影角的關(guān)系即μ≥α.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的自主探究得出“三余弦定理”，強(qiáng)化邏輯推理能力，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用.

師：可求圖1中二面角A-OC-B的余弦值嗎？

生：cos∠ACB=BCAC.

師：BC，AC同時(shí)是OC的垂線，即為△BOC和△AOC的高.由同底的三角形的高之比就是三角形的面積之比，可知cos∠ACB=S△BOCS△AOC，這兩個(gè)三角形有什么關(guān)系嗎？

生：△BOC是△OAC在平面α上的射影.

師：于是我們又得到了一種新的求二面角的余弦值的方法，本方法稱(chēng)為“面積射影定理”.

2.3 知識(shí)應(yīng)用

例1" 如圖5，已知AC是平面α內(nèi)的一條直線，P為α外一點(diǎn)，且PA=2，P到α的距離PB為1.設(shè)∠PAC=θ，求cos θ的取值范圍.

生：cos θ=cos∠PABcos∠BAC，其中∠PAB=π6，cos∠BAC∈［－1，1］，那么cos θ∈－32，32.

變式" 在平面α內(nèi)作AC的平行線A1C1，求異面直線PA與A1C1所成角的取值范圍.

生：將A1C1平移到AC處，那么異面直線PA與A1C1所成角為∠PAC或其補(bǔ)角.

師：那么角的范圍就是第一問(wèn)的π6，5π6？

生：是的.

師：是否考慮到PA與A1C1是異面直線了？那么角的范圍應(yīng)該是多少？

生：π6，π2.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能根據(jù)題意構(gòu)造出“三余弦定理”的幾何模型，直接應(yīng)用“三余弦定理”求解，加深對(duì)“三余弦定理”的理解.變式為求異面直線所成的角，需要利用直線平移構(gòu)造幾何模型，為例2作鋪墊.

例2" 若異面直線a，b所成的角為80°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線l.若直線l與a，b所成的角都是60°，則這樣的直線l共有條.

變式1" 若異面直線a，b所成的角為80°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線l.若只能作出兩條直線l與a，b所成的角均為θ，求θ的取值范圍.

變式2" 若異面直線a，b所成的角為80°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線l.若直線l與a，b所成的角都是相等，則這樣的直線l有多少條？

師：對(duì)于異面直線所成角的問(wèn)題，可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題.

生：過(guò)空間一點(diǎn)P分別作a，b的平行線a1，b1，如圖6.

師：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)P處找直線l，使它和a1，b1的夾角為60°，那應(yīng)該怎么求解呢？

生：先作直線l在α上

的投影，它在直線a1與b1夾角的平分線上.

師：因?yàn)橹郎溆敖堑拇笮。瑥亩_定斜線角為60°的直線條數(shù)，根據(jù)“三余弦定理”可知，斜線角大于等于投影角即可，那么會(huì)有幾條呢？

生：2條.

師：只有兩條嗎？你現(xiàn)在只考慮到了80°，其補(bǔ)角能不能滿足？

生：可以的，那就有4條.

師：由此可知，對(duì)于變式1，只能是80°的情況，此時(shí)θ的范圍是多少呢？

生：40°lt;θlt;50°.

師：對(duì)于變式2的一般情況，先考慮80°方向上，再考慮100°方向上滿足的直線，則結(jié)果是什么？

生：θ=40°時(shí)，1條；40°lt;θlt;50°時(shí)，2條；θ=50°時(shí)，3條；50°lt;θlt;90°時(shí)，4條；

θ=90°時(shí)，1條.

設(shè)計(jì)意圖：利用“三余弦定理”解決異面直線所成角的問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)于定理中“平面內(nèi)的任意一條直線”的理解.解答本例及變式，要靈活構(gòu)建例題中的模型，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生探究出一般性的結(jié)論.

例3" 如圖7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N，分別為棱AB，BC的中點(diǎn).

（1）求二面角M-B1N-B的余弦值；

（2）求平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角的大小.

