基于命題角度談一道導(dǎo)數(shù)題的命制過程

蔡聰

筆者有幸參與了2022年宿州十三校高二下學(xué)期試卷的命制，感觸頗深，現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制過程與同仁分享.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ae^x+blnx，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e－e²）x+e².

（1）求a，b；（2）若f（x）≥kx－k+e，求k的值.

二、試題的構(gòu)思過程

1.命題要求

因高二學(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的基本概念、四則運算及在單調(diào)性、極值與最值中的應(yīng)用，未接觸過多的題型，思考的深度不夠，故設(shè)計時應(yīng)控制難度.在選擇考查方向時，筆者選擇了從導(dǎo)數(shù)的幾何意義、恒成立問題兩個角度設(shè)計試題，盡量做到低起點，寬入口，深思考，符合《中國高考評價體系》的要求，切實考查學(xué)生的“四基”“四能”.

2.試題題源

分析：本題以指對混合型函數(shù)為對象，第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較基礎(chǔ)，第二問考查恒成立證明問題，學(xué)生可借助“指對分離”“凹凸反轉(zhuǎn)”等技巧處理，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.

3.改編考慮

保留題干，仍考查指對結(jié)合的函數(shù)形式，第二問的不等式證明題，學(xué)生易于著手，思路較多，常見的解題方法有：構(gòu)造函數(shù)，分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合，凹凸反轉(zhuǎn)等，利于考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，但怎樣根據(jù)函數(shù)的特征選擇合適的方法，是考驗學(xué)生思維的很好著力點.筆者基于第二問做出改編，將證明問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)求值問題，區(qū)別于參數(shù)求范圍，鍛煉學(xué)生的應(yīng)變能力.

4.方案設(shè)計過程

5.從學(xué)生角度的解法賞析

評注：用分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，避免分類討論，學(xué)生更容易入手與解決.易錯點在于需對x>1與x<1進(jìn)行分情況討論.計算量較大，且應(yīng)用洛必達(dá)法則求x=1處的極限值，超出了高中階段的學(xué)習(xí)范疇.