滲透數(shù)學(xué)思想，提升思維能力

林杉

【摘要】本文從滲透分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和方程思想四個(gè)方面討論在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的方法，以提升教學(xué)的有效性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想是提升思維的基礎(chǔ).在課堂教學(xué)中教師要著重在知識講授中挖掘數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的思維真正參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，在觀察和分析問題中體會(huì)數(shù)學(xué)方法，感悟問題背后隱含的思想內(nèi)涵，從而真正發(fā)展思維能力，提升核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展.

1 立足基礎(chǔ)知識，滲透分類討論思想

分類討論思想在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，是指對一個(gè)問題的多種情況進(jìn)行分別討論的思想［1］.在教學(xué)中滲透分類討論的思想，使學(xué)生養(yǎng)成分類意識和習(xí)慣，對于提升學(xué)生對問題地正確認(rèn)識就顯得尤為重要.

案例1 有理數(shù)

師 假設(shè)a為有理數(shù)，請問-a一定為負(fù)數(shù)嗎？

生 -a一定為負(fù)數(shù).

師 大家都同意這個(gè)觀點(diǎn)嗎？我們不妨想一想有理數(shù)的定義，哪些數(shù)是有理數(shù)？

生 有理數(shù)有三種情況，可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者為0，所以我們要進(jìn)行分類討論.若有理數(shù)a為正數(shù)，那么-a為負(fù)數(shù)，若有理數(shù)a為負(fù)數(shù)，那么-a為正數(shù)，若有理數(shù)a為0，那么-a為0.

本例中教師以問題設(shè)計(jì)考查學(xué)生對有理數(shù)定義的理解，以具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生從知識點(diǎn)的定義出發(fā)進(jìn)行思考，開展分類討論，從而正確解答.經(jīng)過課堂教學(xué)中的多次訓(xùn)練，能夠促進(jìn)學(xué)生形成分類討論的思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)思維能力的突破，強(qiáng)化對知識定義的理解.

2 巧用圖象資源，滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩大對象，在解決數(shù)學(xué)問題過程中常常需要將數(shù)與形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從而使問題迎刃而解.滲透數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)D片與文字相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的相互轉(zhuǎn)化，有效提高解決問題的效率.

案例2 絕對值

師 今天我們學(xué)習(xí)了絕對值的概念，請你根據(jù)圖1說一說a和b的含義.

生1 根據(jù)絕對值的定義，a表示的是a到原點(diǎn)的距離，b表示b到原點(diǎn)的距離.

師 很好，那么請大家根據(jù)圖1，計(jì)算a-b和a+b的值.

生2 根據(jù)圖1可以看到a>0，b<0并且a

在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想能夠發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.本例中教師借助數(shù)軸幫助學(xué)生理解絕對值的概念，讓學(xué)生養(yǎng)成借助圖象解題的習(xí)慣，學(xué)會(huì)將抽象知識具體化，提升解題能力.此外，有理數(shù)加法法則和乘法法則的學(xué)習(xí)也可以應(yīng)用數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生更加直觀地理解抽象數(shù)學(xué)符號的具體含義，強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，達(dá)到事半功倍的效果.

3 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)化歸思想

化歸思想是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的總稱，是指將那些不易解決的陌生問題通過類比、聯(lián)想、推理等數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為熟悉的和易于解決的問題.應(yīng)用化歸思想可以引領(lǐng)學(xué)生將復(fù)雜的綜合性問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)解決過的問題，即用學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)模型解決新出現(xiàn)的問題.

案例3 如圖2，以AB為直徑的半圓上有一點(diǎn)C，將AC、BC進(jìn)行連接，AB等于10，tan∠BAC=34，求陰影部分的面積.

圖2

解題分析 本題中的陰影部分為兩個(gè)弓形，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段沒有學(xué)習(xí)直接計(jì)算弓形面積的公式，因此解決這道題需要使用化歸的思想，引導(dǎo)學(xué)生將不能直接解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

師 觀察圖形我們知道陰影部分是兩個(gè)弓形，雖然我們沒有辦法直接進(jìn)行求解，但是我們學(xué)過圓和三角形面積的計(jì)算，那么我們是否可以將陰影部分的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而尋找解題路徑呢？

生 我們可以用半圓的面積減去△ABC的面積就能得到陰影部分的面積.

解 因?yàn)锳B等于10，所以半圓的面積等于

12×πr2=252π，

因?yàn)锳B2=AC2+BC2，AB=10，tan∠BAC=34，

所以AC、BC的長度分別為8和6，

所以△ABC的面積等于12AC·BC=24，

陰影部分的面積則等于252π-24.

化歸思想是運(yùn)用學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型將不能直接解決的問題向?qū)W生已經(jīng)會(huì)解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化［2］.在解決較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找熟悉的規(guī)則圖形，將不規(guī)則的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化、拆解、割補(bǔ)等，使看似難以解決的問題迎刃而解.

4 發(fā)展逆向思維，滲透方程解題思想

方程解題思想是從求解問題入手分析數(shù)量關(guān)系，并通過數(shù)學(xué)語言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而建立方程或者方程組進(jìn)行問題求解的思想.方程思想是初中數(shù)學(xué)解題以及考查中的重要內(nèi)容，滲透方程思想可以促使學(xué)生的思維從記憶型向理解型轉(zhuǎn)化.

案例4 方程解題思想

我校運(yùn)動(dòng)會(huì)舉行跳繩比賽項(xiàng)目，分為男生和女生兩支隊(duì)伍進(jìn)行比賽，七（3）班在“單搖”項(xiàng)目中，男生和女生分別平均每人每分鐘跳80下和60下，計(jì)時(shí)一分鐘，則男女生一共跳了1560下.在“雙搖”項(xiàng)目中，男生和女生分別平均每人每分鐘跳42下和26下，計(jì)時(shí)一分鐘，則男女生一共跳了764下.求七（3）班派出的跳繩隊(duì)伍中，男女生各多少人？

師 本題要求解男女生人數(shù)各為多少人，我們不妨將這兩個(gè)未知數(shù)作為已知量，按照題目給出的等量關(guān)系進(jìn)行反向推理，列方程進(jìn)行求解，有沒有同學(xué)能夠嘗試一下？

生 我們設(shè)男女生人數(shù)分別為x和y，按照題意可以列方程80x+60y=156042x+26y=764，解方程組可得x和y分別為12和10.因此七（3）班派出的跳繩隊(duì)伍中，男生為12人，女生為10人.

方程思想可以幫助學(xué)生解決那些通過正向推導(dǎo)無法直接找到答案的問題，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力［3］.本例中教師從學(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)編制試題，引導(dǎo)學(xué)生采用反向推導(dǎo)的方法，將求解的問題設(shè)為未知數(shù)x和y，并且按照題意整理出x和y的等量關(guān)系，進(jìn)而通過列方程進(jìn)行求解.

5 結(jié)語

分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與方程解題思想是初中數(shù)學(xué)中的常用思想，掌握這些數(shù)學(xué)思想和方法能夠提升學(xué)生的解題能力，深化學(xué)生對知識的理解，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值.提升學(xué)生的思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］劉敏.試析化歸思想在初中教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 中國校外教育，2019（35）：81-82.

［2］薛海林.例談數(shù)學(xué)思想方法的滲透：以“有理數(shù)”的章節(jié)教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).2019（22）：19-20.

［3］高峰官.關(guān)注隱性課程資源中數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用：“分類討論思想運(yùn)用專題復(fù)習(xí)”設(shè)計(jì)與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（20）：30-32.