探尋·構(gòu)建·生長(zhǎng)

黃剛

【摘?? 要】數(shù)字謎題是一種特殊的算式形式，包括橫式算式謎和豎式算式謎兩類(lèi)。數(shù)字謎題不僅可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化、推理以及分析與綜合等思想方法，對(duì)提升學(xué)生的思維能力具有獨(dú)特的價(jià)值。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可運(yùn)用“借助數(shù)字謎題，突破知識(shí)難點(diǎn)；運(yùn)用數(shù)字謎題，理解內(nèi)在關(guān)系；巧用數(shù)字謎題，培養(yǎng)高階思維”等策略，探究數(shù)字謎題在夯實(shí)基礎(chǔ)、滲透策略、培養(yǎng)核心素養(yǎng)等方面的綜合價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)字謎題；小學(xué)數(shù)學(xué)；計(jì)算練習(xí)；設(shè)計(jì)與運(yùn)用

數(shù)字謎題也被稱(chēng)為“蟲(chóng)食算”，是一種隱去部分?jǐn)?shù)字的特殊算式。它包括橫式算式謎和豎式算式謎兩類(lèi)，其中未知數(shù)字常用幾何圖形、符號(hào)、字母或文字表示。解決數(shù)字謎題，需運(yùn)用四則運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系及算式的特征，通過(guò)觀察、推理、判斷，還原被“蟲(chóng)子”吃掉的數(shù)字，從而得出完整的算式。具體而言，學(xué)生解題時(shí)，需先依賴(lài)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)整體觀察，找到解題的突破口，然后根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行邏輯分析、推理，最終通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得出答案。由此可見(jiàn)，數(shù)字謎題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面具有獨(dú)特的價(jià)值。

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，數(shù)字謎題是一種常見(jiàn)的題型。據(jù)統(tǒng)計(jì)，人教版教材中一共出現(xiàn)了34次數(shù)字謎題。數(shù)字謎題雖然屬于計(jì)算范疇，但由于它結(jié)合了推理、轉(zhuǎn)化、概念理解，以及口算、筆算和估算等多種數(shù)學(xué)技能，所以比一般的計(jì)算題目具有更高的思維價(jià)值，非常適合學(xué)有余力的學(xué)生深入思考和探究。下面，筆者將結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，詳細(xì)闡述在計(jì)算練習(xí)課中設(shè)計(jì)與運(yùn)用數(shù)字謎題的具體做法。

一、借助數(shù)字謎題，突破知識(shí)難點(diǎn)

數(shù)字謎題通常以隱去部分?jǐn)?shù)字的豎式計(jì)算題的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生根據(jù)已知的數(shù)字推算隱去的數(shù)字。教師可以在計(jì)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)處設(shè)置未知數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生分析、討論、交流，從而得出結(jié)論。這樣不僅能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)新知的理解，還能突破計(jì)算教學(xué)中的重難點(diǎn)。

（一）設(shè)計(jì)數(shù)字謎題，理解計(jì)算方法

“多位數(shù)乘一位數(shù)”是三年級(jí)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的重要內(nèi)容，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)整數(shù)的多位數(shù)乘法奠定基礎(chǔ)。在進(jìn)行多位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計(jì)算時(shí)，兩數(shù)相乘的乘積是否進(jìn)位是影響學(xué)生正確率的主要原因，也是計(jì)算教學(xué)中的難點(diǎn)。為了有效突破這一難點(diǎn)，教師可以設(shè)計(jì)一組數(shù)字謎題的對(duì)比題。

【數(shù)字謎題1】

[2][1][3][5][7][5][4][2][6][2][2][2][8][6][8]

圍繞這組數(shù)字謎題，教師可以提問(wèn)：“解決這三道題的突破口在哪里？”

