超高性能纖維增強(qiáng)混凝土單軸本構(gòu)關(guān)系和鋼纖維增強(qiáng)作用對(duì)其影響

鄧金嵐,楊簡*,陳寶春,徐港,李洋

（1.三峽大學(xué) 防災(zāi)減災(zāi)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，宜昌 443002；2.三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，宜昌 443002；3.福建理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350118；4.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108）

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)逐漸向更高、更輕、跨度更大和耐久性更好的方向發(fā)展，傳統(tǒng)混凝土材料的力學(xué)性能和耐久性很難滿足新的建設(shè)需求，超高性能纖維增強(qiáng)混凝土(Ultra-high performance fiber reinforced concrete，UHPFRC)的推廣應(yīng)用成為必然趨勢。UHPFRC抗壓強(qiáng)度不低于120 MPa，抗拉強(qiáng)度可達(dá)10 MPa[1-3]，具有超高強(qiáng)度、高韌性、高耐久性等優(yōu)勢，在橋梁、建筑、核電、海洋等工程中已得到廣泛應(yīng)用[4-7]。

近年來，UHPFRC材料的研究熱度不斷攀升，國家級(jí)資助的UHPFRC相關(guān)項(xiàng)目穩(wěn)定增長，近五年均在20項(xiàng)以上。知網(wǎng)與“WOS”平臺(tái)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，UHPFRC相關(guān)的學(xué)術(shù)論文數(shù)量也急劇增加，2022年發(fā)文量達(dá)到了2007年的9倍以上。

UHPFRC研究主要聚焦在工程應(yīng)用、材料科學(xué)和施工技術(shù)3個(gè)重點(diǎn)領(lǐng)域，占比所有研究的78%。本構(gòu)關(guān)系是工程應(yīng)用和材料科學(xué)的核心問題之一。學(xué)者們圍繞UHPFRC本構(gòu)關(guān)系已開展了大量研究，但研究結(jié)果呈現(xiàn)出方法各異、形式多樣、結(jié)果各有優(yōu)劣、適用場景各不相同的特點(diǎn)。

因此，本文系統(tǒng)梳理了國內(nèi)外UHPFRC軸拉和軸壓本構(gòu)關(guān)系相關(guān)研究，按照建立本構(gòu)方程函數(shù)模型的方法對(duì)其進(jìn)行歸納分析，梳理各本構(gòu)函數(shù)模型的推薦函數(shù)和適用場景；此外，針對(duì)現(xiàn)有本構(gòu)函數(shù)的不足，開展摻入不同長徑比、體積率鋼纖維UHPFRC的軸拉和軸壓試驗(yàn)，揭示鋼纖維對(duì)單軸本構(gòu)關(guān)系的影響，提出包含鋼纖維參數(shù)的UHPFRC軸拉和軸壓本構(gòu)方程，為認(rèn)識(shí)材料特征、非線性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和數(shù)值模擬提供本構(gòu)方程。

1 UHPFRC本構(gòu)關(guān)系研究現(xiàn)狀

UHPFRC單軸本構(gòu)關(guān)系從函數(shù)模型提出的方法大致可分為基于本構(gòu)曲線數(shù)值規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃突诹W(xué)理論推導(dǎo)的理論模型；理論模型根據(jù)所依據(jù)的力學(xué)原理不同得到的函數(shù)差異較大，目前采用最多的為：(1) 基于塑性損傷理論建立的塑性損傷本構(gòu)模型(損傷模型)；(2) 基于線彈性理論建立的線性簡化模型(簡化模型)。

1.1 UHPFRC本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷难芯枯^多沿用或借鑒普通混凝土(Normal concrete，NC)/高性能混凝土(High performance concrete，HPC)的函數(shù)，針對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段和下降段的數(shù)值規(guī)律不同，采用在峰值點(diǎn)連續(xù)的分段函數(shù)[8-9]；常用函數(shù)包括多項(xiàng)式、有理分式和指數(shù)式[10]等。

1.1.1 軸拉本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

軸拉本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖陆刀尉捎糜欣矸质剑煌瑢W(xué)者間主要差異在上升段函數(shù)選擇。針對(duì)上升段函數(shù)，過鎮(zhèn)海等[11]針對(duì)NC提出的多項(xiàng)式模型最常被引用。鄭文忠等[12]、安明喆等[13]、楊志慧[14]均采用過鎮(zhèn)海函數(shù)模型，通過各自軸拉試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)擬合建立軸拉本構(gòu)方程。劉沐宇等[15]、胡翱翔等[16]根據(jù)軸拉試驗(yàn)曲線特征上升段選擇有理分式擬合得到本構(gòu)方程。

