基于多選題場(chǎng)景 “通法”與“巧法”應(yīng)用
——一道不等式恒成立的探究

任 榮

(福建省平潭第一中學(xué),福建 福州 350400)

“不等”與“相等”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)既對(duì)立又統(tǒng)一的個(gè)體,同時(shí)交匯形成一個(gè)統(tǒng)一的整體,成為數(shù)學(xué)科學(xué)辯證思維方式中最為常見(jiàn)的一種特殊思維方式．在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用中,經(jīng)?？梢杂伞安坏取?或“相等”)問(wèn)題巧妙變形或轉(zhuǎn)換為“相等”(或“不等”)問(wèn)題,創(chuàng)造性地突破思維方式,巧妙聯(lián)系兩個(gè)不同維度問(wèn)題之間的關(guān)系,開(kāi)拓“不等”與“相等”的和諧統(tǒng)一與巧妙轉(zhuǎn)化[1]．

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題(2024屆湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題·12)(多選題)已知關(guān)于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,則( ).

A．a(chǎn)=1 B．a(chǎn)=2 C．b=-3 D．b=-2

該問(wèn)題以含參不等式在給定區(qū)間上恒成立來(lái)創(chuàng)新設(shè)置,以“不等”的場(chǎng)景來(lái)創(chuàng)設(shè),結(jié)合問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)的挖掘,通過(guò)合理的分析與求解,得到對(duì)應(yīng)變量的定值問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)“相等”問(wèn)題的突破與求解．

在具體解決問(wèn)題時(shí),可以借助一些比較常見(jiàn)的“通性通法”加以邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過(guò)“兩邊夾”思維、二階導(dǎo)數(shù)以及端點(diǎn)思維等方法來(lái)處理,得以正確剖析與推理,巧妙確定變量的取值;也可以借助選擇題,特別是一些具有特殊結(jié)構(gòu)特征的多選題,可以借助一些比較常用的“巧技妙法”加以快捷分析與判斷,通過(guò)重要不等式放縮、以“點(diǎn)”帶“面”等方法來(lái)處理,相應(yīng)的方法不具有完備性,但方法簡(jiǎn)捷,可以比較快速確定正確的答案,給多選題的解決提供一種補(bǔ)充方法．

2 問(wèn)題破解

2.1 通性通法

方法1(“兩邊夾”思維法)

又f′(x)=2x-lnx,g′(x)=-2x+4,且f′(1)=g′(1)=2,所以直線(xiàn)y=ax+b為曲線(xiàn)f(x)與g(x)的圖象在x=1處的公切線(xiàn)時(shí),才能使原不等式恒成立,此時(shí)a=f′(1)=2,b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思合理分離出含參的一次函數(shù),使之介于兩已知曲線(xiàn)之間,通過(guò)“兩邊夾”思維,確定不等式恒成立時(shí),該一次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)就是兩曲線(xiàn)的切點(diǎn)處的公切線(xiàn),利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值．導(dǎo)數(shù)法是處理此類(lèi)含參的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)最為常用的一種技巧方法,合理的變形與轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

方法2 (二階導(dǎo)數(shù)法)

解后反思借助不等式恒成立的條件,從不同思維視角切入加以分析,利用函數(shù)的構(gòu)建以及求導(dǎo)處理,利用二階求導(dǎo)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性判斷與性質(zhì)應(yīng)用來(lái)轉(zhuǎn)化．特別這里借助作差比較法來(lái)構(gòu)建一個(gè)新函數(shù),結(jié)合端點(diǎn)處的取值與單調(diào)性情況加以綜合分析與應(yīng)用,也是一種非常不錯(cuò)的技巧與方法．

方法3(端點(diǎn)思維法)

解析取端點(diǎn)x=1,代入原不等式,可得a+b+1=0,即b=-a-1,則對(duì)任意x>1,不等式ax+b+(x-2)2≥0恒成立,等價(jià)于ax-a-1+(x-2)2≥0,整理可得a(x-1)≥-(x-1)(x-3),則有a≥3-x恒成立,所以a≥2;

綜上分析,可知a=2,則有b=-a-1=-3,故選擇答案:BC．

解后反思解決一些問(wèn)題時(shí),經(jīng)常從特殊情況入手加以分析,再由特殊回歸一般,從而推理分析一般性的結(jié)論,這是解決問(wèn)題時(shí)比較常用的一種基本思維方式．而這里從變量取值的端點(diǎn)入手,以特殊情況確定兩參數(shù)的代數(shù)式,再?gòu)囊话愕淖兞咳≈登闆r,結(jié)合不等式恒成立的條件,通過(guò)消參處理,確定變量a的取值范圍并得以求值處理,從而得以巧妙解決綜合問(wèn)題．該端點(diǎn)思維法處理問(wèn)題起來(lái),過(guò)程清晰明了,解題過(guò)程顯得更加簡(jiǎn)單快捷,提升解題效益．

2.2 巧技妙法

方法4(重要不等式放縮法)

