巧用導(dǎo)數(shù) 高效解題
——以“二次求導(dǎo)”在函數(shù)問題中的應(yīng)用為例

陳雯娜

(福建省寧德市高級中學(xué),福建 寧德 352100)

從高考形勢來看,二次求導(dǎo)被頻繁應(yīng)用在綜合題型的解決中,對學(xué)生考試成績的影響非常大.所以,教師要重視二次求導(dǎo)知識點(diǎn)的教學(xué).

1 二階導(dǎo)數(shù)

二次求導(dǎo)是指通過觀察一階導(dǎo)數(shù)的變化率,確定圖像的凹凸性.在部分指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題中,求導(dǎo)之后無法判斷原函數(shù)單調(diào)性時才會進(jìn)行二次求導(dǎo),找到導(dǎo)數(shù)正負(fù),確定函數(shù)單調(diào)性.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且二次可導(dǎo),若在該區(qū)間上函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)大于零,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;若在該區(qū)間上函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)小于零,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的[1].

另外,部分函數(shù)問題需要先構(gòu)造函數(shù)后才能二次求導(dǎo).整體來說,二次求導(dǎo)雖能降低解題難度、提高解題效率,但是對學(xué)生思維的靈活性要求比較高.因此,教師要多鍛煉、啟發(fā)學(xué)生思維,保證學(xué)生能熟練掌握二次求導(dǎo)的方法,擁有更加靈活的思維.

2 二次求導(dǎo)在函數(shù)問題中的應(yīng)用

2.1 在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用

如果要判斷原函數(shù)的單調(diào)性,則要先觀察二次導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的取值.當(dāng)其值恒大于零或恒小于零時,則可推出一階導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,同時,考慮一階導(dǎo)數(shù)的最大值或最小值,兩者結(jié)合判斷原函數(shù)的單調(diào)性.若一階導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增的,且最小值大于零,則證明原函數(shù)單調(diào)遞增;若一階導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的,且最大值小于零,則證明原函數(shù)單調(diào)遞減.這一結(jié)論在其他函數(shù)綜合題型中也有著極其重要的應(yīng)用,如極值、含參問題.所以教師應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生打好基礎(chǔ),熟練掌握通過二次求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,以便后續(xù)解決問題時能隨時調(diào)用[2].

2.1.1直接討論函數(shù)單調(diào)性

相對來說,討論不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題時,直接進(jìn)行求導(dǎo)、化簡、在定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)符號進(jìn)而判斷單調(diào)性即可,其解題難度一般.

從這道題目的解析中能夠看出,應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是要合理化簡函數(shù)表達(dá)式,合理分類討論自變量的范圍.

2.1.2帶有參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論

通常,在含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題中,應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的解題思路與直接討論函數(shù)單調(diào)性的解題思路相反,需要根據(jù)題干結(jié)論反推,分類討論參數(shù)的取值范圍.結(jié)合歷年高考試題來看,真題中多是出現(xiàn)與對數(shù)、指數(shù)有關(guān)的函數(shù),總體上來說,含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的主要解題思路為對帶有對數(shù)、指數(shù)的函數(shù)進(jìn)行化簡,盡可能地使其表達(dá)式簡潔、規(guī)整,之后再根據(jù)函數(shù)定義域,進(jìn)行分類討論.

從這道題目的解析中能夠看出,利用二次求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性更高效,尤其在含有對數(shù)或指數(shù)的導(dǎo)函數(shù)中,二次求導(dǎo)更有利于判斷導(dǎo)數(shù)符號,進(jìn)而判斷原函數(shù)的增減情況.

2.2 在函數(shù)極值問題中的應(yīng)用

一般地,函數(shù)極值問題可以按照確定函數(shù)定義域、求導(dǎo)、計(jì)算駐點(diǎn)、分析單調(diào)性、確定極值的步驟進(jìn)行求解.如果需要利用二階導(dǎo)數(shù)解題,當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)為零,而二階導(dǎo)數(shù)大于零時,所求的點(diǎn)為極小值點(diǎn);當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)為零,二階導(dǎo)數(shù)小于零時,則所求的點(diǎn)為極大值點(diǎn);當(dāng)一階、二階導(dǎo)數(shù)均為零時,則所求得的點(diǎn)為駐點(diǎn).概括地說,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有二階導(dǎo)數(shù),且f′(x)=0,f″(x)≠0,那么當(dāng)f″(x)>0時,函數(shù)在點(diǎn)x處取得極小值;當(dāng)f″(x)<0時,函數(shù)在點(diǎn)x處取得極大值.

分析針對這道題目來說,若想求解函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù),需要先判斷函數(shù)的單調(diào)性.具體來說,其解題步驟為:f(x)的定義域?yàn)镽,f′(x)=x-ex+2,此時一階導(dǎo)數(shù)的駐點(diǎn)及符號不好判斷,因此構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-ex+2,求導(dǎo)可得g′(x)=1-ex.當(dāng)x<0時,g′(x)>0,當(dāng)x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即f′(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f′(x)max=f′(0)=1>0.又f′(-2)=-e-2<0,f′(2)=4-e2<0,則f′(-2)·f′(0)<0,f′(0)·f′(2)<0,由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的x1∈(-2,0),x2∈(0,2),使f′(x1)=f′(x2)=0,且當(dāng)x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x1,x2)時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故f(x)在x1處取得極小值,在x2處取得極大值,即函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個數(shù)為2.

從這道題目的解析中能夠看出,通過二次求導(dǎo)可以更好地判斷原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的極值點(diǎn)情況,大大簡化了解題的過程.

2.3 在函數(shù)的參數(shù)范圍中的應(yīng)用

應(yīng)用二次求導(dǎo)求解函數(shù)參數(shù)范圍的關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)滿足的條件倒推,得到函數(shù)的單調(diào)性,并依據(jù)性質(zhì)倒推參數(shù)范圍.如果有必要,還應(yīng)構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行推導(dǎo)、計(jì)算.

例4已知關(guān)于x的不等式2lnx+2(1-m)x+2≤mx2在(0,+∞)上恒成立,則整數(shù)m的最小值為( ).

從這道題目的解析中能夠看出,通過二次求導(dǎo)判斷參數(shù)的取值范圍仍然需要分析導(dǎo)數(shù)與零之間的關(guān)系,不同的是要根據(jù)函數(shù)的最大值倒推參數(shù).

3 結(jié)束語

二次求導(dǎo)在函數(shù)問題的解決中有著極其重要的應(yīng)用,教師應(yīng)當(dāng)加大專題教學(xué)的力度,力求學(xué)生能深入理解、掌握二次求導(dǎo)的方法,而且能夠熟練應(yīng)用二次求導(dǎo)解決各種函數(shù)難題.