數(shù)學方法抽象性的具象轉(zhuǎn)變探析

摘要：數(shù)學方法的抽象性給學生的數(shù)學學習帶來了距離感。應融合數(shù)學方法的形成過程和學生學習數(shù)學的思維過程，讓數(shù)學方法的抽象性更容易被學生接受，增強數(shù)學學科的親和力。教師可帶領學生深入弱抽象過程，投入探究過程，融入再創(chuàng)造活動，引入數(shù)學文化，淡化數(shù)學方法的抽象性，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學方法；抽象性；具象教學；小學數(shù)學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）02-0117-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。通過對現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關系與空間形式的觀察，學生能夠直觀理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景；能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學研究對象及其所表達的事物之間簡單的聯(lián)系與規(guī)律；能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，進行數(shù)學探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識[1]。具象思維是直觀思維的初級形式，而形象思維是直觀思維的高級形式。數(shù)學具有抽象性，對于以直觀思維為主的小學生而言，抽象的數(shù)學是有理解難度的，具象思維是幫助他們理解抽象數(shù)學的重要手段。

數(shù)學的一個最基本的特征就是高度抽象，而且數(shù)學的抽象還不同于其他學科：數(shù)學不但研究的對象是抽象的、形式化的思維材料，而且數(shù)學研究的思辨方式也是抽象的。數(shù)學的抽象特征處理得不當就會遮蔽數(shù)學學科應有的親和力，掩蓋學生學習數(shù)學的興趣，影響數(shù)學學習的效果，解決這一問題的最佳策略是數(shù)學學習的具象化。小學數(shù)學的概念、方法與思想等是隨著人類的發(fā)展以及數(shù)學本身的發(fā)展自然形成的。數(shù)學學習認識論認為學生學習數(shù)學思維過程是“從具體到抽象，從特殊到一般，由表及里，由現(xiàn)象到本質(zhì)”。筆者提出淡化數(shù)學方法的抽象性，不是要拋棄數(shù)學抽象性，而是主張融合數(shù)學方法的形成過程和學生學習數(shù)學的思維過程，讓數(shù)學方法的抽象性更容易被學生接受，增強數(shù)學學科的親和力。

一、深入弱抽象過程，在數(shù)學化中發(fā)現(xiàn)

數(shù)學研究的對象是抽象的、形式化的思想材料，但現(xiàn)實世界中畢竟沒有這些對象物化形式的實際存在，人類可能會依據(jù)數(shù)學對象去形成相關的客觀背景，但它們依舊是人類思維抽象的產(chǎn)物。這種舍棄部分屬性、保留共同屬性的弱抽象過程讓部分學生感到陌生，但數(shù)學對象形成的客觀背景卻為教學提供了突破口：通過豐富感知的材料，經(jīng)過觀察、比較等活動展示數(shù)學化的過程。

例如，在“倍的認識”的教學中，教師引導學生用小棒擺兩行，讓第二行的根數(shù)是第一行的5倍，開展比較：小棒的數(shù)量都不同，為什么第二行都是第一行的5倍？進一步拓展：（第一行3根，第二行15根）第二行是第一行的幾倍？如何擺6倍、10倍、100倍？如果把小棒變成相對應的綠帶子與紅帶子，紅帶子的長是綠帶子的幾倍？去掉帶子的顏色，長帶子是短帶子的幾倍？帶子變成線段，再標上長度，第二條線段的長度是第一條的幾倍？學生會自覺地想到用除法計算倍數(shù)關系。教師追問這里為什么用除法。學生發(fā)現(xiàn)就是求10里面有幾個2，所以用除法計算。

這個學習過程實際上和人類認識數(shù)學的抽象過程是一致的：從小棒這樣的實物之間的倍數(shù)開始動手操作，先把小棒抽象為彩帶，去掉彩帶的顏色，再把彩帶抽象為線段，最后把線段抽象為用數(shù)據(jù)表示的長度，成倍數(shù)的兩個量可以有不同的表現(xiàn)形式，但只要是把一個量看作1份，另一個量有這樣的5份，就是5倍的關系。學生通過兩個數(shù)量之間的5倍關系由具體到抽象的過程，認識到求兩個量之間的倍數(shù)關系用除法。抽象的數(shù)量之間倍的關系經(jīng)歷了這樣的生成過程，運用圖例、實物等思維“可視化”技術可將學生看不見的思維方法呈現(xiàn)出來，使學生思維變得清晰，從而幫助學生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法、建構(gòu)思想等[2]。

二、投入探究過程，在猜想驗證中體驗

數(shù)學的思維方式以抽象的思辨為主，嚴謹?shù)倪壿嬐评韺πW生而言過于抽象，學生會感到比較陌生。根據(jù)小學生的年齡特點，無論是教材的編寫人員，還是一線的教育專家都建議：數(shù)學教學中多運用合情推理的探索方法來得出結(jié)論。這種合情推理的方法就是從一類對象的部分對象都具有的某種性質(zhì)中推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)，從一個或幾個特殊情形中推出一般性結(jié)論的歸納推理方法。實踐證明學生很容易接受并掌握這種方法。

