培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

翁文彪

［摘? 要］ “直線與圓的位置關(guān)系”是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，也是高考的重要考點，還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要素材. 在教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)實際創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生由“數(shù)”向“形”轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)法來分析和解決幾何問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合思想；教學(xué)情境；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

對于“直線與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容學(xué)生并不陌生，在初中階段就重點學(xué)習(xí)過. 不過初中階段主要是通過直觀觀察得到結(jié)論，而高中階段則是通過運算得到結(jié)論. 在具體教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生從“代數(shù)”和“幾何”兩個角度研究直線與圓的位置關(guān)系，通過由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

教學(xué)設(shè)計與實施

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入主題

例1 已知圓C的圓心坐標為（2，3），半徑為1，直線l：kx－y－1+2k=0恒過定點P，請分別求出點P的坐標及圓C的標準方程，并化成一般式.

思考：（1）點P與圓C具有怎樣的位置關(guān)系？（2）動直線l與圓C具有怎樣的位置關(guān)系？

問題給出后，學(xué)生積極思考，求得定點P的坐標為（－2，－1），圓C的標準方程為（x－2）2+（y－3）2=1，化成一般式為x2+y2－4x－6y+12=0. 對于思考（1），學(xué)生借助圖形可知，點P為圓C外一點. 對于思考（2），學(xué)生再借助圖形去判斷卻犯了難，由此引發(fā)了學(xué)生的認知沖突，激發(fā)了學(xué)生的探究欲.

設(shè)計意圖 直線方程、圓方程以及點與圓的位置關(guān)系是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握的知識，在此基礎(chǔ)上進一步拓展延伸，通過動直線的變化引出直線與圓的三種位置關(guān)系——相離、相切、相交.

2. 合作交流，數(shù)學(xué)建構(gòu)

教師利用幾何畫板展示直線l：kx－y－1+2k=0繞定點P（－2，－1）旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生直觀感知如何判斷直線l與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1的位置關(guān)系.

師：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？

生齊聲答：看直線與圓有幾個公共點.

師：很好，圖1中的直線與圓是怎樣的位置關(guān)系呢？（教師展示圖1）

生1：相切. （其他學(xué)生也贊成生1的說法）

師：是嗎？現(xiàn)在我們放大來看一看. （教師將圖1的局部放大，得到圖2）

生1：看圖1明明是相切的，怎么又是相交的呢？（學(xué)生投來詫異的眼神）

師：人會產(chǎn)生“錯覺”，所以眼見未必為實. 有沒有其他方法可以準確地判斷直線與圓的交點個數(shù)呢？

問題給出后，教師刻意放慢速度，讓學(xué)生結(jié)合已有知識和經(jīng)驗探尋其他解決方案.

生2：前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程和圓的方程，可以利用方程思想來研究直線與圓的位置關(guān)系.

師：不錯的想法，解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)法來研究幾何問題. 若k=1，則直線l：x－y+1=0與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1有幾個交點呢？

教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合兩直線相交的研究經(jīng)驗來解決圓與直線相交的問題；學(xué)生聯(lián)立直線和圓的方程，求出其交點的坐標，判斷兩者的位置關(guān)系.

師：上述過程（略）是否可以簡化呢？一定要求出交點的坐標才能判斷它們有幾個交點嗎？

生3：不需要，只要考慮根的判別式即可，即根據(jù)根的判別式判斷方程的實根個數(shù)，就可以得到交點的個數(shù).

師：很好，結(jié)合大家交流的內(nèi)容，請同學(xué)們總結(jié)一下判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.

教師先讓學(xué)生以小組為單位進行歸納總結(jié)，然后讓各小組交流展示結(jié)果.

生4：聯(lián)立直線和圓的方程，通過消元法得到一個一元二次方程，若Δ>0，則直線與圓有兩個交點，即直線與圓相交；若Δ=0，則直線與圓有且僅有一個交點，即直線與圓相切；若Δ<0，則直線與圓沒有交點，可以判斷直線與圓相離.

師：這樣將幾何問題代數(shù)化，利用方程思想解決問題，可以有效規(guī)避“錯覺”的風(fēng)險，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴謹性.

設(shè)計意圖 在教學(xué)中，教師先從“形”的角度出發(fā)，讓學(xué)生通過觀察直觀感知直線與圓的位置關(guān)系，然后利用“錯覺”讓學(xué)生體會“形缺數(shù)時難入微”的含義，以此激發(fā)學(xué)生用代數(shù)法研究幾何問題的積極性.

