正方形手拉手 多結(jié)論探一探

正方形作為特殊的平行四邊形，同時(shí)具有菱形和矩形的性質(zhì). 若讓兩個(gè)正方形手拉手構(gòu)建模型，可得出多個(gè)結(jié)論.

模型構(gòu)建

基本模型：如圖1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G落在線段CD上，連接BG，并延長(zhǎng)與DE交于點(diǎn)H，連接CH.

請(qǐng)同學(xué)們嘗試探究該模型有哪些結(jié)論.

模型結(jié)論

結(jié)論1：△BCG≌△DCE.

解析：應(yīng)用正方形的性質(zhì)，即可找到證明△BCG和△DCE全等的判定條件.

結(jié)論2：BG = DE，BG⊥DE.

解析：通過(guò)△BCG ≌ △DCE可得BG = DE，∠CBG = ∠CDE. 結(jié)合正方形的直角條件，利用一對(duì)“8字形”三角形，易得∠DHG = 90°，則BG⊥DE.

結(jié)論3：HC平分∠BHE.

解析：利用全等三角形的面積相等，易證得結(jié)論.

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BH于M，CN⊥DE于N.

由△BCG≌△DCE得S△BCG = S△DCE，則[12]BG·CM = [12]DE·CN.

由BG = DE得CM = CN. 從而根據(jù)角平分線判定定理得出結(jié)論.

結(jié)論4：GH + HE = [2]CH.

解析：結(jié)論是三條線段之間的關(guān)系，解決此類問(wèn)題通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法或構(gòu)造雙垂線法. 而關(guān)系式中含有[2]，說(shuō)明解題過(guò)程中一定會(huì)運(yùn)用勾股定理，很可能就是在正方形中解直角三角形. 方法1：如圖2，構(gòu)造雙垂線；方法2：截長(zhǎng)法，如圖3；方法3：補(bǔ)短法，如圖4. 下面僅介紹方法1的解題思路，請(qǐng)同學(xué)們嘗試運(yùn)用方法2和方法3進(jìn)行證明.

如圖2，根據(jù)“鄰邊相等的矩形是正方形”可得正方形MHNC，則MH = NH = CN，∠MCN = 90°.

易證∠MCG = ∠NCE，根據(jù)“SAS”可證△MCG≌△NCE，得MG = NE，則GH + HE = GH + NH + NE = GH + NH + MG = MH + NH = 2NH.

根據(jù)勾股定理得NH2 + CN2 = CH2，即NH2 + "NH2 = CH2，則NH = [22]CH.

于是GH + HE = 2NH = 2 × [22]CH = [2]CH.

結(jié)論5：BH - DH = [2]CH.

解析：結(jié)論5和結(jié)論4是同一種類型，證明方法相似，輔助線作法相同，可以直接利用結(jié)論4證明.

由BG = DE，可得BH - DH = BG + GH - DH = DE + GH - DH = GH + HE = [2]CH.

模型變式

現(xiàn)將模型中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行如下三種變式，可得相應(yīng)結(jié)論.

變式1：如圖5，已知正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G落在直線CD右側(cè). 連接BG并延長(zhǎng)與DE交于點(diǎn)H，連接CH.

變式2：如圖6，已知正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G落在直線CD右側(cè). 連接BG與DE，相交于點(diǎn)H，連接CH.

變式3：如圖7，已知正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G落在正方形ABCD內(nèi)部. 連接BG并延長(zhǎng)與DE交于點(diǎn)H，連接CH.

結(jié)論：在圖5、圖6、圖7中，以下結(jié)論都存在. （1）△BCG≌△DCE；（2）BG = DE，BG⊥DE；（3）HC平分∠BHE；（4）GH + HE = [2]CH；（5）BH - DH = [2]CH.

變式4：如圖8，已知正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G落在正方形ABCD內(nèi). 連接并延長(zhǎng)BG，DE交于點(diǎn)H，連接CH.

結(jié)論：（1）△BCG ≌△DCE ；（2）BG = DE，BG⊥DE ； （3）∠CHB = 45°； （4）GH - HE = [2]CH； （5）BH - DH = [2]CH.

變式5：如圖9，已知正方形ABCD和正方形CEFG，G點(diǎn)落在直線BC下方. 連接并延長(zhǎng)BG，DE交于點(diǎn)H，連接CH.

結(jié)論：（1）△BCG ≌ △DCE ；（2）BG = DE，BG⊥DE ；（3）∠CHD = 45°； （4）HE - GH = [2]CH；（5）DH - BH = [2]CH.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：3分鐘

1. 如圖10，已知正方形ABCD，BF⊥DE，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF，CE⊥DE. 求證：四邊形CEFG是正方形.

難度系數(shù)：★★★★★ 解題時(shí)間：10分鐘

2. 如圖11，已知正方形ABCD和正方形CEFG，連接BG，與DE交于點(diǎn)H，連接CH. （1）求線段BG，DE的關(guān)系. （2）當(dāng)∠DEC = 45°時(shí)，若AB = [5]，CE = [2]，求DH.

（答案見(jiàn)本頁(yè)）

（作者單位：大連市中山區(qū)東港第一中學(xué)）