解決第1題以5乘7為突破口，得到的積的十位上的數(shù)即為5乘7向十位進(jìn)位的數(shù)，由此推斷第一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)為0。解決第2題的關(guān)鍵則在于積的十位（數(shù)2）與因數(shù)乘積（6乘2）恰好一致，這說(shuō)明兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位的乘積不進(jìn)位，由此可以確定第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位是0或1。解決第3題需要綜合考慮積的百位和個(gè)位，由于百位未發(fā)生進(jìn)位，所以第二個(gè)因數(shù)只能是1～4中的一個(gè)，再根據(jù)個(gè)位的積為8，確定只有3符合要求。

通過(guò)數(shù)字謎題的練習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)全面審視題目，特別是當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘的個(gè)位與積的對(duì)應(yīng)位數(shù)不符時(shí)，能意識(shí)到這是一道進(jìn)位乘法題，進(jìn)而思考進(jìn)位的是幾，從而推斷出數(shù)字謎題中的未知數(shù)。這樣的數(shù)字謎題能夠幫助學(xué)生在分析、判斷并得出結(jié)論的過(guò)程中，進(jìn)一步理解多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。

（二）創(chuàng)設(shè)數(shù)字謎題，鞏固計(jì)算法則

在三年級(jí)上冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的加減法”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生常?；煜宋粶p法、不退位減法以及連續(xù)退位減法等概念，甚至出現(xiàn)誤操作。為幫助學(xué)生感受退位減法的數(shù)據(jù)特征，教師可以創(chuàng)設(shè)數(shù)字謎題，從而培養(yǎng)學(xué)生的辨析和推理能力。

【數(shù)字謎題2】

圍繞這道數(shù)字謎題，教師可以提問(wèn)：“根據(jù)豎式，你們會(huì)選擇哪個(gè)答案？”調(diào)查發(fā)現(xiàn)，高達(dá)80%的學(xué)生選擇了C。這些學(xué)生未能關(guān)注到豎式個(gè)位上的數(shù)字，所以容易根據(jù)豎式的直觀表現(xiàn)，誤認(rèn)為十位上被減數(shù)和減數(shù)之間相差1（?-△=1）。如果他們能注意到該豎式中被減數(shù)個(gè)位上的數(shù)字小于減數(shù)個(gè)位上的數(shù)字，就會(huì)意識(shí)到這是一道退位減法題。只要關(guān)注到這一點(diǎn)，教師便可理解學(xué)生的錯(cuò)誤，有針對(duì)性地為學(xué)生提供指導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到正確的解題方法應(yīng)為“?-1-△=1”，因此選項(xiàng)B才是正確答案。

數(shù)字謎題的教學(xué)應(yīng)在分析學(xué)生困惑和教學(xué)重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上循序漸進(jìn)地進(jìn)行。通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生學(xué)會(huì)觀察數(shù)字特征，了解是否需要退位，從而鞏固多位數(shù)減法，尤其是退位減法的計(jì)算方法。

（三）編制數(shù)字謎題，揭示本質(zhì)特征

循環(huán)小數(shù)是一個(gè)數(shù)概念，在鞏固循環(huán)小數(shù)的概念時(shí)，教師可以編制如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題3】

[

]

圍繞這兩道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師提問(wèn)：“我們已經(jīng)知道了什么是循環(huán)小數(shù)，現(xiàn)在請(qǐng)你們?cè)诘?題中快速寫(xiě)出它的商。”在教學(xué)反饋中，教師先引導(dǎo)學(xué)生分析：（1）商是有限小數(shù)還是無(wú)限小數(shù)？如何判斷？學(xué)生可根據(jù)余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，判斷商為無(wú)限小數(shù)。（2）你們認(rèn)為循環(huán)節(jié)是多少？為什么？學(xué)生觀察到第一次重復(fù)出現(xiàn)的余數(shù)所對(duì)應(yīng)的商為6，因此循環(huán)節(jié)為“6”。接著引導(dǎo)學(xué)生分析第2題。這是一道易錯(cuò)題，學(xué)生容易誤認(rèn)為循環(huán)節(jié)是“225”，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律。通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)是按照“25、52、25、52……”的規(guī)律重復(fù)的，對(duì)應(yīng)的商分別是“2”和“5”，因此循環(huán)節(jié)應(yīng)為“25”。

