類比·構(gòu)建·素養(yǎng)：初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)策略與思考

【摘要】概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)推理的主要依據(jù)，類比則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法。通過類比視角進行數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，有助于建立新舊知識之間的聯(lián)系，促進知識和方法的遷移，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。文章對模型類比、思維類比、結(jié)構(gòu)類比、方法類比等推理的基本操作模式展開論述，旨在進一步提升學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的理解與應(yīng)用，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進學(xué)生邏輯推理能力的形成。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；核心概念；類比遷移；核心素養(yǎng)

作者簡介：王慧靈（1975—），女，浙江省杭州市臨安區(qū)錦城第六初級中學(xué)。

數(shù)學(xué)概念是人腦對客觀對象數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)表達，是數(shù)學(xué)知識的核心。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師需要提煉核心概念，圍繞核心概念提出核心問題，實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化教學(xué)，促進學(xué)生對概念的深層理解［1］。教師可以借助數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)本質(zhì)等核心概念的相似結(jié)構(gòu)特征，運用類比遷移方法將陌生對象與熟悉對象、未知規(guī)律與已知規(guī)律相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)得到遷移，進而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)能力［2］。

一、類比學(xué)習(xí)視域下，數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)機制

數(shù)學(xué)上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)相似性、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性等特征，將核心問題B的結(jié)論和方法遷移到核心問題A上的一種合情邏輯推理（如圖1）。常見的類比教學(xué)有模型類比、結(jié)構(gòu)類比、思維類比、方法類比等［3］。

類比視角下的核心概念教學(xué)需明確概念的外延和內(nèi)涵，洞悉兩個概念的本質(zhì)屬性，鏈接核心概念的關(guān)鍵要素及學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。在初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)中，教師要準確選擇類比方法，尋找恰當?shù)暮诵母拍頑，類比猜想核心概念A(yù)，通過核心概念的類比學(xué)習(xí)提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，落實學(xué)科綜合素養(yǎng)的提升。

二、類比思想引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)策略

（一）模型類比—搭建認知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)

模型類比是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想對比已學(xué)相似的模型問題與新知識是否適用，將相似類型的概念鏈接成系統(tǒng)的概念域。新概念的掌握模型類比原概念的學(xué)習(xí)模型，順應(yīng)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生將前概念與新概念進行聯(lián)動，形成概念域，優(yōu)化學(xué)生的概念系統(tǒng)和數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的模型觀念等核心素養(yǎng)。

比如，初中階段代數(shù)的學(xué)習(xí)路徑是相通的。一元一次方程和一元一次不等式雖然屬于不同的數(shù)學(xué)模型，但在學(xué)法思路上有相同的結(jié)構(gòu)。類比方程的研究思路學(xué)習(xí)不等式，體現(xiàn)了代數(shù)式之間內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)。教師通過梳理知識的縱向結(jié)構(gòu)，建構(gòu)概念知識體系，讓學(xué)生形成一定的學(xué)法思路，通過模型類比的運用，對概念的學(xué)習(xí)進行深化，從而形成方程與不等式的學(xué)法路徑。

（二）結(jié)構(gòu)類比—內(nèi)化建構(gòu)核心概念知識體系

數(shù)學(xué)的探究經(jīng)歷從一般到特殊的學(xué)習(xí)過程。為此，教師可以對核心概念的結(jié)構(gòu)進行類比，借助應(yīng)用結(jié)構(gòu)的相似性進行類比探究，引導(dǎo)學(xué)生將研究的核心概念問題轉(zhuǎn)化為與其應(yīng)用結(jié)構(gòu)相似的問題，運用結(jié)構(gòu)類比加以學(xué)習(xí)，以便幫助學(xué)生理解核心概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，自主形成知識網(wǎng)絡(luò)體系，從大概念視角整體理解和把握核心概念。

