具有中間冪等元的r-寬大半群

白雪娜，宮春梅

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055)

格林關(guān)系在正則半群的研究中扮演著重要的角色.2011 年，郭聿琦[1]將格林關(guān)系推廣至(*,～)-格林關(guān)系，并定義了r-寬大半群.鄭嬌[2]將適當(dāng)半群和型A半群在r-寬大半群中進(jìn)行了推廣，定義了弱適當(dāng)半群和弱型A半群.

稱 (S,·,≤) 為偏序半群，若 (S,·) 為半群，(S,≤) 為偏序集且滿足條件：

偏序半群S稱為自然序的，如果關(guān)于任意e,f∈E(S)，eωf(ω 是冪等元集上的自然序)，則e≤f.Blyth 等[3-5]研究了幾類自然偏序正則半群的結(jié)構(gòu)，McAlister 等[6]研究了自然序正則半群的最大冪等元.郭小江[7]研究了可控自然序富足半群的結(jié)構(gòu).EI-Qallali[8]證明了任意具有充分可乘中間冪等元的富足半群是具有最大冪等元的自然序富足半群.本文則證明了具有弱型A可乘中間冪等元的r-寬大半群是具有最大冪等元的自然序r-寬大半群.

1 預(yù)備知識

本節(jié)中，如果無特別說明，S總表示r-寬大半群，E為半群S的冪等元集分別表示含元素a的 L*,～-類和 R*,～-類.此外，利用a*和a+分別表示中的一個冪等元.顯然，a=aa*=a+a.

引理1[1]令S為一半群，E為半群S的冪等元集，且a,b∈S.則下列命題成立：

(i) (a,b)∈L*,～當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于任意x,y∈S1，ax=ay?bx=by；

(ii) (a,b)∈R*,～當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于任意f∈E，fa=a?fb=b.

一般情況下，L*,～是右同余，而 R*,～不是左同余.L ?L*?L*,～和 R ?R*?R*,～.

引理2[1]令S為一半群，E為半群S的冪等元集，且a∈S，e∈E.則下列命題成立：

(i) (a,e)∈L*,～當(dāng)且僅當(dāng)ae=a，且關(guān)于任意x,y∈S1，ax=ay?ex=ey；

(ii) (a,e)∈R*,～當(dāng)且僅當(dāng)ea=a，且關(guān)于任意f∈E，fa=a?fe=e.

引理3[1]令S為一半群，E為半群S的冪等元集，且e,f∈E.則下列命題成立：

(i)eL*,～f當(dāng)且僅當(dāng)eLf；

(ii)eR*,～f當(dāng)且僅當(dāng)eRf.

半群S稱為r-寬大半群[9]，如果S中的每一 L*,～-類和每一 R*,～-類至少包含一個冪等元；r-寬大半群S稱為弱適當(dāng)半群[9]，如果S的冪等元集E形成半格；r-寬大半群S稱為擬弱適當(dāng)半群[9]，如果S的冪等元集E構(gòu)成子半群，即E是一個帶；弱適當(dāng)半群S稱為弱型A半群[2]，如果 (?a∈S,e∈E)ea=a(ea)*，ae=(ae)+a.

引理4[2]令S為弱適當(dāng)半群，E為S的冪等元集，且a,b∈S，則下面4 條成立：

(i) (ab)*=(a*b)*，一般地,(ab)+≠(ab+)+；

(ii) 如果 R*,～是左同余，則 (ab)+=(ab+)+；

(iii) 關(guān)于任意e∈E，(ae)*=a*e;若 R*,～是左同余，則 (ea)+=ea+；

(iv) 若 R*,～是左同余，則 (ab)+≤a+，(ab)*≤b*，其中 ≤ 是E上的自然偏序.

a,b∈S

命題1令S為弱適當(dāng)半群，且，則下面命題成立：

(i) (ab)*b*=(ab)*，一般地，a+(ab)+≠(ab)+；

(ii) 若 R*,～是左同余，則a+(ab)+=(ab)+.

證明(i)由 L*,～是右同余，據(jù)引理4 中(iii)得 (ab)*b*=(abb*)*=(ab)*.

(ii)若 R*,～是左同余，則據(jù)引理4 中(iii)得a+(ab)+=(a+ab)+=(ab)+.證畢.

定義1稱半群S的子半群U是S的(*,～)-子半群，若關(guān)于任意a∈U，存在冪等元e,f∈U，使得aL*,～(S)e和aR*,～(S)f.

任意(*,～)-子半群都是r-寬大半群.

引理5令S是具有冪等元集E的r-寬大半群，則關(guān)于任意e∈E，集合eSe是S的一個(*,～)-子半群.