解析依題,由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2,可得x2+x-xlnx-3≥ax+b,

記函數(shù)f(x)=x2+x-xlnx-3,

結(jié)合切線(xiàn)不等式——對(duì)數(shù)不等式的結(jié)論:lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,則有f(x)=x2+x-xlnx-3≥x2+x-x(x-1)-3=2x-3,結(jié)合不等式f(x)≥ax+b在[1,+∞)上恒成立,可得a=2,b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思抓住重要的切線(xiàn)不等式來(lái)合理放縮,從“兩邊夾”不等式的一邊加以放縮轉(zhuǎn)化與處理,數(shù)學(xué)思維與解題步驟不完備,但可以較快確定相應(yīng)的答案,特別是對(duì)于此類(lèi)特別類(lèi)型的多選題,只要確定其中一半成立即可．解題過(guò)程有一定的“投機(jī)取巧”的成分,對(duì)于簡(jiǎn)捷處理問(wèn)題有一定的奇效．

方法5(以“點(diǎn)”帶“面”法)

解析依題,由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0,可得x2+x-xlnx-3≥ax+b≥-(x-2)2,記函數(shù)f(x)=x2+x-xlnx-3,g(x)=-(x-2)2,h(x)=ax+b,又f′(x)=2x-lnx,g′(x)=-2x+4,h′(x)=a,而f(1)=g(1)=-1,且f′(1)=g′(1)=2,要使得關(guān)于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在[1,+∞)上恒成立,則必須滿(mǎn)足h(1)=f(1)=g(1)=-1,且h′(1)=f′(1)=g′(1)=2,所以a=2,h(1)=a+b=-1,解得b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思合理變形并轉(zhuǎn)化恒成立的不等式,分離出含參的一次函數(shù),結(jié)合“兩邊夾”的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)兩邊函數(shù)的設(shè)置及其求導(dǎo)運(yùn)算,結(jié)合含參的一次函數(shù)的兩邊函數(shù)在變量取值的端點(diǎn)處相應(yīng)的函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值相等的條件,進(jìn)而確定該一次函數(shù)所滿(mǎn)足的條件,從而得以確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,實(shí)現(xiàn)以“點(diǎn)”帶“面”的效果．當(dāng)然本題中所取的“點(diǎn)”恰好就是等號(hào)成立時(shí)的條件,否則問(wèn)題的解決并不是那么簡(jiǎn)單,該方法不具有完備性．

3 變式拓展

原問(wèn)題中通過(guò)不等式的恒成立,以“不等”來(lái)求解變量的值,實(shí)現(xiàn)“相等”的應(yīng)用,巧妙聯(lián)想起“不等”與“相等”之間的辯證關(guān)系.這也為該問(wèn)題的變式與拓展提供更加廣闊的空間,特別可以從“相等”的視角來(lái)設(shè)置與應(yīng)用．

變式1(2024屆內(nèi)蒙古部分名校高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(9月份))關(guān)于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在[1,+∞)上恒成立,則3a+2b=( ).

A．-2 B．0 C．1 D．3

解析具體解析過(guò)程可參考原問(wèn)題的解析,可得a=2,b=-3,所以3a+2b=0,故選擇答案:B．

變式2已知x,y∈R,且滿(mǎn)足不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)恒成立,則3y-5x=( ).

A．5 B．4 C．3 D．2

解析依題,由于不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)恒成立,結(jié)合切線(xiàn)不等式——對(duì)數(shù)不等式的結(jié)論:lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,合理放縮處理,可得ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)≤(x+y-3-1)+(2x-y+2-1)=3x-3,則有不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)≤3x-3恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x+y-3=2x-y+2=1時(shí)等號(hào)成立,解得x=1,y=3,此時(shí)3y-5x=4,故選擇答案:B．

4 教學(xué)啟示

4.1 規(guī)律總結(jié),方法歸納

解決以上“不等”與“相等”之間的辯證關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵在于合理的變形與轉(zhuǎn)化,以及問(wèn)題的等價(jià)變換處理,將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為熟知的問(wèn)題,合理構(gòu)建相應(yīng)的模型來(lái)分析與解決問(wèn)題．

特別是以上問(wèn)題中,巧妙利用“兩邊夾”思維與結(jié)論的應(yīng)用,其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)形式“a≤f(x)≤b”,通過(guò)不等式恒成立條件的綜合應(yīng)用來(lái)分析與處理,從而達(dá)到分析與解決問(wèn)題的目的．

4.2 創(chuàng)新應(yīng)用,辯證思維

以“不等”與“相等”之間的辯證關(guān)系及其創(chuàng)新應(yīng)用,可以合理帶動(dòng)一些創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題,聯(lián)系到“變量”與“常量”、“具體”與“抽象”、“靜止”與“運(yùn)動(dòng)”、“單一”與“交匯”、“簡(jiǎn)單”與“復(fù)雜”等的突破性變形與轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵在于巧妙變形與轉(zhuǎn)化,化陌生為熟知,化未知為已知．

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)此類(lèi)創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題,融入數(shù)學(xué)知識(shí)考查與數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用,逐步養(yǎng)成科學(xué)的辯證思維,提升解題者邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).利用辯證眼光與數(shù)學(xué)眼光來(lái)觀察世界,利用辯證思維與數(shù)學(xué)思維來(lái)分析世界,利用辯證語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)世界等,全方位、全系統(tǒng)提升各方面的能力．