相對(duì)余撓自由模和對(duì)偶Auslander轉(zhuǎn)置的若干注記

何東林

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500)

Auslander-Reiten理論在Artin代數(shù)和同調(diào)代數(shù)中扮演著重要的角色，Auslander轉(zhuǎn)置是該理論的重要工具之一.利用Auslander轉(zhuǎn)置，Auslander和Bridger[1]引入了n-撓自由模，并得到特定條件下有限生成模的一個(gè)逼近理論.Tang X和Huang Z[2]給出了Auslander轉(zhuǎn)置的對(duì)偶概念，稱之為對(duì)偶Auslander轉(zhuǎn)置.半對(duì)偶模是相對(duì)同調(diào)代數(shù)中的重要模類之一，許多學(xué)者先后對(duì)其進(jìn)行了研究，并得到了很好的結(jié)論[3-8].特別地，Holm和White[4]將半對(duì)偶模的概念推廣到任意一對(duì)結(jié)合環(huán)R和S上，并利用這一工具研究了關(guān)于半對(duì)偶雙模的Auslander類ΑC(S)和Bass類BC(R).Tang X和Huang Z[2]借助對(duì)偶Auslander轉(zhuǎn)置，介紹了關(guān)于半對(duì)偶雙模RCS的n-C-余撓自由模，并得到Bass類BC(R)的一個(gè)等價(jià)刻畫.自然而然地，可考慮關(guān)于n-C-余撓自由模和對(duì)偶Auslander轉(zhuǎn)置的更多問題，比如性質(zhì)、刻畫等等.基于以上研究背景，本文主要給出n-C-余撓自由模和對(duì)偶Auslander轉(zhuǎn)置的若干性質(zhì)和刻畫，并研究短正合列0→L→M→N→0中各項(xiàng)的n-C-余撓自由性之間的關(guān)系.

1 定義與引理

注1：① 對(duì)任意整數(shù)m≥n≥1，有m-C-余撓自由模一定是n-C-余撓自由模；②n-C-余撓自由模關(guān)于有限直和及直和因子封閉.

引理1[2]以下結(jié)論成立：

引理2[9]設(shè)圖1為左R-模行正合交換圖，

則 1) 有正合列Kerα→Kerβ→Kerγ→Cokerα→Cokerβ→Cokerγ.

2) 圖1中當(dāng)A→B為單同態(tài)時(shí)，1)中Kerα→Kerβ也為單同態(tài)；當(dāng)B′→C′為滿同態(tài)時(shí)，1)中Cokerβ→Cokerγ也為滿同態(tài).

引理3[2]設(shè)M是左R-模，則以下結(jié)論成立：

1)M是1-C-余撓自由的當(dāng)且僅當(dāng)M是C-余無撓的.

2)M是2-C-余撓自由的當(dāng)且僅當(dāng)M是C-余自反的.

引理4[2]設(shè)M是左R-模，則存在正合列:

2 主要結(jié)論

0→An*→…→A1*→A0*→W*→0，

考慮行正合交換圖，如圖2:

定理2 設(shè)M是左R-模且n≥1，則以下條件等價(jià)：

1)M是n-C-余撓自由模； 2) 存在HomR(C,-)下正合的正合列:

An-1→…→A1→A0→M→0，其中Ai∈Add(RC)(0≤i≤n-1)；

證明1)?2) 由文獻(xiàn)[2]中命題3.6易證.

HomR(C,N)⊕HomR(C,N′)?HomR(C,N⊕N′)=HomR(C,C(I))?S(I)，

所以HomR(C,N)是投射左S-模.從而有Add(RC)?PC成立.

綜上所述，PC=Add(RC).

命題1 設(shè)I是內(nèi)射左R-模，則對(duì)任意整數(shù)n≥1，都有I是n-C-余撓自由模.

證明由引理1中結(jié)論2)及引理3易證.

命題2 設(shè)F是FP-內(nèi)射左R-模，則對(duì)任意整數(shù)n≥1，都有F是n-C-余撓自由模.

證明由F是FP-內(nèi)射左R-模及文獻(xiàn)[10]中定理2.1中(2)知，F(xiàn)∈BC(R).根據(jù)文獻(xiàn)[2]中定理3.8可得，對(duì)任意整數(shù)n≥1有F是n-C-余撓自由模.

1) 如果L和M是n-C-余撓自由模，那么N是n-C-余撓自由模.

2) 如果L和N是n-C-余撓自由模，那么M是n-C-余撓自由模.

3) 如果M是n-C-余撓自由模且N是(n+1)-C-余撓自由模，那么L是n-C-余撓自由模.

由引理2可得正合列:

由引理3及定理3易得如下推論.

1) 如果L和M是C-余無撓模，那么N是C-余無撓模；2) 如果L和N是C-余無撓模，那么M是C-余無撓模；3) 如果M是是C-余無撓模且N是是C-余自反模，那么L是C-余無撓模.