運用尺規(guī)作圖發(fā)展學生空間觀念

鄭貞弢

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在課程內容的第二學段學業(yè)要求中提到運用尺規(guī)作圖，作等長線段，直觀感受三角形的周長，感知線段長度與兩點間距離的關系等等，那么作為教師，要重視學生在作圖時積累的基本活動經驗，建立量感和初步的幾何直觀，培養(yǎng)學生的數學思想。

【關鍵詞】尺規(guī)作圖 ?量感 ?幾何直觀 ?數學文化 ?數學思想

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2024）04-0037-03

新課標在課程內容的第二學段學業(yè)要求中提到“經歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程?！闭f明學生在三四年級就要掌握簡單的尺規(guī)作圖方法，以逐步積累操作的經驗，有助于形成量感和初步幾何直觀。

一、基于尺規(guī)，感知等長線段

（一）結合情境，在操作中感悟

尺規(guī)作圖，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖。新課標在第二學段“圖形與幾何”的教學提示中提到“在認識線段的基礎上，引導學生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點間距離的關系，以增強幾何直觀?！边@個操作聽上去非常抽象，但在課堂教學中，教師可以結合有趣的情境，讓學生在操作中感悟“等長線段”。例如，在教學“線段、射線、直線”這個內容時，在認識了線段的特征后，設計一個有趣的“小螞蟻回洞”情境（圖1）：小螞蟻到洞口的距離是多少？請你先畫一畫，量一量，再用直尺和圓規(guī)把這個距離的等長線段畫在自己的本子上。在這個問題中，借助小螞蟻回洞的距離認識線段的特點，在體驗不看直尺的刻度時，用圓規(guī)將這個距離長度畫到本子上的過程。在操作時，對于剛剛升入四年級的學生而言，使用圓規(guī)還比較陌生，可先嘗試獨立操作，再將操作過程與同桌或小組成員分享，體會無刻度的直尺只能確定直線，用圓規(guī)的兩腳張開的距離可以確定線段的長短，從而作出與小螞蟻回洞距離等長的線段。一個有趣的情境，一個具體的操作，一個數學的感悟，在學生的操作與交流中，讓尺規(guī)作圖不再抽象，幫助學生增強了幾何直觀。

（二）發(fā)揮想象，直觀對比表達

很多教師常常認為，圓規(guī)這一學習用具要到六年級學習圓時再讓學生準備，其實在第二學段角的認識的教學中，為了感知角的大小變化，在學具選用上，常用的是教師或學生制作的活動角，或在網絡平臺上購買活動角學具，但上完課后，這些制作或購買的學具就成了一次性用品，那么圓規(guī)這個學具不正好就是一個活動角嗎？因此，我們在教學“角的認識”時，可以利用紙扇、圓規(guī)等身邊的小物件的開合，觀察角的大小變化，并比較角的大小。如，教師在引導學生發(fā)現角的大小與邊的長短關系時，可以讓學生想象將自己的小圓規(guī)與老師的教具大圓規(guī)對比，老師的教具大圓規(guī)的邊比你的小圓規(guī)的邊更長，那么老師手上的角就比你小圓規(guī)的角更大嗎？引發(fā)學生思考角的大小與邊的長短有關系嗎？學生在直觀對比中，發(fā)揮想象，抽象出圖形，再通過數學語言可以更簡約、更精確地表達這樣的空間形式，更直觀地理解角的大小與邊的長短無關。

（三）追根溯源，滲透數學文化

初探尺規(guī)教學的課堂，我在幾次聽評課中發(fā)現，有學生或聽課教師提出，現在我們已有刻度尺，為什么還需要進行尺規(guī)作圖的教學，特別是強調“不看直尺的刻度”。殊不知，尺規(guī)作圖最早起源于古希臘的數學課題，于公元前5世紀提出，當時還未完全統(tǒng)一度量單位，最關鍵的是測量與讀數時會存在誤差，那么不用讀數，用尺規(guī)作圖在理論上來說是沒有誤差的?；氐街袊鴼v史的中軸線上，記錄春秋時期政治家、思想家管仲言行思想的著作《管子·形勢》一書中提到：“奚仲之為車器也，方圜曲直，皆中規(guī)矩鉤繩?！边@里所提到的“奚仲”是大禹時期的人，也就是說規(guī)矩作為木工工具至少在夏朝就已經廣泛使用了。那么我們在尺規(guī)作圖教學中，不僅要關注學生操作學具時經驗的積累，還要讓學生在數學課堂上，一起追溯數學歷史，知道“規(guī)”是能畫圓的圓規(guī)，“矩”是兩條相連成直角且長短不一的尺，它們不僅是平面幾何的研究工具，也是我們生活中做人的道理，透過尺規(guī)，感悟數學文化。

