關(guān)于圓錐曲線中的四邊形問題的探究

陸燁

［摘? 要］ 破解圓錐曲線問題時，要整合幾何與代數(shù)知識考點，采用合理方法構(gòu)建模型，利用代數(shù)分析推導(dǎo)結(jié)論. 文章以圓錐曲線中的四邊形問題為例，開展問題評析、知識歸納、方法總結(jié)、拓展探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；四邊形；模型；面積；方程

圓錐曲線中的四邊形問題較為常見，該類問題的綜合性強，涉及眾多知識考點、方法模型，開展問題評析、歸納總結(jié)、拓展探究可提升學(xué)生的解題能力. 本文以一道典型問題為例，展開具體評析和探究.

引例探究，問題評析

（1）求E的方程；

解析 （1）整合條件，構(gòu)建方程組求解.

（2）該問以橢圓為背景構(gòu)建幾何圖形，探究四邊形面積的最大值. 可分兩步求解：第一步，構(gòu)建四邊形面積模型；第二步，解析面積的最大值.

評析 上述例題為圓錐曲線綜合題，其中第（2）問為核心之問——探究四邊形的最大值. 解析按照的思路是“問題轉(zhuǎn)化→模型構(gòu)建→最值分析”，即先將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，然后構(gòu)建面積模型，代入線段的長度，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，最后利用均值不等式的性質(zhì)求解最值. 在整個過程中，模型的構(gòu)建是解題關(guān)鍵，均值不等式的性質(zhì)是最值分析的核心知識.

知識歸納，方法總結(jié)

上述例題為圓錐曲線綜合題，充分整合圓錐曲線相關(guān)知識構(gòu)建模型，結(jié)合函數(shù)、不等式、方程等知識來破解. 解題中的知識、模型與思路是探究學(xué)習的關(guān)鍵，下面開展知識歸納、方法總結(jié).

1. 知識點：直線與曲線的方程聯(lián)立

直線與曲線的方程聯(lián)立是解題的常規(guī)環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)中需要合理整合方程，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，方便后續(xù)設(shè)而不求、整體代入. 以直線與橢圓的方程為例，整合過程如下：

注意點：若直線沒有過橢圓內(nèi)的一個定點，則不能說明直線與橢圓有兩個交點，須確保Δ>0，才可滿足有兩個交點.

2. 知識點：根的判別式和韋達定理

注意點：若橢圓的焦點在y軸上，只需把a2，b2的位置互換即可.

歸納總結(jié) 韋達定理聯(lián)系了題干條件與方程中的參數(shù)，因此，在處理如向量、面積、三點共線、角度等相關(guān)問題時，可按如下步驟來完成.

第一步，挖掘題目中的核心信息，用坐標表達；

第二步，聯(lián)立整合方程，用韋達定理提取根與系數(shù)的關(guān)系；

第三步，將相關(guān)代數(shù)式用韋達定理形式整體替換.

3. 模型構(gòu)建

圓錐曲線中的四邊形問題，有如下兩種模型構(gòu)建策略.

策略1 直接構(gòu)建.

策略2 關(guān)系轉(zhuǎn)化.

模型①：分析圖形是否存在“同底”或“等高”的特點，若存在，則可將其轉(zhuǎn)化為對角線互相垂直的四邊形，再利用相應(yīng)模型求解.

歸納總結(jié) 構(gòu)建四邊形面積模型時，需關(guān)注圖形的特點、特征，結(jié)合題設(shè)條件完成構(gòu)建. 具體可按如下步驟進行：

第一步，理解題意，解析圖形，挖掘其幾何特征；

第二步，根據(jù)幾何特征確定構(gòu)建策略；

第三步，結(jié)合公式構(gòu)建模型，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)問題.

拓展探究，應(yīng)用舉例

上述歸納總結(jié)了破解圓錐曲線綜合題的核心知識，以及四邊形面積模型構(gòu)建策略. 在實際探究時，要根據(jù)問題中的圖形靈活調(diào)整模型構(gòu)建策略.

