導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
——以導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)為例

林 翠

(山東省東營(yíng)市第一中學(xué),山東 東營(yíng) 257000)

導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)之一,一方面承載了大量的數(shù)學(xué)思想,另一方面也是簡(jiǎn)化解題流程、促進(jìn)高效解題的重要工具.新高考背景下,高考數(shù)學(xué)對(duì)于導(dǎo)數(shù)解題的重視度愈發(fā)提高,也成為學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中必須掌握的關(guān)鍵技能.結(jié)合相關(guān)考題來(lái)看,對(duì)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討極有必要.因此,高中數(shù)學(xué)教師需要充分理解導(dǎo)數(shù)概念,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)雜函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解,加強(qiáng)學(xué)生解題效率、拓寬學(xué)生解題思路.在這種情況下,學(xué)生不僅能進(jìn)一步提高其解題效率,還在充分練習(xí)的基礎(chǔ)上為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

1 以導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)解析式

新高考背景下導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)解析式的出題側(cè)重趨勢(shì)更加明顯,也成為當(dāng)前高考的重要考點(diǎn)內(nèi)容.從高中數(shù)學(xué)教學(xué)角度來(lái)說(shuō),導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)也能實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)極小值、極大值以及對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)的充分滲透,進(jìn)而幫助學(xué)生加強(qiáng)函數(shù)思維求取出函數(shù)解析式.

例1某三次函數(shù)y=f(x)圖象與原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)x=0.5時(shí),f(x)取得極小值,且極小值為-1,求函數(shù)f(x)的解析式[1].

解題分析由三次函數(shù)的解析式可設(shè):

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

因?yàn)轭}目中提出圖象與原點(diǎn)對(duì)稱,即f(-x)=-f(x),由此可得:

ax3+bx2+cx+d=ax3-bx2+cx-d,

可得b=0,d=0.

由此可推:

f(x)=ax3+cx,

進(jìn)一步求導(dǎo)可得:

f′(x)=ax2+c,

結(jié)合題意得出:

聯(lián)合解答可得a=4,c=-3.

由此得出求解的函數(shù)解析式為:

f(x)=4x3-3x.

該題目融合了函數(shù)幾何意義,在進(jìn)行解題時(shí),可依據(jù)這一內(nèi)容進(jìn)行導(dǎo)數(shù)幾何意義與其他導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系這一思路進(jìn)行求解.因此,學(xué)生在解題時(shí),只需要對(duì)題目進(jìn)行仔細(xì)觀察,并明確題目條件即可.

2 以導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)的函數(shù)單調(diào)性求解在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有四個(gè)步驟:第一步,明確函數(shù)f(x)的定義域;第二步,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo);第三步,從函數(shù)定義域出發(fā)求f′(x)與f′(x)<0(f′(x)>0)的解集;第四步,明確函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)單調(diào)性[2].

解題分析該題目的求解思路主要是在明確其定義域前提下討論導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間.結(jié)合題目可得以下內(nèi)容:

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),

依據(jù)f′(x)>0,求得:x<-1或x>1;

當(dāng)f′(x)<0時(shí),求得:-1

由此可得,函數(shù)f(x)單遞減區(qū)間為:(-1,0)和(0,1);f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).

導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的求解較為簡(jiǎn)易,解題流程大致遵循函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)求解,并依據(jù)題目條件求出x值即可.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生能夠獲取到更加全面、直觀的解題思路,進(jìn)而舉一反三實(shí)現(xiàn)題目的多類型解答[3].

3 以導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值

在該類問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中,借助導(dǎo)數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)兩邊符號(hào)的一致性就可以得到函數(shù)某區(qū)間的最大值與最小值.如果函數(shù)式中存在字母系數(shù),不應(yīng)局限于流程而需要另外進(jìn)行分類討論.在上述流程進(jìn)行下明確函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性.

例3求函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R)的極值.

解題分析函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+∞);

(1)當(dāng)a=0時(shí),則f(x)=lnx.由此得知f(x)位于(0,+∞)上顯示單調(diào)遞減,無(wú)極值.