二、活用尺規(guī)，明晰周長本質

（一）培養(yǎng)量感，直探本質

我們從人教版二年級上冊“長度單位”單元和蘇教版二年級上冊“厘米和米”的單元中，都能看到兩手將線段拉緊、拉直的情境圖，就已經在滲透“兩點之間的距離”的感知。再看蘇教版四年級上冊“垂線和平行線”單元的練習中有一道題（圖2）：

這題有意思的地方不在于“畫4厘米長的線段”，而在于畫出規(guī)定距離的兩個點，這個編排直指線段的本質，也就是“兩點之間的距離”，同時借助下方的一個小問題，將線段和線段與直線的關系進行知識點的整合。其實在這里，我們還可以打破整厘米數的長度，設計一些非整厘米數的練習。如：請你選擇使用刻度尺、無刻度的直條（尺）和圓規(guī)，畫出與以上線段等長的線段。這個操作并不難，大多數學生會先用刻度尺對原線段進行測量，但很快會發(fā)現具體精確到幾毫米，總是因誤差出現不同的測量結果，這時可先用無刻度直尺畫一條直線，再用圓規(guī)兩腳張開到與原線段等長，不用測量具體長度，就能將原線段“搬”到直線上，減少了測量時的誤差，關鍵是體驗到尺規(guī)作圖的方便，打破了原先用刻度尺測量的定勢思維。這些例題與練習都在為我們將尺規(guī)作等長線段引入課堂教學明確了方向，確定所達到的學習程度。

在理解了線段之后，新課標要求“用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上，認識三角形的周長。”這個作圖可以看作是以上“作等長線段”的應用。教學中，教師常讓學生在描一描、畫一畫中感受圖形的邊線，那么在初步感知周長這一概念后，可以引導學生借助尺規(guī)作圖的方法，在操作中探索“周長到底有多長”這個核心問題，嘗試用沒有刻度的直尺和圓規(guī)把三角形的三條邊依次畫到一條直線上，從數學思維的角度出發(fā)，就是將周長從二維的平面轉化為一維的“首尾相接”的線段長度上，尺規(guī)作圖的本質就是演繹推理，感知線段長度的可加性，并體會到用圓規(guī)依次度量三角形三條邊的等長線段的準確性，在培養(yǎng)學生量感的同時，也進一步明晰了周長概念的本質。

（二）嘗試作圖，引發(fā)猜想

我在執(zhí)教人教版四年級上冊“平行與垂直”一課中，探索“垂直線段最短”這個問題上，結合了北師大版中的“去河邊怎么走最近？”這樣一個小實驗（圖3）。教師可以先示范用直尺畫出直線AB表示河流，標上點O表示淘氣小朋友所在的點位，然后用圓規(guī)的針尖對準點O，用圓規(guī)張開的距離讓學生獨立嘗試尋找發(fā)現到河邊最近的距離。活動中，我看到學生仔細地調整圓規(guī)開口的距離，哪怕只差一點點，學生也能細心觀察、對比著。在這個作圖的過程中，也許不是每位學生都能準確找到圓弧與直線的切點，但在不斷調整距離的過程中，引發(fā)了學生垂直線段最短的猜想。

（三）借助尺規(guī)，驗證猜想

學生初步掌握了尺規(guī)的使用方法后，在解決一些圖形對比的問題中，也能借助尺規(guī)驗證自己的猜想，比如學生在理解了線段、直線、射線的特征后，對比下面兩組線段的長度，要求學生先看一看，再量一量（圖4）。左圖中線段兩端的兩個圓形和右圖中線段兩端類似箭頭的圖形，單從目測的角度，都容易讓人產生視覺錯誤，那么在量一量驗證猜想時，我們除了用有刻度的直尺來量，還可以讓學生嘗試借助圓規(guī)，用之前學到的“作等長線段”的方法進行比較，以驗證自己猜想。