以特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的判定定理為例。教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形的判定以及這些判定定理與平行四邊形的性質(zhì)的關(guān)系。通過思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的判定由平行四邊形的邊、角、對角線的性質(zhì)的逆命題得到。而矩形是一種特殊的平行四邊形，類比平行四邊形的判定定理可知，矩形的判定定理除了具有平行四邊形的性質(zhì)，還具有矩形特有的性質(zhì)，因此也可以根據(jù)矩形的性質(zhì)探索其判定定理。教師引導(dǎo)學(xué)生運用結(jié)構(gòu)類比思想，對矩形性質(zhì)的逆命題進行思考：對于邊、角、對角線及對稱性滿足什么條件的四邊形是矩形？在整體學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、驗證、證明、歸納等活動，理解并掌握了矩形的判定定理。通過類比相似的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生也能得出菱形、正方形的判定定理。

學(xué)生由平行四邊形的研究內(nèi)容，建構(gòu)了平行四邊形的研究體系，在結(jié)構(gòu)類比思想方法下，把特殊平行四邊形的研究融合為整體，深入理解特殊平行四邊形核心概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)的一致性，體會圖形變化之間的聯(lián)系，提高邏輯推理能力。

（三）思維類比—理解核心概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)

核心概念的教學(xué)強調(diào)深層理解概念內(nèi)涵，通過運用類比的思想，沿著相似的研究方向?qū)ν悆?nèi)容進行整體學(xué)習(xí)，通過相似學(xué)習(xí)方法和路徑的思維生長鏈揭示概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)［4］。學(xué)生通過運用類比思想，加強對知識的學(xué)習(xí)次序、知識內(nèi)容螺旋上升的梯度進階，從而形成清晰的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，不斷完善自身知識體系的建構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)［5］。

以函數(shù)的核心概念的教學(xué)為例。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)單元整體建構(gòu)的角度去學(xué)習(xí)。如在教學(xué)一次函數(shù)的章節(jié)起始課時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實情景問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，分析情景問題中兩個變量之間的關(guān)系，并且用代數(shù)式的形式表示兩個變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到函數(shù)的本質(zhì)特征；接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的概念、表達式、圖像及性質(zhì)進行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)的整個流程有一個清晰的認識，進而為后續(xù)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做好思維類比學(xué)習(xí)的準備，最終建構(gòu)整個函數(shù)知識的學(xué)習(xí)框架［6］。

類似于函數(shù)中思維類比的學(xué)習(xí)方式，從方程到不等式、分數(shù)到分式的學(xué)習(xí)，都可以用思維類比的方式進行學(xué)習(xí)探究。通過類比，教師能從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新舊知識之間的思維邏輯關(guān)系，促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識的生長點和延伸點，有助于學(xué)生把握問題的規(guī)律、提高數(shù)學(xué)思維能力，加深對核心概念的理解，進而不斷建構(gòu)知識體系，從而實現(xiàn)思維類比方法的整體遷移。

（四）方法類比—提升核心問題解決實踐能力

核心概念的學(xué)習(xí)離不開運用所學(xué)知識進行解題實踐。在課堂教學(xué)中，教師可以采用梯度題組、改變題設(shè)或提問等變式練習(xí)來進一步檢驗學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況，引導(dǎo)學(xué)生運用類比思想方法尋找解題的關(guān)鍵點和突破口，促進學(xué)生問題解決能力的提升［7］。

例題：如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD。

（1）請找出圖中相等的角和相等的線段；

（2）若把等邊△ABD和等邊△ACE改成以AB、AC為邊分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE（如圖3），猜想BE與CD有什么關(guān)系？并說明理由；

（3）如圖4，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經(jīng)測得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝50米，AC＝AE，求BE的長（結(jié)果保留根號）。

第（1）題是一個開放性問題，學(xué)生可以直接從已知條件中找出圖中相等的角和線段，也可以從等邊三角形的性質(zhì)中得出。有了第（1）題解題方法的鋪墊，基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生也能運用方法類比思想找出圖3中相等的角和相等的線段，從而完成第（2）題的說理。在第（3）題中，學(xué)生可以類比第（2）題的圖形的結(jié)構(gòu)特征，添加輔助線，用推理論證方法類比得出全等三角形的證明，最后利用全等三角形對應(yīng)邊相等和勾股定理，解決實際問題。