在教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時(shí)，教師通常僅提供一道計(jì)算題，學(xué)生只需按照規(guī)定步驟進(jìn)行計(jì)算，便可判斷其是否為循環(huán)小數(shù)以及其循環(huán)節(jié)的長(zhǎng)度，但這類(lèi)計(jì)算題對(duì)理解循環(huán)小數(shù)概念本質(zhì)的意義不大。采用數(shù)字謎題，便可促使學(xué)生關(guān)注算式特征，思考余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)商的變化規(guī)律，從而更深入地理解循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)。

二、運(yùn)用數(shù)字謎題，理解內(nèi)在關(guān)系

在四則運(yùn)算中，運(yùn)用數(shù)字謎題的練習(xí)，不僅能夠幫助學(xué)生鞏固運(yùn)算技能，還能使學(xué)生感悟到各類(lèi)運(yùn)算之間的關(guān)系，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和層次性。

（一）憑借乘法與加法的關(guān)系，破解數(shù)字謎題

乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。在筆算加法中，常常有相同加數(shù)連加的情況。因此，在設(shè)計(jì)數(shù)字謎題時(shí)，可融入相同加數(shù)連加的知識(shí)點(diǎn)，既鞏固學(xué)生基礎(chǔ)，訓(xùn)練其基本技能，又提升學(xué)生的思維品質(zhì)。比如，在教學(xué)三年級(jí)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計(jì)如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題4】

圍繞這道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師提問(wèn)：“這是一道萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)加法的數(shù)字謎題，你們覺(jué)得每個(gè)圖形的背后藏著什么數(shù)？”學(xué)生思考后回答：三角形表示的數(shù)為7是確定的，因?yàn)?個(gè)三角形相加的和的個(gè)位數(shù)是1，滿(mǎn)足這一條件的數(shù)字只有“三七二十一”中的7；而圓圈和五角星表示的數(shù)則存在不確定性。于是教師進(jìn)一步追問(wèn)：“為什么不確定？”學(xué)生隨之解釋?zhuān)核嬖趦煞N情況，分別是進(jìn)位加法與不進(jìn)位加法。教師順著學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：什么情況下是進(jìn)位加法？什么情況下是不進(jìn)位加法？學(xué)生便得出：如果十位相加的和是12，加上個(gè)位進(jìn)上來(lái)的2合起來(lái)是14，就是進(jìn)位加法；如果十位相加連同個(gè)位進(jìn)上來(lái)的2合起來(lái)是4，就是不進(jìn)位加法。

借助數(shù)字謎題，學(xué)生在觀察、分析與交流的過(guò)程中，巧妙運(yùn)用加法與乘法之間的關(guān)系，對(duì)進(jìn)位加法與不進(jìn)位加法進(jìn)行了區(qū)分。在解決數(shù)字謎題的同時(shí)，既鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，又培養(yǎng)了觀察與分析能力。

（二）利用各部分之間的關(guān)系，分析數(shù)字謎題

數(shù)字謎題通常只是在一個(gè)完整的計(jì)算過(guò)程中隱去部分?jǐn)?shù)字，并未破壞算式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，各部分之間的關(guān)系依然存在。因此，要解決數(shù)字謎題，需從算式本身的關(guān)系入手，借助各部分的關(guān)系進(jìn)行分析，從而掌握計(jì)算法則，提升解題能力。比如，在三年級(jí)學(xué)習(xí)了“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計(jì)如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題5】