1. 直接構(gòu)建面積模型

分析 本題為圓錐曲線綜合題，第（1）問為常規(guī)問題，利用條件可直接求解；第（2）問探究的是四邊形ACBD面積的最大值，求解此問的關(guān)鍵是構(gòu)建面積模型，可通過“四邊形的對角線相互垂直”直接構(gòu)建.

將②③兩式代入上式，得（k2+1）·（2m2－3）+km（－4km）+m2（2k2+1）=0，整理得m2=k2+1④. 將④式代入①式，得Δ=4（4k2+1）>0恒成立，則k∈R.

評析 上述探究橢圓背景下的四邊形面積最值問題時，把握“四邊形的對角線互相垂直”的特性，直接構(gòu)建面積模型，再結(jié)合坐標將面積模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，最后結(jié)合均值不等式的性質(zhì)推導(dǎo)最值. 整個過程分三步完成：第一步，聯(lián)立方程，簡化推導(dǎo)條件；第二步，構(gòu)建面積模型，將面積模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；第三步，利用均值不等式的性質(zhì)分析面積最值.

2. 割補構(gòu)建面積模型

（1）試求橢圓C的方程；

分析 本題為圓錐曲線綜合題，以直線與橢圓相交為背景. 第（1）問求橢圓的方程，可結(jié)合弦長公式求解. 第（2）問添補了四邊形APBQ，可設(shè)定其面積求直線l的方程，求解的關(guān)鍵是構(gòu)建面積模型，在此采用面積割補策略.

評析 上述對四邊形面積問題的探究，采用的是面積割補策略，即先將四邊形拆解成兩個一般三角形，再結(jié)合相關(guān)條件求解. 整個過程分為三步：第一步，聯(lián)立方程，整合方程；第二步，面積割補，構(gòu)建面積模型；第三步，結(jié)合韋達定理和相應(yīng)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程，解方程完成求解.

解后反思，教學(xué)建議

上文以一道圓錐曲線中的四邊形問題為例，開展思路突破、過程解析，詳細總結(jié)了四邊形面積模型的構(gòu)建策略，并結(jié)合實例拓展強化，總結(jié)問題破解步驟. 在解題教學(xué)中，可參考“引例分析→歸納總結(jié)→拓展應(yīng)用”的思路設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，下面提幾點建議.

1. “引例分析”中注意過程講解

“引例分析”是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要教師精選問題，所選問題要有代表性、典型性，問題特征要突出，解法要有廣泛適用性. 教學(xué)時要注意過程講解，即要讓學(xué)生體驗解題過程，掌握解題步驟. 可把握以下兩點設(shè)計引例分析環(huán)節(jié)：一是按照“分析知識考點→思考解題方向→分步構(gòu)建過程→解后評析反思”的思路進行設(shè)計；二是合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考解題方向.

2. “歸納總結(jié)”時構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

“歸納總結(jié)”是解題教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入反思問題，歸納總結(jié)問題的知識考點、解題方法，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò). 具體教學(xué)可按照如下幾個階段進行：第一階段，讓學(xué)生歸納問題特征、所涉知識點；第二階段，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解法，總結(jié)方法特點；第三階段，幫助學(xué)生詳細總結(jié)方法，提煉解題模型、解題策略；第四階段，幫助學(xué)生構(gòu)建同類問題的求解思路，完善知識網(wǎng)絡(luò). 在個各教學(xué)階段中，教師要靈活調(diào)整策略，注意提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力.

3. “拓展應(yīng)用”中培養(yǎng)解題思維

“拓展應(yīng)用”是解題教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要教師結(jié)合問題開展應(yīng)用探究，指導(dǎo)學(xué)生掌握同類問題的求解思路，逐步培養(yǎng)學(xué)生的解題思維. 具體教學(xué)時需要注意以下三點，一是適度拓展問題，不能過度發(fā)散，否則易造成學(xué)生解題障礙；二是要選取覆蓋面廣、代表性強、涉及知識點多的問題；三是培養(yǎng)學(xué)生思維，要給學(xué)生留足思考時間和空間，讓學(xué)生獨立思考，教師適度啟發(fā)即可.