作圓中輔助線的三種技巧

呂士霞

【摘要】在解決平面幾何中圓的問(wèn)題時(shí)，往往需要適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線幫助解題.從本質(zhì)上說(shuō)，作輔助線的目的是把復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化，在已知條件和未知條件之間搭起橋梁.本文以幾道例題為基礎(chǔ)，談作圓中輔助線的幾種技巧.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；初中數(shù)學(xué)；輔助線

圓是初中平面幾何中較為特殊的一種圖形.在解題時(shí)，除了要抓住其定義，還要能夠熟練運(yùn)用與圓有關(guān)的性質(zhì).一般來(lái)說(shuō)，圓的半徑、弦等都是經(jīng)常作為輔助線的對(duì)象.下面詳細(xì)介紹幾種技巧.

技巧1 圓中有弦，作弦心距

此方法的意思是，當(dāng)問(wèn)題中需要對(duì)圓中弦的長(zhǎng)度或者與弦有關(guān)的其他量求解時(shí)，作垂直于弦的半徑或者直徑，并且連接過(guò)弦端點(diǎn)的半徑.之后利用垂徑定理，即弦心距平分弦的性質(zhì).之后將已知的數(shù)據(jù)代入直角三角形或者矩形等特殊圖形，利用勾股定理求解出相關(guān)量的大小.

評(píng)析 對(duì)于圓中與弦有關(guān)的問(wèn)題，常規(guī)解題方法就是作弦心距，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.此直角三角形的三條邊分別是：圓的半徑，弦心距，弦.這樣就可以建立三者之間的聯(lián)系.

技巧2 圓中有直徑，作直徑所對(duì)的圓周角

若題目中出現(xiàn)“直徑”，就需要作直徑的圓周角.在圓中，直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，反之亦成立.由此就得到一個(gè)直角三角形，結(jié)合勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算，從而得到問(wèn)題的答案.

例2 如圖2所示，線段AB是圓O的直徑，在弦AC的延長(zhǎng)線取一點(diǎn)D，滿足CD=AC，線段DB的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E.

（1）求證：CD=CE；

（2）連接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度數(shù)大小.

解 （1）證明 如圖2所示，連接BC.

因?yàn)锳B是圓O的直徑，依據(jù)圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)，

所以∠ACB=90°，即BC⊥AD，

因?yàn)镃D=AC，

所以AB=BD，

所以∠A=∠D，

因?yàn)椤螩EB=∠A，

所以∠CEB=∠D，

所以CD=CE.

（2）如圖2所示，連接AE.

因?yàn)椤螦BE=∠BAC+∠D=50°，AB是圓O的直徑，

所以∠AEB=90°，

所以∠BAE=90°-50°=40°.

評(píng)析 在與圓的相關(guān)證明或者計(jì)算問(wèn)題中，只要碰到“直徑”，都可以嘗試通過(guò)構(gòu)造圓周角的方式來(lái)解決問(wèn)題.構(gòu)造直角三角形后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解，從而實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

技巧3 圓中有切線，作過(guò)切點(diǎn)的半徑

當(dāng)問(wèn)題中涉及圓的切線時(shí)，需要作過(guò)切點(diǎn)的半徑，然后利用半徑和切線之間的垂直關(guān)系得到相關(guān)等式.同時(shí)要注意題目中的一些特殊角，充分利用基本的銳角三角函數(shù)定義，而使用三角函數(shù)一般都需要在直角三角形內(nèi)，所以在解題時(shí)可嘗試構(gòu)造直角三角形.

例3 如圖3所示，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點(diǎn)，∠CDB=20°，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E等于（）

（A）40°.（B）50°.

（C）60°.（D）70°.

解 連接OC，

因?yàn)椤螧OC、∠CDB是同弧BC所對(duì)的圓心角與圓周角，

所以∠BOC=2∠CDB=2×20°=40°.

因?yàn)镃E為圓O的切線，

所以O(shè)C⊥CE，即∠OCE=90°.

所以∠E=90°-∠BOC=90°-40°=50°.

所以選擇（B）選項(xiàng).

評(píng)析 通過(guò)作過(guò)切點(diǎn)的半徑的方式，可以建立題目中的已知角度與所求量之間的關(guān)系，從而求解出角度的大小.

結(jié)語(yǔ)

以上三種技巧是解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的作輔助線的技巧.對(duì)于綜合性較強(qiáng)的題目，可能需要運(yùn)用多種方法，但是萬(wàn)變不離其宗，本質(zhì)上就是圍繞著圓的定義和圓的性質(zhì)進(jìn)行.在平時(shí)的解題過(guò)程中，要善于思考，善于總結(jié)，就能夠得到更多作輔助線的方法.