圍繞這兩道數(shù)字謎題，教師可以提示學(xué)生：這兩道題目中，每個(gè)數(shù)位上的3個(gè)數(shù)字，基本上都有2個(gè)數(shù)是已知的，因此可借助加減法各部分的關(guān)系加以分析。如左邊這道題，被減數(shù)的個(gè)位應(yīng)為“7+7”的和的個(gè)位，這便是利用“被減數(shù)=差+減數(shù)”的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算的。而計(jì)算被減數(shù)十位上的數(shù)，則應(yīng)在“8+3”的基礎(chǔ)上，再加上個(gè)位進(jìn)位的1，其結(jié)果應(yīng)為“8+3+1”的和的個(gè)位。如此一來(lái)，原本連續(xù)的退位減法便轉(zhuǎn)化為連續(xù)進(jìn)位加法。同理，右邊的加法題可借助加數(shù)與和的關(guān)系進(jìn)行推理。

這類(lèi)數(shù)字謎題對(duì)學(xué)生而言是只需跳一跳就可以摘到的桃子，具有一定的挑戰(zhàn)性。在解決數(shù)字謎題的過(guò)程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，借助各部分的關(guān)系，運(yùn)用計(jì)算的法則，對(duì)知識(shí)的掌握更加扎實(shí)。

（三）運(yùn)用奇偶性之間的關(guān)系，巧解數(shù)字謎題

在數(shù)字謎題中，遇到相同的字母或文字相加，就會(huì)涉及奇偶性。巧妙運(yùn)用這種奇偶性，有助于成功巧解數(shù)字謎題。比如，在教學(xué)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計(jì)如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題6】

圍繞這道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“兩個(gè)相同的數(shù)相加，結(jié)果會(huì)是怎樣一個(gè)數(shù)？”學(xué)生通過(guò)舉例計(jì)算，得出“兩個(gè)相同的數(shù)相加，結(jié)果必定為雙數(shù)”的結(jié)論。接著，教師進(jìn)一步追問(wèn)：“那為什么‘行加‘行的結(jié)果為7（即單數(shù)）呢？”此時(shí)學(xué)生便會(huì)意識(shí)到，由于個(gè)位上的數(shù)相加滿(mǎn)十進(jìn)一，使得原來(lái)的雙數(shù)變成了單數(shù)。基于這樣的分析，學(xué)生可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)相加會(huì)引起進(jìn)位，由此得出：動(dòng)+動(dòng)=10，盤(pán)+盤(pán)=12。

學(xué)生通過(guò)舉例分析和交流討論，理解了相同的兩個(gè)數(shù)相加的結(jié)果一定是雙數(shù)，如果不是雙數(shù)，那表明低一位有進(jìn)位。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅理解了進(jìn)位加法的原理，也清楚了加法的結(jié)構(gòu)。

三、巧用數(shù)字謎題，培養(yǎng)高階思維

布魯姆等人將認(rèn)知思維過(guò)程從低級(jí)到高級(jí)分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)層次。其中，分析、評(píng)價(jià)和應(yīng)用屬于高階思維。解決數(shù)字謎題需要用到觀察、分析、猜測(cè)和推理，是一個(gè)綜合性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。好的數(shù)字謎題有助于學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，靈活解決問(wèn)題，從而提升高階思維能力。

（一）借助數(shù)字謎題，經(jīng)歷猜想—求證過(guò)程，積累解題經(jīng)驗(yàn)

推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。教師在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，應(yīng)創(chuàng)編數(shù)字謎題，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。比如，在教學(xué)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計(jì)如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題7】

圍繞這道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師先引導(dǎo)學(xué)生思考：在這道數(shù)字謎題中，“學(xué)”“習(xí)”“好”這三個(gè)字之間可能存在哪些關(guān)系？通過(guò)對(duì)減法豎式的分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)它們存在以下幾個(gè)關(guān)系：“好”比“學(xué)”大1；“好”+“學(xué)”=“習(xí)”；“好”+“習(xí)”=“學(xué)”+10。接著，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，借助列表尋找可能的答案（如圖1），并通過(guò)驗(yàn)證得出結(jié)果。