在“分數(shù)除以整數(shù)”的教學中，創(chuàng)設探究過程，讓學生獲得觀察猜想和舉例驗證的體驗。

（一）搭建觀察猜想的平臺

數(shù)學的歷史表明，數(shù)學的發(fā)展與數(shù)學猜想密切聯(lián)系。猜想時，往往要將問題加以特殊化和具體化，對觀察到的現(xiàn)象和情況進行分析、比較、綜合、歸納，把其中本質(zhì)的性質(zhì)抽取出來，目的是為了提出合理的猜想。它不是對問題的所有可能的情況進行歸納，而是從若干個別的事實中看到真理的端倪或身影，從中受到啟發(fā)，提出假設和猜想。

教師出示這樣的題組：“老師帶來了同樣大小的4個橙子分給小朋友，每人吃2個，一共可以分給幾個小朋友？每人吃1個呢？每人吃?個呢？”通過追問“為什么這里都用除法？”，讓學生感知4里面有幾個“1份”。教師引導學生通過分圓片來觀察思考：“4里面有幾個?呢？”學生觀察圓片可以很快看出4里面有8個? ? ?。仔細對比4÷? ? ?、4×2這兩個式子，有些思維能力較強的學生當時就能提出這樣的猜想：似乎一個數(shù)除以幾分之一等于乘幾分之一的倒數(shù)。

（二）提供舉例檢驗的空間

小學數(shù)學探究活動中的檢驗，并不是通常意義上的數(shù)學證明，即不是邏輯推理的論證，因此這樣的猜想驗證才會被小學生接受。這種探究性的檢驗，實際上是借助特例或反例，對所提出的猜想進行思想驗證。通過這樣的檢驗，或提高猜想的可信度，或?qū)υ瓉淼牟孪脒M行改進，或推翻原來的猜想。

針對提出猜想后學生感覺到還需要再探究一些例子，教師及時呈現(xiàn)以下例子：“如果每人吃? ? 個，可以分給幾人？如果每人吃? ? 個呢？”讓學生分組研究，學生邊操作邊思考，找到解決問題的辦法，認識到4÷? ? 和4÷? ?這兩個例子都可以用整數(shù)乘這個分數(shù)的倒數(shù)來算。有學生持懷疑態(tài)度：這個結(jié)論有可能是對的，但目前我們還不能確定。然后再追問：怎么才能確定這個結(jié)論是正確的呢？有學生提出：可以用4除以一個任意的分數(shù)試試看。教師再引導：是不是每個人所舉的例子都可以用乘倒數(shù)算呢？學生發(fā)現(xiàn)全班同學的幾十個例子中都找不到反例，結(jié)論正確的情況越多，結(jié)論的可靠性就越大。此時，教師深入提問：“有沒有同學的例子能代表所有的同學所舉的例子？”啟發(fā)學生舉出一般性的例子：“4個橙子，如果每人吃? ? ?個，可以分給幾人？（n不為0）”當然，這個例子概括了這種問題的所有情況，已涉及代數(shù)的內(nèi)容，具有很強的抽象性。

通過以上層層深入的幾個步驟，學生充分地自主探究、體驗，思維從具體到抽象、從特殊到一般。這樣探究的方式，學生樂于接受，同時還可提升不完全歸納的可靠性，培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)膶W習精神。

三、融入再創(chuàng)造活動，在親身實踐中提煉

數(shù)學思想方法是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識，是對數(shù)學認識過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，對數(shù)學活動具有普遍的指導意義，是數(shù)學的靈魂。數(shù)學思想方法不能單獨存在，而是蘊含在數(shù)學知識中，特別蘊含在數(shù)學概念和原理的形成過程中。這就要求我們有意識地安排從中領悟數(shù)學思想方法的過程[3]。實踐中應當充分利用概念和原理的形成過程，讓學生在教師的指導下經(jīng)歷數(shù)學思想方法的再創(chuàng)造過程，即悟數(shù)學思想方法。悟需要實踐過程，需要一個循序漸進、逐步逼近思想本質(zhì)的過程。

重疊問題在日常生活中應用比較廣泛，具有濃濃的生活味。集合是比較系統(tǒng)抽象的數(shù)學思想方法，針對小學生的認知水平，讓學生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想，學生能夠用自己所悟到的數(shù)學思想方法來解決問題[4]。因此，在“重疊問題”的教學中，集合圖的生成及理解一定要作為重中之重，因為集合圖滲透著集合的數(shù)學思想。集合圖的生成過程就是集合思想的滲透過程。學生初次接觸，對于他們來說是一個認知的跨越，也是一個思維的跨越。