師：除了應(yīng)用方程思想，你還能找到其他方法嗎？回顧初中判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，你有何發(fā)現(xiàn)呢？

生5：比較d（圓心到直線的距離）與r（圓的半徑）的大小.

師：利用這個方法你能判斷直線l：x－y+1=0與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1的位置關(guān)系嗎？

生6：圓心C（2，3）到直線l：x－y+1=0的距離d=0，d

師：哦，d=0？

生6：直線l剛好過圓心.

師：如果直線與圓相切或相離，又會存在怎樣的情況呢？

生7：若d>r，則相離；若d=r，則相切.

師：很好，這樣利用圖形的幾何性質(zhì)同樣可以判斷直線與圓的位置關(guān)系. 對于以上研究結(jié)果，能總結(jié)一下嗎？

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生通過互動交流對代數(shù)法和幾何法進行了歸納總結(jié).

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度出發(fā)，運用初中判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法及點到直線的距離公式，得到判斷直線與圓的位置關(guān)系的另一種方法——幾何法，以此讓學(xué)生學(xué)會運用數(shù)量關(guān)系刻畫直線與圓的位置關(guān)系，深化對數(shù)形結(jié)合的理解.

3. 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化理解

例2 過點A（－1，4）作圓（x－2）2+（y－3）2=1的切線，求切線方程.

題目給出后，教師讓學(xué)生獨立求解，并鼓勵學(xué)生分別應(yīng)用代數(shù)法和幾何法來處理問題. 問題解決后，教師讓學(xué)生展示解答過程，并規(guī)范其書寫. 緊接著，教師對例2進行變式，讓學(xué)生思考：若定點A的坐標為（1，5）或（1，0），此時切線方程又會怎樣變化？使學(xué)生體會定點位置對求切線方程的影響.

設(shè)計意圖 通過典型例題幫助學(xué)生鞏固和強化新知，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生的解題技能. 在此過程中，教師鼓勵學(xué)生應(yīng)用代數(shù)法和幾何法求解，并對這兩種方法進行對比分析，讓學(xué)生了解代數(shù)法的一般性和幾何法的直觀性、簡潔性，進一步體會數(shù)形結(jié)合的重要性.

4. 回顧小結(jié)，升華認知

該環(huán)節(jié)教師啟發(fā)學(xué)生從知識、思想、方法等多方面進行歸納總結(jié)，然后組內(nèi)交流，最后各小組派代表展示交流成果.

設(shè)計意圖 通過課堂小結(jié)幫助學(xué)生完成知識、思想、方法的梳理，完善認知結(jié)構(gòu). 在此過程中，教師不僅重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的提煉，促進學(xué)生認知升華，還鼓勵學(xué)生提出自己所想、所惑，培養(yǎng)學(xué)生善于提出問題、思考問題的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

課后反思

1. 巧用教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情

一個好的情境應(yīng)該具有良好的生長性和開發(fā)性，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 在現(xiàn)實教學(xué)中，大多數(shù)教師習(xí)慣以現(xiàn)實生活為依托，這樣的情境是易于學(xué)生理解的，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng). 不過，教學(xué)中要避免只使用單一情境，而應(yīng)通過情境的多樣性激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 在本課教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)實際設(shè)計數(shù)學(xué)情境，由點與圓的位置關(guān)系延伸至直線與圓的位置關(guān)系. 在建構(gòu)新知的過程中，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生將舊知與新知聯(lián)系起來，促進知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)和思維的生長，促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.

2. 滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，是學(xué)生研究解析幾何問題的重要方法. 在本課教學(xué)中，應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，讓學(xué)生感受數(shù)形相互依存的關(guān)系，體會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的必要性、重要性和簡潔性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力. 在本課教學(xué)中，教師利用“錯覺”創(chuàng)設(shè)沖突，讓學(xué)生體驗“視覺直觀”是不可靠的，由此自然實現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生學(xué)會用幾何圖形中的數(shù)的特征來解決幾何問題，充分感知數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)勢.

總之，在實際教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)有效的情境，讓學(xué)生通過聯(lián)想、類比、歸納等活動加深對數(shù)學(xué)知識的理解，在分析和解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 同時，教學(xué)中應(yīng)重視凸顯知識間的內(nèi)在聯(lián)系，促進學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)以及數(shù)學(xué)遷移能力、分析和解決問題能力的提升.