(2)當(dāng)a>0時(shí),則有f′(x)=0.由此可得:

在解題過(guò)程中需要注意的是,極值點(diǎn)并非指“點(diǎn)”,而是f′(x)=0解得的根.如果函數(shù)位于x0兩側(cè)單調(diào)性相反那么x0就是極值點(diǎn)且f′(x)=0,但f′(x0)=0,則x0不一定是極值點(diǎn).在基礎(chǔ)上,需要確保函數(shù)f(x)位于x0的兩側(cè)單調(diào)性相反[4].

4 以導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)值域

通常情況下函數(shù)f(x)位于閉區(qū)間[a,b]是可導(dǎo)的,此時(shí)f(x)位于閉區(qū)間[a,b]中最值的求解步驟可劃分為:第一步,求取函數(shù)f(x)位于閉區(qū)間[a,b]的極值;第二步,計(jì)算函數(shù)f(x)位于端點(diǎn)與極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值;第三步,對(duì)f(x)位于端點(diǎn)與極值點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值大小進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)而求得值域內(nèi)最大值與最小值.

5 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用于函數(shù)求解的作用

通過(guò)對(duì)上述題目的分析,本文就導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用于函數(shù)求解的作用方面得出以下結(jié)論:首先,導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成函數(shù)思想.相較于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō),高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有更強(qiáng)的連貫性與持續(xù)性,而函數(shù)思想就是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段所必須具備的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)思想,也是新高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷推進(jìn),學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度進(jìn)一步加大,為了解決高難度數(shù)學(xué)題學(xué)生只能進(jìn)行大量計(jì)算.如果計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)偏差或計(jì)算失誤,則很容易使學(xué)生陷入反復(fù)計(jì)算的困境中[6].在試題練習(xí)過(guò)程中,數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型創(chuàng)設(shè)函數(shù)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)解題流程的簡(jiǎn)單化、簡(jiǎn)潔化.從這一角度來(lái)看,學(xué)生能夠?qū)?dǎo)數(shù)看為對(duì)函數(shù)問(wèn)題的已匯總輔助工具,借助導(dǎo)數(shù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型.幫助學(xué)生更好地解決復(fù)雜函數(shù)問(wèn)題.其次,能夠進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)特性的理解程度.高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中不同函數(shù)之間對(duì)應(yīng)著不同的函數(shù)性質(zhì).在對(duì)這些函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行考查的過(guò)程中,學(xué)生往往因?yàn)闊o(wú)法把握其中要點(diǎn)而自亂陣腳.在解題過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)具備的特性進(jìn)行理解與掌握,進(jìn)而形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維.比如,學(xué)生在解答相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題時(shí),函數(shù)圖象的繪畫則較為簡(jiǎn)單,解題思路也將更清晰.但是在處理相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)題時(shí),這種方法則較不適用.因此,教師可將運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為切入點(diǎn),進(jìn)一步發(fā)揮導(dǎo)數(shù)作用.一方面,可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)具備性質(zhì)的判斷準(zhǔn)確性;另一方面,也能拓寬學(xué)生對(duì)函數(shù)問(wèn)題的解決思路[7].高中數(shù)學(xué)的復(fù)雜函數(shù)經(jīng)求導(dǎo)后能夠轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù),學(xué)生能夠較為輕易地繪畫出相關(guān)的函數(shù)圖象,加強(qiáng)學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題的準(zhǔn)確性與效率.

6 結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用占據(jù)了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的較大比重.如果高中學(xué)生能夠充分掌握相關(guān)導(dǎo)數(shù)知識(shí),學(xué)會(huì)舉一反三與知識(shí)遷移,不僅能顯著提升其解題能力,也能為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).基于此,函數(shù)解題教學(xué)過(guò)程中教師可利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)問(wèn)題,拓寬學(xué)生解題思路.學(xué)生在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)能夠簡(jiǎn)化解題流程,減少無(wú)用的重復(fù)解題步驟,提高解題效率.