證明顯然，eSe是S的一個子半群.令a∈eSe，則存在f∈E，aL*,～(S)f.若ae=a=af，則fe=f，且ef∈E(eSe). 因此aef=af=a，使得關(guān)于任意s,t∈S1，

據(jù)引理2 可知aL*,～ef.

下 證aR*,～he. 令a∈eSe，則存在h∈E，aR*,～(S)h.若ea=a=ha，則eh=h，且he∈E(eSe).因 此hea=ha=a，使得關(guān)于任意g∈E，

據(jù)引理2 可知aR*,～he. 故eSe是S的(*,～)-子半群.證畢.

推論1若S是弱適當(dāng)半群，則關(guān)于任意冪等元e∈S，eSe也是弱適當(dāng)半群.

推論2若S是弱型A半群，則關(guān)于任意冪等元e∈S，eSe也是弱型A半群.

偏序半群S稱為自然序的，如果S的冪等元集E上的自然序 ω (eωf?e=ef=fe，?e,f∈E)可擴(kuò)張為S上的偏序 ≤，等價地說，

稱S上的自然偏序是自然序，如果它關(guān)于S上的二元運算是相容的.

令S是r-寬大半群.在S上定義關(guān)系 η 如下：

易知，關(guān)于任意e,f∈E，eηf?eωf.

命題2令S為弱型A半群，E為S的冪等元集，則關(guān)系 η：

是S上的自然序.

證明顯然自反性和傳遞性成立.下證反對稱性.

若關(guān)于任意x,y∈S，且e,f∈E，使得xηy和yηx分別表示為x=ey和y=fx，則

其中ef是冪等元.這表明關(guān)系 η 滿足反對稱性.因此關(guān)系 η 是偏序關(guān)系.

下證關(guān)系 η 的相容性.令x,y,z∈S，xηy.據(jù)x=ey，知xz=(ey)z=e(yz)，因此xzηyz.又因

易知zez-1是冪等元，則zxηzy.故關(guān)系 η 在S上是相容的.

令e,f∈E，且eωf，則ef=e=fe，從而eηf，因此序關(guān)系 η 是自然的.證畢.

推論3令S為弱型A半群.則關(guān)于任意x,y∈S，xηy蘊含x+ωy+和x*ωy*.

證明關(guān)于任意x,y∈S，存在e,f∈E，

證畢.

2 中間和相關(guān)冪等元

令S是一個半群，E是S的冪等元集.令 〈E〉 是由E生成的半帶.冪等元u稱為中間冪等元，如果關(guān)于任意e∈E，有eue=e.本文將用到以下概念：

(i) 中間冪等元u是弱型A(弱適當(dāng))中間冪等元，如果uSu是弱型A(弱適當(dāng))半群；

(ii) 中間冪等元u是可乘中間冪等元[8]，如果關(guān)于任意e,f∈E，uefu∈E；

(iii) 中間冪等元u是弱型A可乘中間冪等元，如果u是可乘中間冪等元，且uSu是弱型A半群；

(iv) 中間冪等元u是強(qiáng)中間冪等元[8]，如果關(guān)于任意e∈〈E〉，eue=e；

(v) 中間冪等元u是正規(guī)中間冪等元[3]，如果u是強(qiáng)中間冪等元，且u〈E〉u是半格.

引理6[8]若u是強(qiáng)中間冪等元，則下列幾款成立：

(i) 〈E〉 是正則半群；

(ii) 〈E〉u=Eu；

(iii)u〈E〉=uE；

(iv)u〈E〉u=uEu.

由上述引理可知，Eu，uE及uEu是帶.

引理7令S為r-寬大半群，u是中間冪等元.則關(guān)于任意a∈S，有a+ua=a=aua*.

證明若關(guān)于任意a∈S，滿足且a+ua+=a+，a*ua*=a*，則

故a+ua=a=aua*.證畢.

引理8令S為r-寬大半群，E為冪等元集，u∈E，且 L*,～和 R*,～分別是S上的右同余和左同余.則關(guān)于任意a∈S，下列幾款成立：

(i)aL*,～uaL*,～ua*；

(ii)aR*,～auR*,～a+u；

(iii)ua*uL*,～uauR*,～ua+u.

證明因為(iii)可由(i)和(ii)得到，(i)可參考文獻(xiàn)[8]，故只需證明(ii)成立.

因為 R*,～是左同余，則關(guān)于任意e∈E，

從而aR*,～au.

從而aR*,～a+u.證畢.

