有意義的數(shù)學(xué)問題：提升主題活動內(nèi)驅(qū)力

【摘" "要】有意義的數(shù)學(xué)問題是設(shè)計主題活動的核心和推動學(xué)生深入思考的關(guān)鍵。教師聚焦驅(qū)動性問題“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”，設(shè)計了“猜想、驗證、評價、反思、拓展”的活動內(nèi)容，并在實施過程中為每個任務(wù)匹配核心問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的全過程，體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，積累基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；主題活動；體積和容積

一、主題活動背景

長方體是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的內(nèi)容，教學(xué)這一內(nèi)容旨在引導(dǎo)學(xué)生從度量的角度認識長方體，并掌握其要素與特征。在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的過程中，學(xué)生需積累認識與探究立體圖形的基本經(jīng)驗，從而發(fā)展空間觀念和推理意識。由此，學(xué)生對立體圖形的認知由感性走向理性，實現(xiàn)從定性描述到定量刻畫的轉(zhuǎn)變。

在學(xué)生學(xué)完長方體的體積與容積的相關(guān)內(nèi)容后，筆者針對“一個物體的體積一定大于它的容積嗎？”這一問題，對他們進行了后測。結(jié)果顯示，約93%的學(xué)生認同此結(jié)論，他們僅基于體積與容積的基本概念，認為由于物體具有厚度，故其容積自然小于體積。僅有7%的學(xué)生對此結(jié)論提出質(zhì)疑，但未能給出充分的理由。這一現(xiàn)象表明，五年級學(xué)生雖然已具備研究立體圖形的基本活動經(jīng)驗，但在知識應(yīng)用層面仍存在不足。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因主要有兩方面。一方面，現(xiàn)行教材中對體積與容積關(guān)系的闡述較為匱乏，未能有效幫助學(xué)生建立兩者之間的緊密關(guān)聯(lián)，從而影響了他們對三維度量的整體認知。另一方面，由于缺少生活應(yīng)用價值的引導(dǎo)，學(xué)生難以將所學(xué)知識與實際情境結(jié)合起來，更無法明確這些知識在實際生活中的應(yīng)用場景。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，主題活動分為融入數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的主題活動和運用數(shù)學(xué)知識及其他學(xué)科知識的主題活動兩類。針對學(xué)生在體積與容積關(guān)系理解上的不足，在長方體知識復(fù)習(xí)階段，筆者嘗試借助第二類主題活動來突破這一難點。即讓學(xué)生面對生活背景，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出值得探究的問題：“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”引導(dǎo)他們綜合運用體積、容積等的知識與方法，積累提出猜想、規(guī)劃步驟等經(jīng)驗，并內(nèi)化類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，以分析和解決相關(guān)問題。

二、主題活動設(shè)計

提出有意義的數(shù)學(xué)問題是推動學(xué)生深入思考的關(guān)鍵。本次主題活動聚焦驅(qū)動性問題“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”，從確立活動目標(biāo)和構(gòu)建進階任務(wù)兩個方面進行設(shè)計。

（一）確立活動目標(biāo)

立體圖形的認識與測量之間有著密切的聯(lián)系。本主題旨在引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中，綜合應(yīng)用長方體的特征、體積、容積等知識點，通過提出猜想和設(shè)計實驗方案，探究物體體積與容積之間的關(guān)系。然后分析不同實驗方法，反思體積與容積的關(guān)系，積累研究立體圖形度量屬性的基本方法，并深入感悟轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。接著通過改造立體圖形，改變其底面積或高，歸納影響體積與容積關(guān)系的關(guān)鍵要素。最后，通過找出或創(chuàng)造容積大于體積的物體，使學(xué)生形成初步的推理意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，并進一步發(fā)展其空間觀念。

（二）構(gòu)建進階任務(wù)

進階任務(wù)為主題活動的有序開展提供了支架。筆者圍繞驅(qū)動性問題，對研究任務(wù)進行分解（如表1），使學(xué)生對概念的理解從定性的描述逐步向定量的刻畫轉(zhuǎn)變。然后在定量刻畫時，形成多樣的研究方法，內(nèi)化容積與體積間的關(guān)系。

三、主題活動實施

主題活動的實施要注重關(guān)聯(lián)性。一是過程的關(guān)聯(lián)，例如，在第1課時中，教師要引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，并設(shè)計研究方案，驗證猜想。在第2課時中，教師要在課前收集學(xué)生的實踐成果，選擇適切的作品作為課中評價與反思的學(xué)習(xí)材料。二是思維的關(guān)聯(lián)，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思：體積與容積有關(guān)系嗎？如果有，是什么關(guān)系？怎么來說明體積和容積的關(guān)系？還有別的方法可以說明嗎？

（一）第1課時：猜與做

1.項目啟動，回顧概念

在探究體積與容積之間的關(guān)系之前，先讓學(xué)生回顧對體積和容積的認識。

2.聚焦關(guān)系，提出猜想

● 核心問題1：你們覺得一個物體的體積與它的容積之間有怎樣的關(guān)系？

部分學(xué)生認為體積和容積是有關(guān)系的，并推測體積肯定比容積要大，理由是容積是從物體內(nèi)部測量的，物體本身的厚度導(dǎo)致其內(nèi)部空間小于外部尺寸。也有部分學(xué)生認為體積和容積是兩個不同的概念，無法直接進行比較。

教師呈現(xiàn)課前調(diào)查結(jié)果：有40名同學(xué)認同“一個物體的體積一定大于它的容積”的觀點，但仍有3名同學(xué)對此表示質(zhì)疑。