在課堂教學(xué)中，教師通過對某個核心問題進行條件的替換或者對新結(jié)論的探究等進行改造、整合，讓學(xué)生通過整體知識體系以及解題方法或思想方法的不變性，類比前面的解題方法，找到生活實際情景問題的解題關(guān)鍵點。這種類比的思想方法能幫助學(xué)生實現(xiàn)對知識、技能和思想方法的融會貫通，從而落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

（五）經(jīng)驗類比—豐富核心問題解決基本策略

數(shù)學(xué)中的動態(tài)幾何問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中變與不變的和諧統(tǒng)一，其特點是因圖形中的某個元素（點、線段、角）和某部分幾個圖形按一定的規(guī)律運動變化，而引起其他一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系和圖形形狀等發(fā)生變化。這些元素的數(shù)量變化關(guān)系在運動變化的過程中相互依存，有一定的規(guī)律可循。

例題：如圖5，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O。在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB。

（1）求證：PD＝PB；

（2）將線段DP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA的延長線上的點Q處，當點P在線段AO上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

（3）探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

（4）遷移探究：如圖6，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變。試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

本題以“問題探究—遷移探究”為研究主線，借助問題串引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探究、解決數(shù)學(xué)問題的完整學(xué)習(xí)過程，呈現(xiàn)從問題發(fā)現(xiàn)到問題解決，再到拓展應(yīng)用的思維全過程，有效地考查了數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)，同時，助力學(xué)生進一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進“做中學(xué)”“用中學(xué)”的落實。

三、類比方法導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)注重知識體系的建構(gòu)和思維能力的培養(yǎng)。教師要靈活處理課堂上生成的問題，及時組織學(xué)生討論、探究；要注重知識的形成過程，遵循學(xué)生的思維發(fā)展的規(guī)律，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識背景出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，使學(xué)生從單純地接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的主人。

（一）尋找經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)的高度抽象使得一些基本概念和基礎(chǔ)知識似乎與現(xiàn)實生活沒有多少聯(lián)系，但學(xué)生如果搞清楚了基本概念和知識產(chǎn)生、發(fā)展、形成、變化的規(guī)律，就能找到這些內(nèi)容與現(xiàn)實生活的關(guān)聯(lián)。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生了解概念和知識產(chǎn)生、發(fā)展、形成、變化的規(guī)律，讓學(xué)生預(yù)測概念和知識的未來發(fā)展趨勢，這不僅有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。

（二）構(gòu)建新舊知識內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)

通過類比方法的應(yīng)用，學(xué)生能夠找到新知問題與舊知之間的關(guān)聯(lián)點，利用已學(xué)知識和經(jīng)驗解決新的問題，構(gòu)建新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，形成對數(shù)學(xué)知識的整體認識。在類比教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生明晰學(xué)習(xí)方法，將新知同化于原有的知識結(jié)構(gòu)中，進一步感受知識的相互聯(lián)系，有助于學(xué)生將所學(xué)知識遷移和綜合運用。

（三）遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，提高思維能力

數(shù)學(xué)學(xué)科具有較強的結(jié)構(gòu)性，教師引導(dǎo)學(xué)生以類比學(xué)習(xí)的方式建立相似概念的知識體系，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)。類比方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯思維發(fā)展點和有效途徑。教師通過類比的方法，將數(shù)學(xué)的核心概念逐步推廣，引導(dǎo)學(xué)生探索新概念的學(xué)習(xí)方式和路徑，深化對新知識的理解，促使學(xué)主提高解決問題的能力。

（四）從知識到能力，落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)

在基于類比思想的核心概念學(xué)習(xí)中，教師能充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣與方式等，精心選擇不同的類比學(xué)習(xí)方式，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過類比學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠建立新舊知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的遷移和深化，完善前建構(gòu)與后建構(gòu)的整體性，進一步發(fā)展分析、歸納問題的能力，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識。

結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有許多數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法之間都存在內(nèi)在聯(lián)系和相似之處。在核心概念的教學(xué)過程中，教師要厘清教材結(jié)構(gòu)和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有步驟、有計劃地將類比思維的培養(yǎng)滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)核心概念的特點感悟數(shù)學(xué)思想、類比研究內(nèi)容、明確學(xué)習(xí)路徑、積累研究方法，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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