1.1.2 軸壓本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

與軸拉本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗨?，下降段均采用有理分式，不同研究的主要差異在上升段函?shù)選擇。早期軸壓本構(gòu)研究中，許多學(xué)者們認(rèn)為UHPFRC軸壓曲線與NC特征類似，時(shí)金娜等[8]、Zheng等[17]、黃政宇等[18]、高丹盈[19]、尹俊紅等[20]、池寅等[21]沿用過鎮(zhèn)海在NC本構(gòu)中使用的多項(xiàng)式模型或修正模型，結(jié)合自身試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合提出了各自的軸壓本構(gòu)關(guān)系方程。

另一些學(xué)者認(rèn)為UHPFRC的軸壓力學(xué)性能遠(yuǎn)優(yōu)于NC，不同于NC比例極限為軸壓峰值應(yīng)力的40%～50%，UHPFRC比例極限一般在峰值應(yīng)力的70%～95%[10]；且纖維增強(qiáng)作用使其破壞形態(tài)表現(xiàn)出延性特征[22-23]；UHPFRC軸壓本構(gòu)上升段方程宜采用更高階的多項(xiàng)式函數(shù)。徐強(qiáng)等[23]、鞠彥忠等[24-25]將上升段改為采用四階多項(xiàng)式；劉沐宇等[15]、安明喆等[26]、Zheng等[27]、Li等[28]則選用五次多項(xiàng)式；鞠彥忠等[7]、金凌志等[22]、沈濤[29]、單波[30]、He等[31]更是采用了六階多項(xiàng)式來擬合UHPFRC軸壓本構(gòu)上升段方程。

CEB-FIP規(guī)范[32]和Carreira等[33]采用有理分式函數(shù)描述NC軸壓本構(gòu)上升段，也被部分UHPFRC研究所借鑒。Wu等[34]、楊劍等[35]采用CEB-FIP的函數(shù)形式；Wu等[36]、Wang等[37]對(duì)Carreira等[33]模型的上升段進(jìn)行了修正。

綜合而言，UHPFRC單軸本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪腔谠囼?yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)值擬合本構(gòu)方程，具有與樣本試驗(yàn)曲線吻合良好和函數(shù)形式簡單的優(yōu)點(diǎn)，研究和應(yīng)用較廣泛，但是缺乏力學(xué)基礎(chǔ)，可靠性高度依賴于樣本數(shù)量。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的核心在于上升段和下降段函數(shù)選擇，軸拉本構(gòu)兩段均較多采用有理分式；軸壓本構(gòu)早期研究上升段較多采用多項(xiàng)式，近年來高階多項(xiàng)式和有理分式越來越多，下降段為有理分式。此外，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷谋緲?gòu)方程普遍無法體現(xiàn)纖維的影響。

1.2 UHPFRC本構(gòu)損傷模型

UHPFRC損傷模型是通過Lemaitre應(yīng)變等效原理[38]構(gòu)建損傷因子，確定演化函數(shù)，進(jìn)而建立的。損傷本構(gòu)模型差異主要體現(xiàn)在損傷因子的構(gòu)建方法和損傷演化函數(shù)的選擇。

1.2.1 軸拉本構(gòu)損傷模型

Deng等[39]在Sima模型[40]基礎(chǔ)上，考慮卸載和重新加載中的損傷演化規(guī)律，提出了UHPFRC循環(huán)加載拉伸本構(gòu)模型。Wang等[41]引入塑性應(yīng)變來反映不可逆變形，并量化其與卸載應(yīng)變的線性關(guān)系，對(duì)Deng等[42]模型中的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行了修正，將彈性損傷轉(zhuǎn)換為彈塑性損傷，提出了UHPFRC的彈塑性損傷本構(gòu)模型。Li等[43]、Yue等[44]、Xu等[45]采用聲發(fā)射等手段，從剛度退化、應(yīng)變能釋放等角度構(gòu)建損傷因子，分析建立了纖維增強(qiáng)混凝土(Fibre reinforced concrete，F(xiàn)RC)的軸拉損傷本構(gòu)，對(duì)UHPFRC本構(gòu)具有借鑒意義。

