深度探究學(xué)習(xí)：提升數(shù)學(xué)思維的必然途徑

金愛民

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是提升學(xué)生思維品質(zhì)的關(guān)鍵課程，通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步具備運用數(shù)學(xué)眼光觀察、分析和解決問題的能力。在數(shù)學(xué)課堂中教師不僅要傳授數(shù)學(xué)知識，還要讓學(xué)生在活動中體驗學(xué)習(xí)過程，積累活動經(jīng)驗，實現(xiàn)知識遷移，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

［關(guān)鍵詞］ 深度探究；思維品質(zhì)；活動體驗；遷移運用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式是教師在課堂上積極引導(dǎo)學(xué)生在活動中深度探究、合作交流、動手實踐，提升思維靈活性，通過教與學(xué)的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生能夠主動掌握知識，提升思維品質(zhì)。教師在教學(xué)中要以挑戰(zhàn)性的任務(wù)為載體，引導(dǎo)學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)任務(wù)進行積極的思考與體驗，從而體會知識發(fā)展過程，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，這對其長期發(fā)展具有重要意義。學(xué)生在深度探究中通過運算推理、猜測想象、數(shù)據(jù)分析等過程，能掌握數(shù)學(xué)核心知識，體會數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效率和掌握數(shù)學(xué)思想方法。筆者以教學(xué)實踐為例，談一談如何引導(dǎo)學(xué)生進行深度探究、深度學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

一、挖掘教材內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

小學(xué)生思維活躍，具有較強的求知欲，側(cè)重感性認(rèn)識，具象思維較強，理性思維相對較弱。因此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣需要教師創(chuàng)設(shè)形象的教學(xué)情境，讓學(xué)生在有趣的活動中探究和體驗。情境活動的創(chuàng)設(shè)要依據(jù)課標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律特點進行針對性的創(chuàng)設(shè)。因此，教師要善于挖掘教材的內(nèi)涵，充分研究教材，把握教學(xué)的起點。

案例1? 認(rèn)識“倍”的概念

情境創(chuàng)設(shè)：游戲“找朋友”。由1名學(xué)生首先找到好朋友組成一個小組，然后2人一組站在一起。這時班上其他同學(xué)還未組隊，馬上就有學(xué)生提出，我要和某某一組，剩下的學(xué)生著急要求分組。最后所有學(xué)生完成兩兩分組，變成了2的倍數(shù)。當(dāng)然學(xué)生還可以分成其他的份數(shù)……學(xué)生在活動中自然地理解了“倍”的概念。學(xué)生在玩中學(xué)、做中玩，探究的興趣被激發(fā)出來，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是相互聯(lián)系、螺旋上升的，數(shù)學(xué)教材的編排有內(nèi)在的知識體系和邏輯建構(gòu)，教師只有不斷挖掘教材內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進行學(xué)習(xí)探究，才能落實教學(xué)目標(biāo)。比如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)平面圖形面積的計算，一般是先學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形的面積計算，然后學(xué)習(xí)梯形面積的計算。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)梯形面積的計算時，已經(jīng)具備一定的平面圖形面積的計算方法。教材中的例題列舉了一種推導(dǎo)梯形面積公式的方法，即通過將梯形組合成學(xué)生已學(xué)習(xí)過的平行四邊形進行計算，這種方法學(xué)生比較容易理解，但是在教學(xué)中如果止步于此，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)一般是由易到難，采用將復(fù)雜問題進行轉(zhuǎn)化的方法，從而實現(xiàn)化繁為簡。在推導(dǎo)梯形面積計算公式時，既然學(xué)生已經(jīng)有了計算其他平面圖形面積的經(jīng)驗，那么教師就可以采用轉(zhuǎn)化的方法實現(xiàn)問題的解決，讓學(xué)生在推理過程中通過數(shù)學(xué)活動進一步積累歸納、對比等數(shù)學(xué)思想。教師還要進行學(xué)習(xí)任務(wù)的優(yōu)化設(shè)計，嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法解決這一問題，將這一學(xué)習(xí)任務(wù)變成一個開放性的任務(wù)，讓學(xué)生能夠充分地討論、探究和思考。學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中充分發(fā)揮能動性，能提升思維的創(chuàng)新性，實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升。