在教學中，首先，為學生提供含有重疊問題的信息：參加定點投籃比賽的同學的名單和參加運球跑比賽的同學的名單。其次，引導學生在解決問題時多加思考：需要選拔多少人參加這兩項比賽？為什么有的計算的結(jié)果比實際數(shù)量要多？再次，激發(fā)學生整理重復信息。整理的結(jié)果應該符合這樣的標準：體現(xiàn)形象、美觀、簡單的特點，便于觀察。最后，在課堂上讓學生充分地自主整理，學生發(fā)現(xiàn)了很多整理的方式：

方式1：

參加定點投籃比賽的：1、2、3、（4、5）

參加運球跑比賽的：6、7、8、9、（4、5）

括號里是兩項都參加的

方式2：

只參加定點投籃比賽的：（1、2、3）

只參加運球跑比賽的：（6、7、8、9）

兩項都參加的：（4、5）

方式3：

只參加定點投籃比賽的：（1、2、3）

兩項都參加的：（4、5）

只參加運球跑比賽的：（6、7、8、9）

方式4：（分別對應文字下方內(nèi)容，括號里兩項都參加）

參加定點投籃比賽的：? ? ?參加運球跑比賽的：

1、2、3、（4、5）、6、7、8、9

教師追問：表示信息的方式各有什么特點呢？哪一種表示方式最好？找一找心目中理想的方法。多種不同的方式可以引發(fā)學生思維的碰撞。

學生的再創(chuàng)造源于自身對問題的深切感受和教師的恰當引導，是學生為了解決問題的必然選擇，從而使再創(chuàng)造成為可能。經(jīng)歷這樣的再創(chuàng)造，學生對抽象的、集合的數(shù)學思想方法不再陌生，感覺這些方法就在自己身邊，當學生需要時，經(jīng)過思考，這些數(shù)學思想方法就會得以運用。

四、引入數(shù)學文化，在具象探究中提升

教師不僅僅是數(shù)學知識的傳遞者，也是數(shù)學文化的介紹者，更是學生數(shù)學觀念的締造者[5]。數(shù)學文化是數(shù)學歷史發(fā)展的“活化石”。課堂上教師不僅能把數(shù)學文化當作開拓視野的內(nèi)容，而且可以借鑒數(shù)學文化中經(jīng)典方法的實際運用，引導學生在具象的探究中，創(chuàng)造性地解決一些數(shù)學方法探索中的矛盾。

將數(shù)學文化中的內(nèi)在美引入課堂，在數(shù)學文化中追尋數(shù)學的美，不僅有利于學習困難的解決，而且有利于學生對數(shù)學方法產(chǎn)生親切感。例如，學生對圓周率已知曉，但教師故意“攪局”，問道：墨子說“大圓之圓與小圓之圓同”，《周髀算經(jīng)》說“周三徑一”，都是書上記載，為什么會不同呢？在這樣的問題思考中，引發(fā)認知沖突，學生就會精心測量周長、直徑，認真地計算。學生的探究還是得不到3.14。甚至教師的親自動手測量計算都得不到理想的數(shù)據(jù)，學生感覺到用測量的辦法是永遠無法得到這個答案的?；谶@樣的憤悱情緒，學生就會有去探尋中外數(shù)學家解決圓周率問題的動機?！案顖A術”在此時的出現(xiàn)水到渠成，教師介紹“割圓術”：不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周長的方法。按照這樣的思路，由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個近似數(shù)值。教師讓學生討論“割圓術”和“操作測量法”比較有什么優(yōu)點。學生感覺到越是把圓周分割得細，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。

“割圓術”數(shù)學方法的巧妙和數(shù)學思想方法的創(chuàng)造讓學生在形象生動的探究過程中感受到數(shù)學的美好。在具象探究中解決圓周率的有關問題時，學生受到數(shù)學文化的熏陶、數(shù)學美的感染，被培養(yǎng)了這樣的觀念：當一種方法難以解決一個問題時，就得另辟蹊徑，這就是數(shù)學上的創(chuàng)新。

教學實踐中，教師應堅持循序漸進，逐步深入；強調(diào)從特殊到一般，從具體到抽象；克服急于求成、急功近利的思想。教師帶領學生深入弱抽象過程，投入探究過程，融入再創(chuàng)造活動，引入數(shù)學文化，淡化數(shù)學方法的抽象性，讓不同智力水平的學生獲得基本的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：5-6.

[2]徐萌.聚焦思維“可視化”，引領學生走向數(shù)學意義的深刻理解[J].教育觀察，2019（8）：100-101.

[3]陳志凱.指向思維可視化的小學數(shù)學教學策略[J].數(shù)學教學通訊，2022（4）：17-18.

[4]徐慧萍.講究教學策略 提升思維品質(zhì)[J].小學數(shù)學教育，2018（9）：16-17.

[5]陳華忠.提升數(shù)學核心素養(yǎng)的五個著眼點[J].江西教育，2016（29）：73-74.

責任編輯：石萍

收稿日期：2023-12-11

作者簡介：程偉偉，南京市鼓樓實驗小學，主要研究方向為小學數(shù)學教學。