1.2.2 軸壓本構(gòu)損傷模型

Chi等[46]利用纖維因子，對(duì)NC的塑性損傷本構(gòu)模型進(jìn)行修正，提出適用于FRC的損傷函數(shù)。Krahl等[47]以割線模量定義損傷因子，分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)循環(huán)受壓時(shí)UHPFRC損傷演化符合指數(shù)函數(shù)分布。寧喜亮等[48]、王春來等[49]、程臻赟[50]、薛云亮等[51]基于應(yīng)變等效原理，采用Weibull分布函數(shù)作為損傷因子的演化方程，建立了FRC損傷本構(gòu)模型。徐禮華等[52-53]分析鋼纖維特征參數(shù)對(duì)FRC循環(huán)受壓過程的影響，建立了FRC循環(huán)受壓彈塑性損傷本構(gòu)模型。

綜合而言，UHPFRC損傷模型符合力學(xué)原理，適用于材料特征研究；目前損傷本構(gòu)研究多以FRC為對(duì)象，UHPFRC研究較少。UHPFRC損傷本構(gòu)建立的關(guān)鍵在于損傷因子構(gòu)建和演化函數(shù)選擇；基于應(yīng)變等效原則構(gòu)建損傷因子時(shí)，損傷演化函數(shù)多采用Weibull分布。此外，目前鋼纖維對(duì)損傷本構(gòu)影響的研究尚不充分。

1.3 UHPFRC本構(gòu)簡化模型

許多學(xué)者假設(shè)軸拉和軸壓本構(gòu)上升段滿足線彈性建立本構(gòu)簡化模型，以簡化受力分析和建立數(shù)值模型。簡化模型的主要差異在于線型的選擇。

1.3.1 軸拉簡化模型

徐海賓等[54]結(jié)合現(xiàn)有研究成果，建議UHPFRC在結(jié)構(gòu)非線性設(shè)計(jì)時(shí)采用上升-平直-下降的三線型軸拉本構(gòu)簡化模型。Liao等[55]、Isa等[56]、Mobasher等[57]、劉欣益等[58]考慮到UHPFRC具有應(yīng)變硬化特征，提出彈性上升段、平緩上升段和軟化下降段的三線型簡化模型。趙繼之等[59]也采用了彈性上升段、平緩上升段作為上升段，但下降段采用的指數(shù)函數(shù)曲線。

UHPFRC軸拉軟化下降段常用應(yīng)力-裂縫寬度關(guān)系描述。張哲等[60]、Fang等[61]基于試驗(yàn)結(jié)果基本沿用了Stang等[62]提出的指數(shù)型應(yīng)力-裂縫寬度經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?duì)系數(shù)進(jìn)行了修正。

為了使簡化模型軟化段與試驗(yàn)曲線更加吻合，Kang等[63]、Fujikake等[64]、Shi等[65]選用三線型形式來等效軟化段曲線。但過于復(fù)雜的軟化段線型背離了簡化受力分析計(jì)算的初衷，本文推薦下降段采用單一線性函數(shù)。

1.3.2 軸壓簡化模型

UHPFRC軸壓本構(gòu)上升段曲線近似線彈性。日本[66]、瑞士[67]等國規(guī)范和趙繼之等[59]學(xué)者的研究中，軸壓簡化模型均采用雙線型模型。

綜合而言，UHPFRC本構(gòu)簡化模型的突出優(yōu)點(diǎn)是便于計(jì)算，并且能夠滿足一定的精度要求。本文推薦UHPFRC軸拉本構(gòu)采用彈性上升段、平緩上升段和軟化下降段的三折線模型；軸壓本構(gòu)采用雙折線模型；此外建議針對(duì)不同應(yīng)用場景和設(shè)計(jì)要求選擇不同線型以滿足不同需求。

2 試 驗(yàn)

2.1 原材料與試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為探究鋼纖維對(duì)UHPFRC本構(gòu)關(guān)系的研究，UHPFRC基體采用統(tǒng)一的原料和配合比，見表1。

原材料如下：水泥采用P·O 42.5級(jí)硅酸鹽水泥；硅灰比表面積18 920 m2/kg，SiO2含量97.57%；集料包括粒徑為0.212～0.428 mm、0.428～0.850 mm、0.850～1.700 mm的3種石英砂和粒徑為0.038 mm的石英粉；減水劑采用減水率約為30%的CX-8型高效減水劑。

以鋼纖維的長徑比和體積率為變量開展研究。選用長徑比為43 (直徑0.30 mm、長度13 mm)、65 (直徑0.20 mm、長度13 mm)、100 (直徑0.20 mm、長度20 mm)的3種鍍銅圓直形鋼纖維(分別記作S0313、S0213、S0220)，見圖1，鋼纖維均由統(tǒng)一原絲制備，原絲抗拉強(qiáng)度為2 850 MPa，彈性模量為210 GPa。