二、設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)合作探究

學(xué)習(xí)任務(wù)的優(yōu)化設(shè)計是學(xué)生參與體驗活動的前提，只有讓學(xué)生在體驗中親身感受知識的產(chǎn)生過程，才能喚醒學(xué)生對知識的探究興趣。比如，在教學(xué)面積的單位時，教師可以充分利用周圍的條件進行活動設(shè)計。筆者利用學(xué)生熟悉的環(huán)境設(shè)計了一個實踐任務(wù)：學(xué)校打算將教室進行重新裝修和粉刷，假設(shè)每桶涂料能夠粉刷60平方米的面積，請問一共需要購買多少桶涂料才能完成學(xué)校所有教室的粉刷？這樣的實踐任務(wù)需要學(xué)生進行分組合作設(shè)計出最合理的方案。學(xué)生充分發(fā)揮能動性，分組合作，采用了巧妙的丈量方法，比如利用地面面積和天花板面積進行等式轉(zhuǎn)換，利用長的竹竿測量墻的長度和寬度等。學(xué)生在分工合作、相互配合下，很快測量出有效的數(shù)據(jù)。

因此，只要教師的任務(wù)設(shè)計合理，給予學(xué)生探究的時間和空間，學(xué)生學(xué)習(xí)的動力就會被充分激發(fā)出來，在合作探究中激發(fā)出新的智慧。

案例2? 梯形面積的計算

1. 溫故知新，激活已有經(jīng)驗

師：計算平面圖形的面積是數(shù)學(xué)中的一項重要知識，你們會計算哪些圖形呢？

生1：我會計算平行四邊形的面積和三角形的面積。

師：很好，這些圖形的面積公式都是推導(dǎo)出來的，你們還記得是如何推導(dǎo)出來的嗎？采用了哪些推導(dǎo)方法呢？

生2：我們使用了轉(zhuǎn)化法。

師：是的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有許多常用的思想方法，轉(zhuǎn)化法就是其中之一。那么今天我們將要推導(dǎo)梯形的面積公式，你們能不能從轉(zhuǎn)化法中得到一些啟發(fā)呢？

2. 觀察分析，嘗試解決方案

師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察黑板上的梯形，想一想我們怎樣利用學(xué)過的計算圖形面積的方法來計算梯形的面積呢？

生3：雖然梯形與我們已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形和三角形不同，但是我們可以這樣進行分割（如圖1），就能得出梯形的面積。

生4：我們還可以進行如圖2的分割方法，通過分別計算三角形和平行四邊形的面積，從而得到梯形的面積。

生5：剛才都是將梯形進行分割，我可以進行增補，在原來的梯形旁邊加上1個一樣大的倒著放的梯形，這樣就拼成了1個平行四邊形。通過計算平行四邊形的面積，再平均分成2份，其中1份的面積就是原來梯形的面積（如圖3）。

師：大家的回答真是太精彩了！剛才我們通過很多方法都能計算出梯形的面積，但是這樣計算太麻煩了，不可能每次都這樣計算。梯形面積能不能像三角形和平行四邊形一樣可以直接計算呢？

3. 獨立思考，合作交流探究

（1）在思考中嘗試探究

任務(wù)要求：每個小組用紙裁剪出1個梯形，通過將梯形進行分割、剪裁、拼接的方法計算出梯形的面積，然后通過計算結(jié)果推導(dǎo)出面積公式，最后各小組在討論交流的基礎(chǔ)上匯報討論的過程和成果。

（2）在合作中交流辨析

第一小組：如圖4，我們組將2個完全一樣的梯形拼接成1個平行四邊形，通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，平行四邊形與梯形同高，平行四邊形的底為梯形上下底的和。我們已經(jīng)知道如何計算平行四邊形的面積，由此就可以推導(dǎo)出梯形的面積公式。

第二小組：我們還有另外一種分割的方法，如圖5所示，將梯形分割成2個三角形。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)三角形的兩條底邊就是梯形的上底和下底，那么三角形的面積是底邊乘高除以2，利用梯形的上底、下底和高就可以推導(dǎo)出梯形的面積公式。

第三小組：如圖6，我們用的是剪拼的方法，即將梯形兩條腰的中點連接，沿著這條連接線剪開后將原來的梯形分割成了2個梯形，并將剪下來的2個梯形拼在一起，就變成了1個平行四邊形。接下來和第一組推導(dǎo)的方式相同，運用平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式。

第四小組：我們還有另外一種剪拼方法，如圖7，沿著梯形兩條腰的中點作垂線，并將其剪開，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以形成1個新的長方形。觀察圖片可知已知長方形的長和寬與梯形底和高之間的關(guān)系，由此根據(jù)三角形的面積公式，可以推導(dǎo)出梯形的面積公式，和上面幾組同學(xué)的結(jié)果是一樣的。

師：同學(xué)們的方法都很好，那么大家有沒有想過這些方法有什么共同點呢？

生6：這些推導(dǎo)方法都是借助我們已知的三角形或者平行四邊形的面積公式進行推導(dǎo)的，是一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，而且都是通過拼接或者組合的方式進行轉(zhuǎn)化的。

這時學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情被點燃了，注意力都集中在課堂上。在相互交流中學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，教室里充滿了濃厚的學(xué)習(xí)氛圍。學(xué)生的思維相互碰撞，產(chǎn)生了新的火花，每個人都在分享中收獲了知識，掌握了學(xué)習(xí)方法。

