平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定

田載今

認(rèn)識(shí)一種幾何圖形，通常有如下過程：首先要研究它的定義，即明白它是什么樣的圖形，這種圖形最基本的特征是什么：其次要研究它的性質(zhì)，即弄清除定義給出的最基本特征之外，這種圖形還具有哪些特性：最后要研究它的判定，即除用定義之外，還可根據(jù)什么條件認(rèn)定一個(gè)圖形是這種圖形．在認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)，同學(xué)們會(huì)經(jīng)歷上述過程，并能完整地體會(huì)認(rèn)識(shí)幾何圖形的三部曲．

一、平行四邊形的定義

四邊形是四條線段首尾相連形成的多邊形，其中有一種四邊形的兩組對(duì)邊分別平行．現(xiàn)實(shí)世界中，這種四邊形的原型不勝枚舉，圖l是某教室的場(chǎng)景，從中能抽象出多個(gè)不同的這種四邊形（圖2）．

平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形．這個(gè)定義的構(gòu)成形式是以四邊形為基礎(chǔ)，再加上“兩組對(duì)邊分別平行”這一條件（可稱它為定義條件）．因此，平行四邊形是滿足定義條件的一種特殊的四邊形．一種圖形的定義，是用簡(jiǎn)明的文字對(duì)這種圖形加以描述與限制，它給出_r能確定這種圖形的最基本的特征，南平行四邊形的定義可知，若在四邊形ABCD中，AB// CD，AD//BC，則四邊形ABCD是平行網(wǎng)邊形，可表示為□ABCD.反之，在□ABCD中，一定有AB//CD，AD//BC.茌平行四邊形的定義中，“兩組對(duì)邊分別平行”是平行四邊形最基本的特征，也是它最根本的屬性，即本質(zhì)的內(nèi)涵．這種“基礎(chǔ)概念（如四邊形）+本質(zhì)內(nèi)涵（如兩組對(duì)邊分別平行）”形式的定義，叫作內(nèi)涵式定義．

再看以下幾個(gè)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形（圖2（2））；一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形（圖2（3））；有一個(gè)角是直角，并且有一組鄰邊相等的平行四邊彤叫作正方形（圖2（4））．這三個(gè)定義都是內(nèi)涵式定義，它們都是以平行四邊形為基礎(chǔ)概念，又分別加上一些不同的定義條件（本質(zhì)內(nèi)涵）．因此，矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形．

這些四邊形的包含關(guān)系如圖3所示，其中最大的圈表示四邊形所含范圍，其余各圈都含其內(nèi)：平行四邊形屬于四邊形，矩形、菱形都屬于平行四邊形：正方形用最小的圈表示，它被包含在矩形和菱形中，是兩者的公共部分．

圖3表示了這些圖形的外延，即所含對(duì)象的范圍，四邊形外延最大：其次是平行四邊形，它是特殊的四邊形：矩形和菱形是特殊的平行四邊形，它們的外延有分有合，其公共部分為正方形：正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，也是特殊的平行四邊形．

二、平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形具有四邊形的所有元素和性質(zhì)，包括有四條邊、四個(gè)角、兩條對(duì)角線，內(nèi)角和為3600等，此外，“兩組對(duì)邊分別平行”是四邊形未必具有，而平行四邊形一定具有的最基本特征和最根本屬性，由它還能進(jìn)一步得出平行四邊形定義中雖沒直接給出但隱含于其中的其他屬性，包括“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線互相平分”“兩對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”等．這些就是平行四邊形的性質(zhì)，它們是建立在定義的基礎(chǔ)上，經(jīng)推導(dǎo)論證所得的重要結(jié)論．

對(duì)于矩形、菱形和正方形這些特殊的平行四邊形，分別依據(jù)它們各自的定義，可以推出它們除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有的自己的一些特性，矩形還具有特性：“四個(gè)角鄙是直角”“兩條對(duì)角線相等”“每條對(duì)角線的平方等于兩鄰邊的平方和”等（圖4）：菱形還具有特性：“四條邊相等”“對(duì)角線互相垂直”“對(duì)角線平分對(duì)角”“邊長(zhǎng)平方的4倍等于兩對(duì)角線的平方和”等（圖5）；正方形既是矩形又是菱形，因此它具有矩形和菱形的所有特性，

