例析幾道“隱形圓”問(wèn)題

羅泳欣

圓具有豐富的幾何性質(zhì)，當(dāng)利用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題時(shí)可以起到事半功倍的效果.利用解析幾何的思想可知，通過(guò)圓的定義可以獲得圓的軌跡方程，利用阿波羅尼斯定理或托勒密定理等等也可以獲得圓的方程.但在某些板塊里面卻沒(méi)有明顯的“圓”的方程，這就需要我們用創(chuàng)造性的思維構(gòu)造出“圓”來(lái)進(jìn)行解題.本文梳理了部分使用“圓”的軌跡來(lái)解題的案例，以供大家參考.

1.隱藏在三角形中的“圓”

析解：本題以三角形為背景，考察向量的相關(guān)知識(shí).常規(guī)解法是利用平面向量基本定理，表示出所求角，再利用不等式等相關(guān)手段進(jìn)行求解.本文將通過(guò)巧妙的建系來(lái)發(fā)掘出“圓”，利用圓的幾何性質(zhì)求解.如圖1，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EC為x軸，過(guò)點(diǎn)E作

評(píng)注：本題若選擇向量或正、余弦定理求解，對(duì)應(yīng)的運(yùn)算難度很大.本題通過(guò)思考點(diǎn)A的軌跡，巧妙的構(gòu)造出“圓”有效地提升了解題效率.分析上述解題過(guò)程可知，當(dāng)點(diǎn)D，B為對(duì)應(yīng)線段的其他等分點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的軌跡也是“圓”.借助上述“圓”的模型，我們還可以探討ΔABC面積以及周長(zhǎng)的最值問(wèn)題.

例2 （2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）記ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC．

析解：本題以幾何平均三角形為背景，結(jié)合三等分線考察正、余弦定理的應(yīng)用.本題可選擇的三角形較多，需要構(gòu)建的方程也較多，思維難度較大.本文嘗試構(gòu)造出“圓”來(lái)進(jìn)行求解.

由第（1）問(wèn)可知BD=b為定值，由此可考慮構(gòu)造點(diǎn)B的軌跡進(jìn)行求解.如圖2，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，CA為x軸，過(guò)點(diǎn)D作CA的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），C的坐標(biāo)為（－1，0），

評(píng)注：上述四個(gè)例題獲得圓的方式都不一樣，例1利用向量的運(yùn)算，例2利用圓的定義，例3借助了正弦定理的性質(zhì)，例4借助了中線公式以及圓的定義.

2.隱藏在三角函數(shù)中的“圓”

例5 已知cos（α+β）=cosα+cosβ，求cosα的最值.

評(píng)析：在本題的解題過(guò)程中，構(gòu)造了一條直線與一個(gè)圓.將原來(lái)的代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圖形的相交問(wèn)題.高效地實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的化簡(jiǎn)，充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

析解：因?yàn)棣?，β是方程acosθ+bsinθ=c的兩個(gè)根，即有acosα+bsinα=c，以及acosβ+bsinβ=c，如圖5，為此構(gòu)造直線l：ax+by=c，顯然可得點(diǎn)A（cosα，sinα）∈l，B（cosβ，sinβ）∈l.其中點(diǎn)A，B顯然屬于單位圓⊙O：x2+

3.隱藏在不等式中的“圓”