推論4令S為具有中間冪等元u的r-寬大半群，E是S的冪等元集，〈E〉 是由E生成的半帶，則uS，Su及uSu是擬弱適當(dāng)半群，且

證明顯然，uE?u〈E〉?E(uS)，且u〈E〉 是uS的子帶.注意到，關(guān)于任意e=ux∈E(uS)，有e=ux=uux=ue∈uE，則E(uS)?uE，從而uE=u〈E〉=E(uS). 同理可證E(Su)=〈E〉u=Eu和E(uSu)=u〈E〉u=uEu.

下證uS是擬弱適當(dāng)半群.令x∈uS，且y∈S，使得x=uy. 因為S是r-寬大半群，則存在∩E和f∈∩E.注意到 R*,～是左同余，從而有ue∈uE=E(uS) 和ueR*,～x，因此uS的每個 R*,～-類都包含冪等元.由 L*,～是右同余，同理可得uS的每個 L*,～-類都包含冪等元.故uS是擬弱適當(dāng)半群.同理可證Su和uSu是擬弱適當(dāng)半群.證畢.

命題3令S為r-寬大半群，E為正規(guī)帶，且 L*,～和 R*,～分別是右同余和左同余.若u是正規(guī)中間冪等元，則下列2 條成立：

(i)Eu是一個左正規(guī)帶，且為S的 R*,～-類代表元集；

(ii)uE是一個右正規(guī)帶，且為S的 L*,～-類代表元集.

證明(i)易知Eu?E.據(jù)引理6 知Eu是帶.則關(guān)于任意eu,fu,gu∈Eu(e,f,g∈E)，有

因此Eu是左正規(guī)帶.

令x∈S，且e,f∈E，使得eR*,～xR*,～f.據(jù)引理8 知xR*,～xu，使得eR*,～xu，ueR*,～uxu，其中uxu∈uSu，且uxu,ueu∈E(uSu)，ux+uR*,～uxu.注意到ue∈E，ueR*,～ux+u且ue=(ux+u)ue.因此

同理可得ufu=ux+u，因此ueu=ufu.

因為euRe，fuRf，其中eu,fu∈Eu，則eu和fu是與x有 R*,～關(guān)系的冪等元，因此euRfu，且euLueu=ufuLfu，從而eu=fu. 故集合Eu是S的 R*,～-類代表元集.

同理可證(ii).證畢.

若u是弱型A中間冪等元，則據(jù)命題2，知 η 是uSu上的自然序.若關(guān)于任意e∈E(uSu)，eu=e，則eηu，且u是uSu上最大冪等元.因此得到如下命題4.

命題4若S是具有弱型A中間冪等元u的r-寬大半群，則 (uSu,η) 是具有最大冪等元u的自然序弱型A半群.

3 自然序r-寬大半群

本節(jié)中，如果無特別說明，S總表示為具有冪等元集E且包含弱型A可乘中間冪等元u的r-寬大半群，uSu是S的(*,～)子半群，且E°=E(uSu) 為半格.將EI-Qallali[8]在富足半群上的結(jié)果推廣到r-寬大半群.考慮

注意到，關(guān)于任意e∈Eu，f∈uE，有fe=ufeu∈uSu.事實上是根據(jù)u的可乘性質(zhì)，fe∈E°.在T上定義如下的二元運算：

顯然T在該運算下是封閉的，且滿足結(jié)合律，則T為半群.

引理9半群T是r-寬大半群.

證明令 (e,a,f)∈T.若a∈uSu(uSu是 (*,～)-子半群)，則存在a+∈E°，且uea=a蘊含uea+=a+.從而

因此 (e,a+,a+)∈E(T).

因為 (e,a+,a+)(e,a,f)=(e,a+ea,f)=(e,a,f)，則關(guān)于任意 (g,b,h)∈E(T)，

因此 (e,a+,a+)R*,～(e,a,f).

再證 (a*,a*,f) 與 (e,a,f) 有 L*,～關(guān)系.存在a*∈E°，且afu=a蘊含a*fu=a*，則

因此 (a*,a*,f)∈E(T).

因為 (e,a,f)(a*,a*f)=(e,afa*a*,f)=(e,a,f)，則關(guān)于任意 (g,b,h),(i,c,k)∈T，

因此 (e,a,f)L*,～(a*,a*,f).證畢.

關(guān)于r-寬大半群T中元素的中間分量排列，首先考慮uSu上的自然序 η(命題2)，分別定義 ≤r和 ≤l，

在T上定義 ≤，關(guān)于任意 (e,a,f),(g,b,h)∈T，

引理10在r-寬大半群T上，關(guān)系 ≤ 是自然序，其中 (u,u,u) 是T上的最大冪等元.

