巧用空間向量處理一類翻折問題

晏婧 章建榮

立體幾何中翻折問題是常見的問題，此類問題研究線線、線面的平行和垂直，還涉及與動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的有關(guān)空間角度和距離的問題，旨在考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算能力，此類問題比較靈活，要在變化中尋找規(guī)律，對學(xué)生的思維的靈活性和知識(shí)的遷移能力有一定的要求.

類型一 翻折中存在性的定性判斷

A．存在某個(gè)位置，使得直線BD與直線AC垂直

B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個(gè)位置，使得直線BC與直線AD垂直

D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“CD與AB”，“AD與BC”均不垂直

解析：矩形在翻折前和翻折后的圖形如圖1（1）、圖1（2）所示．在圖1（1）中，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，由邊AB，BC不相等可知點(diǎn)E，F(xiàn)不重合．在圖1（2）中，連接CE，對于選項(xiàng)A，若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC=A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合相矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B，若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD=D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，由AB

對于選項(xiàng)C，若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC=D，

所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，

已知AB=2，BC=22，則BC>AB，所以不存在這樣的直角三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

由以上可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選B．

評析：這種翻折中有關(guān)異面直線垂直的存在性問題，旨在考查平面問題空間化，將異面直線垂直的問題，核心是轉(zhuǎn)化為線面垂直，將存在性的問題通過假設(shè)推理，加以論證，有效的考查空間想象能力和邏輯推理.

但隨著題目難度增加，學(xué)生往往束手無策.平面圖形繞一條定軸翻折問題，幾何體的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，使思維更具發(fā)散性，一個(gè)比較有效的思考方向是抓住點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找規(guī)律.

如圖2所示，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中， △ABD是翻折面，BD是翻折軸，AE⊥BD，在翻折的過程中，點(diǎn)A的翻折運(yùn)動(dòng)的軌跡就是以E為圓心，AE為半徑的半個(gè)圓周，而且這個(gè)圓周面和BD是垂直的，這個(gè)規(guī)律便是處理翻折的問題重要突破口.

評析：借助翻折的規(guī)律，通過建立空間坐標(biāo)系，用圓的參數(shù)方程表示動(dòng)點(diǎn)，用代數(shù)的思想來研究動(dòng)態(tài)的翻折問題，有效地降低了邏輯推理的難度，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

類型二 翻折中存在性的定量計(jì)算

－BCD，若在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得A′D⊥BC，則x的取值范圍是．

評析：理清翻折前后的變量與不變量，一般情況下，位于旋轉(zhuǎn)軸同側(cè)的平面圖形的幾何量及位置關(guān)系是保持不變的，特別是垂直關(guān)系，利用空間向量來處理，有效地降低了空間想象的難度，同時(shí)還能判斷存在性點(diǎn)的位置情況，即夾角為銳角時(shí)才會(huì)出現(xiàn)垂直的可能，體現(xiàn)了代數(shù)法的優(yōu)勢.

類型三 翻折中存在性綜合應(yīng)用

例3 在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為CD的中點(diǎn)，將△CBE沿直線BE翻折至△C1BE的位置，則（）.

B．翻折過程中，存在某個(gè)位置的C1，使得BE⊥AC1

C．翻折過程中，四棱錐C1－ABED必存在外接球

D．當(dāng)四棱錐C1－ABED的體積最大時(shí)，以AC1為直徑的球面被平面C1BE截得交線長為π

翻折是聯(lián)結(jié)平面與空間、變量與不變量的重要紐帶，立體幾何翻折問題打破了一般立體幾何問題的定勢思維，考查學(xué)生的空間想象等能力，所以求解此類問題應(yīng)從翻折的規(guī)律出發(fā)，借助空間向量處理空間的平行、垂直和有關(guān)角度的問題，這不失為一種行之有效的方法.