由一道題談求解定點(diǎn)問題的兩種途徑

定點(diǎn)問題常涉及直線、圓、雙曲線、橢圓、拋物線等.這類問題的難度一般較大.解題的關(guān)鍵在于建立有關(guān)定點(diǎn)的關(guān)系式，證明定點(diǎn)的坐標(biāo)與參變量無關(guān).下面結(jié)合一道例題，談一談求解定點(diǎn)問題的兩種途徑.

例題：已知橢圓 C 的方程為 y2 2 ＋x 2 ＝1 ，過點(diǎn) P ? è ? ? 1 3 ，0 的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試探究以線段 AB為直徑的圓是否過定點(diǎn).若過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由.

一、從特殊情形入手

由于無法確定定點(diǎn)的坐標(biāo)和位置，所以我們往往很難找到解題的切入口，此時(shí)不妨從特殊情形入手，如定點(diǎn)在交點(diǎn)、切點(diǎn)、端點(diǎn)、中點(diǎn)等處，可據(jù)此確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān).

解

我們先從直線l的兩種特殊情形：與x軸、y軸平行入手，求得兩種情況下的圓的方程，據(jù)此確定兩圓的交點(diǎn) Q 即是以 AB 為直徑的圓恒過的定點(diǎn)；然后根據(jù)韋達(dá)定理，通過向量運(yùn)算證明在一般情形下定點(diǎn)依然是Q點(diǎn).解答此類問題，關(guān)鍵是從特殊情形入手，即動(dòng)圓運(yùn)動(dòng)到某個(gè)特殊位置上的情形開始分析，據(jù)此求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后證明在一般情形下定點(diǎn)的坐標(biāo)與所設(shè)的參變量無關(guān).

二、從一般情形入手

要判斷某條曲線或直線是否過定點(diǎn)，需先判定定點(diǎn)所在的位置，建立有關(guān)定點(diǎn)的動(dòng)直線方程或動(dòng)曲線方程；然后通過聯(lián)立方程、消元得到方程kf （x，y）＋ g（x，y）＝0 ；再根據(jù)曲線（或直線）過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系，即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立，得到方程組 ì í ? f （x，y）= 0， g（x，y）= 0; 則該方程組的解即為定點(diǎn)的坐標(biāo).

解

我們從一般情形入手，先用參數(shù) t 表示出直線 l 的方程，并將直線與橢圓的方程聯(lián)立；再根據(jù)韋達(dá)定理和 QA· QB = 0 得到關(guān)于 t、m、n 三個(gè)變量的方程：tf （m，n）+ g（m，n）= 0 ；最后根據(jù)圓過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù) t 無關(guān)，得到方程組 f （m，n）= 0，g（m，n）= 0 ；最后通過解方程組確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

總之，在解答定點(diǎn)問題時(shí)，我們只有仔細(xì)審題，抓住題目中的關(guān)鍵信息，從特殊情形和一般情形入手，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等，通過猜想、假設(shè)、求證、探索、推理、運(yùn)算等建立有關(guān)定點(diǎn)的關(guān)系式，才能夠順利獲得問題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市京師實(shí)驗(yàn)學(xué)校）