授人以魚，授人以漁

李燕萍

【摘要】初中教學(xué)中有很多知識(shí)都滲透著數(shù)形結(jié)合思想，特別是函數(shù)的章節(jié)，但是學(xué)生往往很難將兩者聯(lián)系到一起，導(dǎo)致學(xué)生畏懼函數(shù)類型的題目，所以如何在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合值得我們探索.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中教學(xué)；課堂教學(xué)

古人云：“授人以魚不如授人以漁.”所以教師在講授知識(shí)的同時(shí)更要告訴學(xué)生思考問題的方法.數(shù)形結(jié)合是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，能夠使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，找到思考問題的方向，故在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透.

平面直角坐標(biāo)系是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，平面直角坐標(biāo)系將幾何和代數(shù)聯(lián)系起來，學(xué)生可以通過觀察函數(shù)圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來解方程，可以通過觀察函數(shù)圖象的形狀來研究函數(shù)的性質(zhì).故在平面直角坐標(biāo)系教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的滲透顯得尤為重要.下面將以“平面直角坐標(biāo)系——用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形”這一課為例闡述如何在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想.

1 研判學(xué)情，決定教學(xué)策略

教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主，這節(jié)課前學(xué)生已掌握平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識(shí)，會(huì)根據(jù)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)的位置.同時(shí)班級(jí)里小組建設(shè)較為成熟，可以順利開展小組合作，在教學(xué)過程中可以考慮適當(dāng)進(jìn)行小組合作.

2 研究教材，明確教學(xué)目標(biāo)

教師應(yīng)深入挖掘教材的內(nèi)容，整理出有關(guān)于數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在探究中慢慢形成數(shù)形結(jié)合的思想[1].這節(jié)課是課本中的一個(gè)例題，為什么我們要用一節(jié)課的時(shí)間來研究它？前面的課時(shí)中我們學(xué)習(xí)了用坐標(biāo)刻畫一個(gè)點(diǎn)、一條線段，而這堂課研究用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，層層遞進(jìn)地讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想.因此確定這節(jié)課的目標(biāo)是：①引導(dǎo)學(xué)生能在直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡(jiǎn)單圖形，對(duì)給定的正方形，會(huì)選擇合適的直角坐標(biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②通過用“數(shù)”刻畫“形”以及用“形”直觀地描述“數(shù)”來讓學(xué)生辯證地體會(huì)、理解數(shù)形結(jié)合思想；③使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象之下的應(yīng)用廣泛性，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值.

3 理清思路，設(shè)計(jì)教學(xué)過程

這節(jié)課的思路是先提出問題：能否用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形？引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，帶著問題學(xué)習(xí).再提出問題：能否用坐標(biāo)刻畫一個(gè)正方形？接著是刻畫一個(gè)長方形、三角形.根據(jù)這個(gè)思路設(shè)計(jì)以下的教學(xué)過程.

3.1 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，奠基后續(xù)學(xué)習(xí)

前兩節(jié)課學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)刻畫一個(gè)點(diǎn)，利用以下的問題復(fù)習(xí)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中不同位置坐標(biāo)的特點(diǎn).

（1）在前面一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們用什么方法來確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置？

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，每一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)是什么？

（3）x軸和y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

“平面直角坐標(biāo)系”的內(nèi)容比較抽象，尤其是坐標(biāo)的特點(diǎn)，如果只是死記硬背，不僅使學(xué)生難以理解，也容易忘記，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.所以在前期的教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生觀察坐標(biāo)系上的點(diǎn)和坐標(biāo)，歸納不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，不僅更易理解，還能感受數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

3.2 構(gòu)建知識(shí)脈絡(luò)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

課堂教學(xué)應(yīng)循序漸進(jìn)，教師設(shè)置合理的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在問題的探究中理解數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成.可在課前先布置學(xué)生完成以下題目，課堂上投影展示學(xué)生作品.

（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中描出下列點(diǎn)，并將這些點(diǎn)用線段依次連接起來．

（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）．

觀察得到的圖形如圖2，你覺得它像什么？求出所得到圖形的面積．

（2）請(qǐng)你用這部分已學(xué)的內(nèi)容，向你的伙伴準(zhǔn)確描述右邊的圖形.

教師問；“這組坐標(biāo)刻畫了一個(gè)類似什么的圖形？大家畫出的圖形都一樣嗎？”引導(dǎo)學(xué)生歸納：“形”描述“數(shù)”.

第（2）小題有學(xué)生會(huì)用“三角形加長方形”或“算面積”來描述這個(gè)圖形，教師可問：“能用上述兩種辦法來描述這個(gè)圖形嗎？這樣描述后圖形確定了嗎？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種描述方式無法確定圖形的形狀.展示學(xué)生的作品：“有同學(xué)用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)來描述這個(gè)圖形.”同時(shí)根據(jù)學(xué)生所寫的坐標(biāo)描出相應(yīng)的點(diǎn)，并用線段依次連接.引導(dǎo)學(xué)生歸納：“數(shù)”刻畫“形”.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納：刻畫一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形需要關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)這兩道題，學(xué)生得出在平面直角坐標(biāo)系中“數(shù)”與“形”可以互相描述.教師提出問題：“我們能否用坐標(biāo)來刻畫一個(gè)正方形？”并設(shè)計(jì)問題1.