3.討論材料，選定方法

● 核心問題2：你們打算怎么來驗證自己的猜想？

在討論問題的過程中，學(xué)生提出需根據(jù)物體形狀進行分類討論。對于不規(guī)則物體，可以采用“排水法”進行研究；而對于規(guī)則物體（如長方體），則可以利用底面積乘高、比較兩個長方體的體積差等方法來探究體積與容積的關(guān)系。

4.合作研究，探究關(guān)系

明確任務(wù)：兩人合作，選擇材料，利用計算、實驗等方法來驗證猜想。

（實施建議：本環(huán)節(jié)的關(guān)鍵在于設(shè)計研究方案。在實施過程中，教師可提供如表2所示的方案設(shè)計的基本框架，幫助學(xué)生系統(tǒng)地規(guī)劃研究過程。）

（二）第2課時：評與思

1.材料收集，成果賞析

為了讓學(xué)生更深入地理解一個物體的體積與它的容積之間的關(guān)系，教師組織學(xué)生以小組為單位進行探究，并收集了3個小組的研究成果（如圖1），以供全班共同學(xué)習(xí)。

2.明確要求，團隊合作

（1）選：四人小組合作，每個小組至少選擇一個作品進行研究。

（2）比：比較同一物體的體積與容積的大小關(guān)系。

（3）想：什么樣的物體，它的容積可能大于體積？

3.項目評估，關(guān)系理解

（1）立體圖形的體積與容積——數(shù)出體積單位的個數(shù)

● 核心問題3：怎么求出無蓋立體物體的體積？

學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)：作品2中，水杯的容積是（7-2）×（7-2）×（10-1）=225（立方厘米），V體=V總-V容=7×7×10-225=265（立方厘米）。所以，這個立體圖形的體積大于它的容積。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生提出疑問：算容積的時候，為什么長、寬要分別減2，高要減1呢？學(xué)生用聯(lián)系的眼光進行分析：先回顧作品1中搭積木的過程，之后進行想象，如果用棱長是1厘米的小立方體擺出水杯的形狀，底下這層擺滿，上面的每一層都擺成“回字形”，一共要擺10層。因為杯子有厚度，所以在計算容積時，長、寬要分別減去2個1厘米，高要減去1個1厘米。之后，引導(dǎo)學(xué)生驗證作品1中立體圖形體積與容積之間的關(guān)系。

（2）燒杯的體積與容積——從不規(guī)則物體到規(guī)則物體的轉(zhuǎn)換

針對學(xué)生對作品3的研究過程與結(jié)論進行解讀。在兩個相同容器中注入等高的水，先將燒杯完全浸沒在容器①中，此時水位上升的體積就是燒杯的體積。再在燒杯中加滿水，將水倒入容器②中，此時水位上升的體積則為燒杯的容積。由于容器②的水面高于容器①，因此燒杯的容積大于它的體積。總的來說，無論是體積還是容積，都是通過將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)換為規(guī)則物體進行測量的。

4.對比反思，提煉要素

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：什么樣的物體，它的容積可能大于體積？

學(xué)生認識到，如果是封閉物體，它的體積一定大于容積；如果是不封閉的物體，在厚度較小（壁較?。┑那闆r下，它的容積可能大于體積。

● 核心問題4：如圖2所示的物體，如果繼續(xù)往上搭小立方體，它的容積可能大于體積嗎？選擇圖3中哪個形狀作為底面，構(gòu)造的物體的容積可能大于體積？

● 核心問題5：高為多少時，物體的容積可能大于它的體積？

教師出示任務(wù)：圖3中的②號圖形即為之前作品2中的水杯的“橫截面”。若按照上述規(guī)律，用1立方厘米的立方體繼續(xù)堆砌水杯，當(dāng)水杯的高度達到多少厘米時，它的容積會大于體積？（嘗試以他人看得懂的方式表述你的思路，如列式、畫圖、列表等）

（實施建議：在學(xué)習(xí)材料的選擇上，應(yīng)強調(diào)度量的本質(zhì)屬性。前兩個作品中的物體都可以直接數(shù)出體積單位的個數(shù)，而作品3涉及不規(guī)則物體，須轉(zhuǎn)換為規(guī)則物體進行測量。由此，加深學(xué)生對體積與容積概念的理解。）

（三）第3課時：課外拓展，創(chuàng)意制造

讓學(xué)生選擇一個任務(wù)完成：（1）在生活中找出容積大于體積的物體，并利用數(shù)學(xué)實驗進行解釋。（2）創(chuàng)造一個容積大于體積的物體（可附上示意圖，標(biāo)注必要數(shù)據(jù)，也可采用3D打印技術(shù)制作實物）。

（實施建議：在評價過程中，無論是對找出還是創(chuàng)造符合要求的物體，重點都應(yīng)放在驗證方法和說明理由上?？山柚绫?所示的評價量規(guī)，統(tǒng)計各水平層次的學(xué)生人數(shù)，并組織學(xué)生交流分享他們的成果。）

總而言之，提出一個有意義的數(shù)學(xué)問題比解決問題更重要。有意義的數(shù)學(xué)問題能為學(xué)生帶來認知沖突，具備實踐價值。本主題活動圍繞一個有意義的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計了“猜想、驗證、評價、反思、拓展”的活動內(nèi)容，并在實施過程中為每個任務(wù)匹配了核心問題，形成了驅(qū)動性問題、任務(wù)設(shè)計、核心問題的三級實施路徑。其目的在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的全過程，體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，積累基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展核心素養(yǎng)。