生：對(duì)于第（1）問(wèn)，過(guò)點(diǎn)M作B1N的垂線MH，垂足為H，連接BH，利用三垂線定理找出二面角的平面角即可求解.

師：如果第（1）問(wèn)是一道填空題，可以利用面積射影法求解.對(duì)于第（2）問(wèn)的無(wú)棱問(wèn)題如果是填空題也可直接利用面積射影法求解，如果是解答題則通過(guò)平移平面找公共棱求解.

設(shè)計(jì)意圖：這道例題是求解在不同情況下二面角的大小，利用這道例題歸納常見(jiàn)的二面角的求解方法.

解析：（1）（法一）過(guò)點(diǎn)M作B1N的垂線MH，垂足為H，連接BH，如圖8，由三垂線定理可知BH⊥B1N，則∠BHM為所求二面角的平面角.

在Rt△MBH中，BH=255，BM=1，MH=355.

所以cos∠BHM=BHMH=23.

法二：△MB1N在平面BB1C1C上的射影為△B1NB，設(shè)所求二面角為θ，則cos θ=S△B1NBS△MB1N=23.

（2）法一：因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角為平面B1MN與平面ABCD所成銳二面角.過(guò)點(diǎn)B作MN的垂線BE，垂足為E，連接B1E，如圖9.由三垂線定理可知B1E⊥MN，所以∠BEB1為所求二面角的平面角.

在Rt△BEB1中，易得BE=22，B1E=322，所以cos∠BEB1=BEB1E=13.

法二：因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角為平面B1MN與平面ABCD所成銳二面角.

因?yàn)椤鰾1MN在平面ABCD上的射影為△BMN，設(shè)所求二面角為θ，則cos θ=S△MNBS△MB1N=13.

2.4 課堂小結(jié)

本節(jié)課從教材例題入手，抽象出幾何模型并對(duì)它進(jìn)行了探究，我們主要得到了哪些結(jié)論呢？

生：角平分線定理、“三余弦定理”、最小角定理、面積射影法求二面角.

師：在這些結(jié)論的探究過(guò)程中，我們主要是借助抽象出的幾何模型；在結(jié)論的推導(dǎo)中，主要是把空間問(wèn)題平面化，這也是解決空間問(wèn)題的重要方法.本節(jié)課從一道教材的例題入手，通過(guò)探究挖掘出幾個(gè)重要結(jié)論，這些結(jié)論的應(yīng)用在教材中也是有跡可循的.這提醒我們要重視對(duì)教材內(nèi)容的鉆研，對(duì)于“簡(jiǎn)單題”也要有探究精神，將簡(jiǎn)單的事做好做透，同樣是不簡(jiǎn)單的.

設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)層面、數(shù)學(xué)思想方法層面以及育人價(jià)值層面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，也增強(qiáng)了教材的主體地位，達(dá)到了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

2.5 課后作業(yè)

（1）如圖10所示，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).記直線A1P與平面ABC所成的角為θ1，與直線BC所成的角為θ2，則θ1，θ2的大小關(guān)系是（" ）.

A.θ1=θ2

B.θ1gt;θ2

C.θ1lt;θ2

D.不能確定

答案：C.

（2）已知二面角α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，設(shè)直線AB與平面α，β所成角分別為θ1，θ2，則（" ）.

A.θ1+θ2=90°

B.θ1+θ2≥90°

C.θ1+θ2≤90°

D.θ1+θ2lt;90°

答案：C.

（3）如圖11所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均等于2，M為線段BB1上的動(dòng)點(diǎn)，則平面ABC與平面AMC1所成的銳二面角余弦值的最大值為.

答案：22.

（4）如圖12，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求平面SCD與平面SBA所成的二面角的正切值.

答案：22.

課堂視頻

（5）題設(shè)如前文中的例題（即教材例7），求證：sin∠ACB=sin∠AOBsin∠AOC或tan∠ACB=tan∠AOBsin∠BOC.

（6）（選做）給出例2變式2的規(guī)范解答.