如何運(yùn)用“整體思想”巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

沈強(qiáng)

在解題過(guò)程中，要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“整體思想”解決問(wèn)題的能力，可以采用以下教學(xué)策略。

一、從簡(jiǎn)單的情境入手，初步建立“整體思想”觀念

1.教師出示題目：李爺爺圍了一個(gè)菜園（如圖1），其中一面靠墻，籬笆的總長(zhǎng)為16米，求菜園的面積是多少？

讓學(xué)生先讀題，再嘗試解答。預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)籬笆由梯形的上底、下底和高組成，其中高為4米，所以上底與下底的和為12米。學(xué)生通常會(huì)采用假設(shè)法來(lái)解決問(wèn)題，如假設(shè)上底為4米，下底為8米或上底為5米，下底為7米，并代入梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么假設(shè)的上底與下底的長(zhǎng)不一樣，但面積都是24平方米？

預(yù)設(shè)學(xué)生通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩種假設(shè)中上底和下底的和都是12米，因此面積不變。

3.回顧與梳理。教師提問(wèn)：“有沒(méi)有一種更簡(jiǎn)潔的求解方法？”引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形面積的計(jì)算公式：梯形面積=（上底+下底）×高÷2。雖然上底和下底的具體長(zhǎng)度未知，但它們的和為12米，因此可以直接將“上底與下底的和”整體代入公式，得到梯形的面積為12×4÷2=24平方米。

二、從無(wú)法拆分的數(shù)據(jù)進(jìn)入，運(yùn)用“整體思想”解題

1.教師出示題目：如圖2所示，正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。

讓學(xué)生嘗試解答。預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)遇到困難，雖然知道邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=8平方厘米，但無(wú)法確定哪個(gè)數(shù)的平方等于8。

2.觀察與分析。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：正方形與圓之間，哪些數(shù)據(jù)是相等的？

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)能發(fā)現(xiàn)圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)相等，即r＝a。由于a2=8平方厘米，因此r2=8平方厘米。

3.運(yùn)用整體代入。圓的面積公式為S=πr2，雖然r的具體值未知，但可以將r2=8平方厘米整體代入公式進(jìn)行計(jì)算，得出圓面積為8π平方厘米。

三、從較復(fù)雜的情境進(jìn)入，運(yùn)用“整體思想”解題

1.教師出示題目：如圖3所示，小明和小紅相向而行，小明攜帶著一只狗。狗與小明同時(shí)出發(fā)，遇到小紅后返回小明處，遇到小明后又朝小紅跑去，如此往復(fù)，直至小明和小紅相遇。請(qǐng)問(wèn)：這只狗總共奔跑了多少米？

讓學(xué)生讀題，與同桌交流自己的初步想法，并嘗試列式計(jì)算。教師提問(wèn)：“你遇到了什么問(wèn)題？”預(yù)設(shè)學(xué)生難以畫出狗奔跑的路線，無(wú)從下手。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考：要求狗奔跑的路程，先要知道哪些條件？

路程=速度×?xí)r間，狗的速度是210米/分，只要知道奔跑了多少時(shí)間即可。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：狗奔跑的時(shí)間與什么時(shí)間相同？通過(guò)邏輯推理，得出：狗奔跑的時(shí)間與小明和小紅相遇的時(shí)間相同，即1800÷（95+85）=10（分）。因此，狗也奔跑了10分鐘，其總路程是210×10=2100（米）。

在解題過(guò)程中，有時(shí)需要分解條件，化“整”為“零”，有時(shí)則需要綜觀全局，運(yùn)用“整體思想”進(jìn)行綜合分析。

（浙江省嘉興南湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校）