證明顯然，關(guān)系 ≤ 在T上是偏序.令 (e,a,f),(g,b,h),(i,c,k)∈T，(e,a,f)≤(g,b,h)，則e≤lg，aηb及f≤rh.因為u是可乘中間冪等元，fi,hi∈E°，f=h蘊含fi=hi，fiηhi；或h=u時，fi,u∈E°，根據(jù)命題4，有fiηu，即fiu=fi，fiui=fi.綜上所述，fiηhi，故aficηbhic，因此 (e,a,f)(i,c,k)≤(g,b,h)(i,c,k).

同理可證 (i,c,k)(e,a,f)≤(i,c,k)(g,b,h)，故偏序 ≤ 在T上是相容的.

令 (e,a,f)∈E(T)，則afea=a蘊含a*fea=a*. 若a∈uSu(uSu是S的(*,～)-子半群)，則a*∈E°.又fe∈E°，從而a*=(a*fea)+=a*fea+. 又afea+=a+，a+∈E°. 因此a+=aa*fea+=aa*=a，則a∈E°.

若 (g,b,h)∈E(T)，其中b∈E°，使得 (e,a,f)ω(g,b,h)，即

則e=g，afgb=a=bhea及h=f.從而ab=a，aηb，因此 (e,a,f)≤(g,b,h)，故偏序 ≤ 是自然的.

容易驗證 (u,u,u)∈E(T)，關(guān)于任意 (e,a,f)∈E(T)，其中a∈E°，根據(jù)命題4 知aηu，得 出(e,a,f)≤(u,u,u).證畢.

令 θ:T→S，使得關(guān)于任意 (e,a,f)∈T，有 (e,a,f)θ=eaf.顯然 θ 是滿同態(tài).若 (e,a,f),(g,b,h)∈T，(e,a,f)θ=(g,b,h)θ，即eaf=gbh，則ueaf=ugbh蘊含af=bh，eafu=gbhu蘊含ea=gb，因此a=b.從而

稱 θ 是允許同態(tài)，如果關(guān)于任意a,b∈S，

引理11令T是r-寬大半群，則關(guān)于任意 (e,a,f)∈T，存在a*f,ea+∈E，使得a*fL*,～eafR*,～ea+，其中a+，a*∈E°.

證明令a∈uSu，則a+,ue∈E°，

因此ea+∈E.關(guān)于任意h∈E，

則ea+R*,～eaf.

下證a*fL*,～eaf.令a∈uSu，a*,fu∈E°，

因此a*f∈E. 關(guān)于任意s,t∈S1，

則a*fL*,～eaf.證畢.

推論5同態(tài) θ 是允許的.

證明令 (e,a,f),(g,b,h)∈T，使得 (e,a,f)R*,～(g,b,h). 據(jù)引理9 的證明可知 (e,a+,a+),(g,b+,b+)∈E(T)，其中a+,b+∈E°，

則 (e,a+,a+)R(g,b+,b+).因此從而有a+gb+=b+，e=g及b+ea+=a+，其中g(shù)b+,ea+∈E(引理11).則gb+ea+=ga+=ea+，ea+gb+=eb+=gb+，故gb+Rea+.

據(jù)引理11 知

同理可證，

證畢.

令 ρ 是 θ 的核，則關(guān)于任意 (e,a,f),(g,b,h)∈T：

引理12[8]每個閉環(huán)模 ρ 的所有元素屬于同一 ρ 類.

一個開環(huán)模 ρ 是T的有限子集

推論6T/ρ 是偏序r-寬大半群，且自然映射T→T/ρ 是保序的.

證明在T/ρ 上定義關(guān)系 ≤ρ. 若關(guān)于任意xρ,yρ ∈T/ρ(x,y∈T)，則xρ≤ρyρ 當(dāng)且僅當(dāng)存在 2n(n是正整數(shù))個元素：a1,a2,···,an,b1,b2,···,bn∈T，使得

則存在開環(huán)模 ρ.

顯然關(guān)系 ≤ρ滿足自反性和傳遞性.假設(shè)xρ≤ρyρ 和yρ≤ρxρ，則存在元素a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,ck,d1,···dk∈T，使得

注意到，如果關(guān)于正整數(shù)t，bt=at+1，則從序列中刪除元素bt，at+1，并對其他元素重新編號.因此設(shè)i=1,···,n和j=1,···,k，

從而得到一個閉環(huán)模 ρ.據(jù)引理12 得到x≡y，xρ=yρ .因此關(guān)系 ≤ρ是偏序關(guān)系.

關(guān)于任意x,y∈T，x≤y(在T上)蘊含xρ≤ρyρ(在T/ρ 上)，則自然映射T→T/ρ 是保序的.證畢.

定理1令S是具有弱型A可乘中間冪等元u的r-寬大半群，則S是u為最大冪等元的自然序r-寬大半群.

因此xzδyz. 同理可證zxδzy，故序 δ 在S上是相容的.