問題1 探究：

（1）圖3，如果以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么y軸是哪條直線？請(qǐng)畫出來，并寫出正方形的頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)．

（2）在圖4中，請(qǐng)另建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，這時(shí)正方形的頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)又分別是多少？

第（1）小題：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納要建立平面直角坐標(biāo)系首先應(yīng)確定原點(diǎn)，利用y軸與x軸、原點(diǎn)之間的位置關(guān)系，確定x軸、y軸，并引導(dǎo)學(xué)生得出建立這個(gè)平面直角坐標(biāo)系是依據(jù)正方形的內(nèi)角是90°.

第（2）小題：教師問：“你能否建立另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，并寫出正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？”讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論完成以下任務(wù)：①小組討論能建立的平面直角坐標(biāo)系有哪幾種？②組長檢查組員建立平面直角坐標(biāo)系后頂點(diǎn)坐標(biāo)的正確與否.

教師問：“你們可以建立幾種平面直角坐標(biāo)系？”請(qǐng)小組進(jìn)行展示.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察他們所建立的平面直角坐標(biāo)系可以以四個(gè)頂點(diǎn)、邊的中點(diǎn)或正方形的中心為原點(diǎn)，以與正方形的邊平行或垂直的直線為坐標(biāo)軸建立的.讓學(xué)生在建立平面直角坐標(biāo)系的同時(shí)，感受正方形可以用坐標(biāo)來刻畫，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想.

3.3 滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)習(xí)能力

一道題的講解不能只限于解決問題，還應(yīng)該挖掘其有價(jià)值的部分，問題1還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)了圖形的性質(zhì)，進(jìn)而對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想有更深入的理解.接下來進(jìn)行以下追問：

追問1：“不管如何建立平面直角坐標(biāo)系，描述的是否都是同一個(gè)正方形？同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為什么不同？”

追問2：“觀察出來的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？”教師引導(dǎo)學(xué)生：①先觀察A，D的坐標(biāo)，再觀察B，C的坐標(biāo)，得出橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)所在的直線平行于y軸；②先觀察A，B的坐標(biāo)，再觀察C，D的坐標(biāo)得出縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)所在的直線平行于x軸；③由坐標(biāo)可得到正方形的邊長為6.

歸納：①建立平面直角坐標(biāo)系需先確定原點(diǎn)、x軸、y軸；②同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系下坐標(biāo)不同；③坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系可以刻畫圖形的性質(zhì).

為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)可以確定一個(gè)圖形的形狀和大小，可設(shè)計(jì)題目：給出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：（1，1），（1，7），（7，7），（7，1），用線段依次連接，觀察是否是正方形？這個(gè)正方形的大小是否也確定了？

3.4 分析解題思路，發(fā)展學(xué)生思維

提出問題：“是否也能用坐標(biāo)來描述長方形？需要用幾個(gè)點(diǎn)？”并設(shè)計(jì)問題2引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想分析題目，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維.

問題2 在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD的長AB為3，寬BC為2．

（1）如圖5，若頂點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，請(qǐng)你寫出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖6，若A（-1，3），D（-1，1），點(diǎn)B在第一象限，請(qǐng)你寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

第（2）小題，引導(dǎo)學(xué)生先建立平面直角坐標(biāo)系，再描出點(diǎn)A，D，由點(diǎn)B在第一象限，BC=2，找到點(diǎn)B的位置，進(jìn)而補(bǔ)全長方形，猜想點(diǎn)C的位置和坐標(biāo).教師引導(dǎo)學(xué)生分析：①由A和D的坐標(biāo)，可得AD⊥x軸，AB∥x軸；②由AB∥x軸，AB=3，點(diǎn)B在第一象限，可得A，B縱坐標(biāo)相等，故B（2，3）；③由BC∥y軸，BC=2，可得B，C橫坐標(biāo)相等，故C（2，1）.

歸納：①建立平面直角坐標(biāo)系；②描出已知點(diǎn)；③分析待確定點(diǎn)的位置.接著在問題1、問題2的基礎(chǔ)上做一個(gè)提升，設(shè)計(jì)問題3.

問題3 已知點(diǎn)A（2，3），B（2，1），∠ABC=90°，△ABC的面積是3，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).

教師引導(dǎo)學(xué)生做以下分析：①在坐標(biāo)系描出點(diǎn)A和點(diǎn)B；②由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)相同，所以AB⊥x軸，再由∠ABC=90°，可得BC∥x軸，從而得到B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，確定點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1；③點(diǎn)C可能在點(diǎn)B左邊或B右邊，應(yīng)該需要分類討論；④由△ABC的面積是3和高AB=2，可得底BC=3.當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí)，得到C（-1，1）；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí)，得到C（5，1）.

歸納：①解題思路：建、描、畫、算、定；②對(duì)未確定的圖形應(yīng)考慮分類討論.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)思想不是說一句“這就是數(shù)形結(jié)合思想”就可以的，教學(xué)中要注意隨時(shí)滲透，隨時(shí)揭示，多問“為什么？”如這節(jié)課中不同的建系方法刻畫的都是同一個(gè)正方形，正方形的邊長不變，所以可以通過引導(dǎo)學(xué)生觀察寫出的坐標(biāo)的數(shù)量上的特征，得到圖形上的特征，最后歸納總結(jié)：坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系可以刻畫圖形的性質(zhì).從而滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]李莉.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透[J].數(shù)理天地（初中版），2023（15）：62-64.