求解函數(shù)值域問題的三個(gè)技巧

值域是函數(shù)的三大要素之一.函數(shù)的值域是指函數(shù)值的取值范圍.一般地，只要確定了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值、最小值，即可確定函數(shù)的值域.那么，如何求函數(shù)的值域呢？下面介紹三個(gè)技巧.

一、配方

對(duì)于含有偶次冪的函數(shù)式，通?？梢赃\(yùn)用配方法來求函數(shù)的值域.我們需用完全平方公式將函數(shù)式配方為 F（x） = a（ f （x） + m） 2 + n 的形式，再討論二次函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可根據(jù)二次函數(shù)的圖象求得該函數(shù)的值域.

例1

解

本題中 μ = -x 2 + x + 2 為二次函數(shù)，于是將其配方，即可快速確定函數(shù)的對(duì)稱軸，判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

二、分離常數(shù)

若分式函數(shù)的分子中 x 的最高次數(shù)高于或等于分母的最高次數(shù)，就可以運(yùn)用分離常數(shù)法來求函數(shù)的最值.通常需通過添項(xiàng)、湊系數(shù)、約分等方式，將函數(shù)式中的整式與分式分離.那么只要求得分式的值域，即可求得函數(shù)的值域.

例2

解

我們將分子配湊成分母的倍數(shù)，即可將函數(shù)式中的整式和分式分離，便可以通過求分式的值域獲得問題的答案.對(duì)于分式函數(shù)，往往要特別注意分母不為0 的情形，以確保獲得正確的答案.

三、數(shù)形結(jié)合

有時(shí)仔細(xì)研究函數(shù)式，可以發(fā)現(xiàn)一些較為復(fù)雜的函數(shù)式中的部分式子為簡單基本函數(shù)式、圓的方程、雙曲線的方程等，此時(shí)我們可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題.先畫出相應(yīng)的圖形；然后研究圖形中的點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，找到臨界情形，即可確定函數(shù)的值域.

例3

解

我們將函數(shù)式變形為 y = x 2 + （0 - 2）2 + （x - 1）2 + （0 - 3）2 ，并將其視為動(dòng)點(diǎn) P（x，0） 到定點(diǎn) A（0，2） 、B（1，3） 的距離之和，即 y = |PA| + |PB| ，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求兩條線段之和的最小值.然后結(jié)合圖形進(jìn)行分析，找到 |PA| + |PB| 取得最小值的情形：三點(diǎn)共線，即可求得函數(shù)的值域.

綜上所述，函數(shù)值域問題的命題形式和解題技巧多種多樣，同學(xué)們需熟悉一些常見的題型和解題的技巧，學(xué)會(huì)根據(jù)題目的具體條件選用合適的技巧去解答，這樣就能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省高郵市臨澤中學(xué)）