在解題過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的分析，借用簡(jiǎn)單枚舉的推理方法獲得了解題結(jié)果，逐漸積累了一些解題經(jīng)驗(yàn)，從而提升了解題能力。

（二）設(shè)計(jì)數(shù)字謎題，運(yùn)用等量—代換策略，培養(yǎng)解題能力

等量代換是一種基本思想方法，指用一種量（或一種量的一部分）來(lái)代替和它相等的另一種量（或另一種量的一部分）。在計(jì)算中運(yùn)用等量代換策略，能將復(fù)雜的算式變簡(jiǎn)單，順利求得結(jié)果。比如，在四年級(jí)“四則混合運(yùn)算”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)如下數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題8】

[○+□=32

○+○+○+○+○+□+□+□=134

○=？????? □=？]

圍繞這道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后提問(wèn)：“你是怎樣想的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個(gè)圓和1個(gè)正方形的和為32，而134可以看成3組這樣的正方形和圓相加，再加上剩余2個(gè)圓的和。這樣就可以求出圓代表的數(shù)為19，進(jìn)而求出正方形代表的數(shù)為13。

學(xué)生運(yùn)用等量代換策略，能巧妙地重構(gòu)原有的算式結(jié)構(gòu)，將原本復(fù)雜的算式簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的算式，從而培養(yǎng)了解題能力。

（三）運(yùn)用數(shù)字謎題，學(xué)會(huì)觀察—轉(zhuǎn)化方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的基本思維方式，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過(guò)程。數(shù)字謎題中蘊(yùn)含著豐富的轉(zhuǎn)化思想。比如，六年級(jí)的“數(shù)學(xué)廣角”中就有這樣兩道數(shù)字謎題。

【數(shù)字謎題9】

圍繞這兩道數(shù)字謎題，可以開(kāi)展如下教學(xué)過(guò)程。教師提問(wèn)：“看到第（1）題，你們想到了什么？”引導(dǎo)學(xué)生思考：由圓加正方形等于91和三角形加正方形等于63，可以得出圓比三角形大28。接著，根據(jù)三角形加圓等于46，可以得出2個(gè)圓的和是74，從而得出1個(gè)圓表示37。得出圓是多少后，便可通過(guò)計(jì)算得到其他幾個(gè)圖形的值。第（2）題也可采用同樣的方法求解，其教學(xué)過(guò)程此處不再贅述。

學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)字謎題的分析和判斷，能夠?qū)⑽粗D(zhuǎn)化為已知，從而有理有據(jù)地找到圖形、文字與符號(hào)背后隱藏的數(shù)字，并在這樣的轉(zhuǎn)化和推理過(guò)程中，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力。

在小學(xué)階段，數(shù)字謎題通常以思考題或星級(jí)題的形式呈現(xiàn)。要解答這類(lèi)問(wèn)題，首先要觀察、分析算式的特點(diǎn)，尋找解題的突破口；其次根據(jù)這些特點(diǎn)列舉出各種可能性；最后逐一排除，得出確定的結(jié)果。在這一過(guò)程中，學(xué)生需具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能夠?qū)F(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念相結(jié)合，并嘗試應(yīng)用各種方法，從而積累解題經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用解題策略，提升數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

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［4］陳婧亭，鐘世文.讓數(shù)學(xué)練習(xí)課充滿(mǎn)思考的魅力：錢(qián)金鐸老師“20以?xún)?nèi)加減法練習(xí)”教學(xué)賞析［J］.云南教育（小學(xué)教師），2016（12）：8-10.

［5］陸昌國(guó).“蟲(chóng)食算”的思維訓(xùn)練與小學(xué)生的智力發(fā)展［J］.安徽教育，1985（10）：34.

（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)湖源鄉(xiāng)中心小學(xué)）