在這一案例中，學(xué)生能夠推導(dǎo)出梯形面積公式的主要原因有：一是通過學(xué)習(xí)平行四邊形和三角形面積的計算方法，已經(jīng)具備了圖形面積計算和推導(dǎo)計算公式的基礎(chǔ)；二是在教學(xué)活動的設(shè)計中，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了交流學(xué)習(xí)的時間和空間，使學(xué)生能夠在深度探究中激活思維，運用知識解決問題。面對學(xué)生的多種解決方法，教師能夠及時關(guān)注課堂生成，進行引導(dǎo)追問，使學(xué)生將習(xí)得的知識和方法進一步鞏固和升華，形成自己的認(rèn)識，由此發(fā)展自身的思維能力。

三、反思教學(xué)過程，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生

1. 激發(fā)參與熱情，在活動體驗中學(xué)習(xí)

深度探究的主體是學(xué)生，探究的載體是學(xué)習(xí)活動。教學(xué)活動的設(shè)計要尊重學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的參與熱情，使學(xué)生在活動過程中獲得知識和情感的體驗，從而內(nèi)心產(chǎn)生感悟。要使學(xué)習(xí)真正發(fā)生，學(xué)生需要由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動學(xué)習(xí)，因此教師要落實學(xué)生的主體地位，創(chuàng)設(shè)學(xué)生體驗活動的情境，使學(xué)生在活動中感受和探究知識發(fā)生、發(fā)展的過程。在進行梯形面積推導(dǎo)公式教學(xué)時，教師要通過開放性的設(shè)問和實踐操作活動，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，探究多種解法。在這一探究活動中，教師充分激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，讓學(xué)生靈活運用知識解決復(fù)雜的問題，并自然地滲透了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想。學(xué)生在活動中體會到面對學(xué)習(xí)中的障礙和問題時應(yīng)該怎樣尋求解決的方法，在探究過程中體驗消除困惑、解決問題以及收獲成果的喜悅。

2. 引導(dǎo)深度思考，體會知識遷移與應(yīng)用

知識的遷移與應(yīng)用是提高學(xué)習(xí)的一種重要的能力。知識遷移是對頭腦中已有的經(jīng)驗的擴充與提升，知識應(yīng)用是將頭腦中已有的知識進行具體應(yīng)用的能力。這一過程是學(xué)生學(xué)習(xí)真正發(fā)生的體現(xiàn)，在應(yīng)用中反映知識的遷移。學(xué)生在研究梯形面積公式的推導(dǎo)時，已經(jīng)具備了三角形面積推導(dǎo)的經(jīng)驗，因此將已有的知識經(jīng)驗進行遷移和應(yīng)用就能推導(dǎo)出新的知識。平面圖形的面積計算具有內(nèi)在的相關(guān)性，自主推導(dǎo)計算公式的活動發(fā)展了學(xué)生思維的深刻性。學(xué)生通過拼接、剪裁等方式，主動遷移和應(yīng)用知識，激發(fā)了學(xué)習(xí)的主動性、積極性、自覺性，逐漸理解數(shù)學(xué)之美。

3. 合作探究學(xué)習(xí)，在交流辨析中生成智慧

深度探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是交流與辨析，在交流思辨中可以生成新的智慧。學(xué)生在活動體驗中進行對話溝通，并且通過思考辨析，能夠?qū)崿F(xiàn)深度交流，從而生成智慧的火花。在學(xué)習(xí)交流的過程中，教師要創(chuàng)設(shè)平等和諧的課堂氛圍，實現(xiàn)師生之間、生生之間的互動，讓學(xué)生在輕松的氛圍中能夠自由發(fā)表自己的看法，從而在思想認(rèn)識上產(chǎn)生共鳴；對于探究中產(chǎn)生的不同意見，教師要引導(dǎo)學(xué)生在充分討論后逐漸形成共識，鞏固學(xué)生的認(rèn)識，從而不斷提升學(xué)生分析、解決問題的能力，增強學(xué)生之間的合作精神。在上述推導(dǎo)梯形面積公式的案例中，經(jīng)過兩次小組交流，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，促進學(xué)生更加深入地學(xué)習(xí)。

在學(xué)生深度探究學(xué)習(xí)的過程中，教師要不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在應(yīng)對挑戰(zhàn)任務(wù)時不斷豐富體驗、收獲知識。在教學(xué)中教師要充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，做好教學(xué)任務(wù)的設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并將數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)與實際生活相聯(lián)系，不斷增強學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。探究學(xué)習(xí)可以增強學(xué)生知識遷移和運用的能力，提升辨析思維的品質(zhì)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。