再如用直尺和圓規(guī)作三角形，引導學生在尺規(guī)的操作中發(fā)現并驗證“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個一般規(guī)律，以蘇教版四年級下冊第七單元中例3的內容為例（圖5），在8cm、5cm、4cm、2cm中任選3根小棒，能圍成三角形嗎？學生在獨立思考操作時，一般會先確定一條邊，再不斷調整另外兩條邊與第一條邊的建構，但我們發(fā)現使用小棒學具調整時，與第一條邊的夾角容易發(fā)現位移，其實另外兩條邊在調整時所劃過的路徑就是在尋找兩個圓弧的交點，因此學生可以借助圓規(guī)，量得選用小棒的等長線段畫?。▓D6），以作圖為認知載體，從直觀中推理驗證規(guī)律。

三、應用尺規(guī)，挖掘數學思想

學生在第二學段的作圖體驗中，積累了一定的操作經驗，逐步發(fā)現作圖的規(guī)律，在遇到一些圖形問題時，就會自然地思考應用尺規(guī)解決問題，這就需要挖掘尺規(guī)作圖背后的數學思想。在借助直尺和圓規(guī)作圖的方法中理解了三角形的周長的基礎上，可采用類比的方法，引導學生自主探索用尺規(guī)作圖的方法補全一個長方形或正方形（圖7）。類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法，但要注意不要增加作圖難度，可以先給定兩條直角邊，作為一個長方形的一條長和一條寬，請學生利用尺規(guī)作圖補全這個長方形。在操作中要求學生要留有畫圖過程，在小學階段不用過度強調作圖步驟，鼓勵學生表達“作等長線段”“兩點確定一條線段”這些數學規(guī)律，通過類比思想發(fā)展學生的推理能力。再如以上談到的三角形的三邊關系，這種空間形式的結構正是一種數學模型，教師要注重在尺規(guī)作圖表達應用的過程中，逐步提高學生建模的能力。

另一方面，學生借助直尺和圓規(guī)將思考過程或是具體的數量直觀表達出來，清晰地感知幾何圖形與組成的各部分元素之間的空間關系，也就是將數與形結合起來，這樣數形結合的數學思想讓思維更直觀，讓分析更簡明。

四、拓展延伸，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

任教高年級的數學老師常常發(fā)現，學生在六年級學習了圓，學會使用圓規(guī)了，可操作技能只停留在會畫圓上，但有時我們不需要畫出完整的圓，那么教師可以在作業(yè)設計上打開學生的思路，將尺規(guī)的操作延伸，如圖8：點E是直線l上一點，點D在直線l外，請在直線l上畫出點F，使△DEF是等腰三角形。本題有趣的地方在于可以作出不同形狀的等腰三角形，線段DE既可當底，也可做腰，如我們可采用作業(yè)紙對折法，將點D和點E重合，那么折痕與直線l的交點就是點F。采用尺規(guī)作圖時，學生通過嘗試很快就能發(fā)現，以線段DE為腰時，可畫出等腰銳角三角形，也可等腰鈍角三角形，還可以在線段左右兩邊不同方向嘗試作圖。一道簡單的開放型操作習題，拓展了學生只會用圓規(guī)畫圓的單項技能，延伸出新的思考，學生在尺規(guī)的結合運用中提升了創(chuàng)新意識。

尺規(guī)作圖以其合理性、必要性、直觀性、簡潔性等特征，讓學生在細致的操作和嚴密的思考中，發(fā)展了空間觀念，并且融入了量的感知和推理意識的培養(yǎng)。在幾次的作圖課后，有些學生意猶未盡，在課間繼續(xù)利用尺規(guī)設計圖案，再與同學交流、分享操作過程，我想，這就是數學獨有的文化魅力，不僅能深化明理，凸顯幾何價值，還培育了學生良好的數學品格。

參考文獻：

[1]王邵惠子，王青建.尺規(guī)作圖問題新探[J].數學學習與研究，2018（5）：125-128.

[2]劉加霞，潘麗云.尺規(guī)作圖的歷史溯源、育人價值及教學建議[J].小學教學：數學版，2022（7）：20-24.