掌握?qǐng)D形的性質(zhì)，是認(rèn)識(shí)和解決圖形問題所必需的，圖形的所有性質(zhì)都由圖形的定義確定，定義中已經(jīng)隱含而未直接表述的性質(zhì)，都可以從定義出發(fā)逐步推出．

三、平行四邊形的判定

研究平行四邊形的判定，即找出一個(gè)圖形滿足哪些條件時(shí)，就可以確定它足平行四邊形．如前所述，利用平行四邊形的定義可以進(jìn)行判定．此外，還可以通過考察一個(gè)圖形是否滿足平行四邊形定義以外的另一些條件，來完成這樣的判斷．這樣的條件叫作判定條件．判定條件是與定義條件等價(jià)的條件，它們與定義條件可以互相推導(dǎo)．當(dāng)一個(gè)四邊形滿足“兩組對(duì)邊分別相等”，或者“兩組對(duì)角分別相等”，或者“兩條對(duì)角線互相平分”，或者“一組對(duì)邊平行且相等”中的任何一個(gè)條件時(shí)，都可以推導(dǎo)出“兩組對(duì)邊分別平行”，從而判定這個(gè)四邊形是平行四邊形（圖6）．這些條件都是平行四邊形的判定條件，

需要指出，平行四邊形一定具有的性質(zhì)，不一定都能成為平行四邊形的判定條件．例如，雖然容易證明平行四邊形被其一條對(duì)角線分為兩個(gè)全等三角形，但滿足條件“能被一條對(duì)角線分為兩個(gè)全等三角形”的四邊形不一定是平行四邊形．例如，圖7中的四邊形被一條對(duì)角線分為兩個(gè)全等的三角形，但這個(gè)四邊形顯然對(duì)邊不平行，故不是平行四邊形．

有人可能會(huì)想：既然判定條件與定義條件等價(jià)，兩者可以相互推導(dǎo)，那么能否把平行四邊形的定義改為“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形”，或者“兩組對(duì)角分別相等的四邊形”，或者“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形”呢？一種圖形的定義是根據(jù)它的某種本質(zhì)屬性給出的，這是研究它的出發(fā)點(diǎn)．因此，在關(guān)于這種圖形的知識(shí)體系中，定義是唯一的，如果把上述判定條件之一改為定義條件，盡管由新、老定義得到的對(duì)象完全相同，都是平行四邊形，但老定義是由人們發(fā)現(xiàn)了這種圖形中“平行”這一明顯的直觀特征而產(chǎn)生的，這樣下定義便于理解，這種圖形的名稱也由此而來．因此，原有的定義更好，它的敘述簡(jiǎn)明且符合人們由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由直觀到抽象的認(rèn)知規(guī)律和習(xí)慣．

要判定矩形、菱形和正方形這些特殊的平行四邊形，除依據(jù)它們各自的定義之外，還可以利用它們各自具有的特性．例如，矩形的判定條件有“三個(gè)角都是直角的四邊形”“兩條對(duì)角線相等的平行四邊形”等：菱形的判定條件有“四條邊相等的四邊形”“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形”“對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形”等：正方形的判定條件有“各邊相等且各角相等的四邊形”“對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形”等．由這些判定條件都可以推出它們滿足相應(yīng)圖形的定義，這些判定條件都與相應(yīng)定義等價(jià)，例如，有時(shí)需先證一個(gè)圖形是平行四邊形，再證它有一個(gè)角是直角或一組鄰邊相等，從而判定它是矩形或菱形，這是根據(jù)定義判定；有時(shí)直接證四邊形四個(gè)角相等或四條邊相等，即可判定它是矩形或菱形，這是利用性質(zhì)判定．

綜上所述，對(duì)圖形的定義、性質(zhì)與判定的關(guān)系可以概括如下：定義給出了一種圖形獨(dú)具的某種基本特征：由定義又能進(jìn)一步推H{這種圖形滿足的另一些數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，它們構(gòu)成這種圖形的性質(zhì)；所有這種圖形都能滿足，而其他圖形都不能滿足的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，就成為這種圖形的判定條件，