圖1 不同長徑比的鋼纖維Fig.1 Steel fibers with different aspect ratios

A組試驗(yàn)為軸壓試驗(yàn)，設(shè)計(jì)3種體積分?jǐn)?shù)：1.0vol%、2.0vol%和3.0vol%，共計(jì)9種UHPFRC。A組試件采用“C-纖維代號(hào)-纖維體積分?jǐn)?shù)”編號(hào)各組試件，“C”表示棱柱體軸壓試驗(yàn)，例如：“C-S0213-2.0vol%”表示摻入體積分?jǐn)?shù)2vol%的長度為13 mm、直徑為0.2 mm鋼纖維的UHPFRC棱柱體抗壓試件。具體編號(hào)見表2。

表2 A組和B組試驗(yàn)方案Table 2 Test scheme of group A and group B

B組試驗(yàn)為軸拉試驗(yàn)，設(shè)計(jì)6種體積摻量：0.5vol%、1.0vol%、1.5vol%、2.0vol%、2.5vol%和3.0vol%，共計(jì)18種UHPFRC。B組試件采用“T-纖維代號(hào)-纖維體積分?jǐn)?shù)”編號(hào)各組試件，“T”表示軸拉試驗(yàn)，例如：“T-S0213-2.0vol%”表示摻入體積分?jǐn)?shù)2vol%的長度為13 mm、直徑為0.2 mm鋼纖維的UHPC狗骨軸拉試件。具體編號(hào)見表2。

2.2 澆筑與養(yǎng)護(hù)機(jī)制

參照國家規(guī)范GB/T 31387-2015[68]制備UHPFRC，攪拌全過程約需13～15 min。攪拌完成后，采用沿長度方向分批分層澆筑的方式入模，澆筑完成后模外振動(dòng)密實(shí)。在試件上覆蓋塑料薄膜，靜置8～24 h后脫模。脫模后將試件放入蒸養(yǎng)室在90℃蒸汽環(huán)境下蒸養(yǎng)72 h。蒸養(yǎng)完成后，自然養(yǎng)護(hù)至28天進(jìn)行抗拉和抗壓試驗(yàn)。

2.3 試驗(yàn)方法

2.3.1 軸拉試驗(yàn)

直拉強(qiáng)度試件形狀、尺寸采用DB13/T 2946-2019[69]規(guī)定的試件。每組軸拉試驗(yàn)澆筑6根狗骨試件。參考文獻(xiàn)[70]的測試方法，測試設(shè)備為布置于試件中部四面的應(yīng)變片和兩側(cè)的引伸計(jì)。加載采用300 kN的液壓伺服微機(jī)控制萬能試驗(yàn)機(jī)(濟(jì)南東測試驗(yàn)機(jī)技術(shù)有限公司)。加載方式以0.1 mm/min的加載速度進(jìn)行加載，直到試件的長度變化為鋼纖維長度的60%時(shí)結(jié)束試驗(yàn)。試驗(yàn)以主裂紋位于100 mm測距內(nèi)，且彈性段位移計(jì)和應(yīng)變片的數(shù)據(jù)差異小于15%，作為試驗(yàn)成功的判斷標(biāo)準(zhǔn)。具體的軸拉試驗(yàn)裝置圖可見圖2(a)。

圖2 試驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Diagram of test device

2.3.2 軸壓試驗(yàn)

每組UHPFRC澆筑3個(gè)尺寸為100 mm×100 mm×300 mm的棱柱體試件，進(jìn)行軸壓試驗(yàn)。參照國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 31387-2015[68]進(jìn)行抗壓性能檢測，加載方式為力和位移混合加載，先以0.25 kN/s的速度連續(xù)加載至30 kN；然后以0.1 mm/min的加載速度連續(xù)加載至試件發(fā)生破壞。具體軸拉試驗(yàn)裝置見圖2(b)。

2.4 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)得到各組UHPFRC軸拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖3；受壓力機(jī)剛度限制，軸壓試驗(yàn)中僅測試到軸壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的上升段，見圖4。

圖3 UHPFRC軸拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Uniaxial tensile stress-strain curves of UHPFRC

圖4 UHPFRC軸壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Uniaxial compressive stress-strain curves of UHPFRC

3 UHPFRC本構(gòu)關(guān)系

3.1 UHPFRC本構(gòu)關(guān)系經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

3.1.1 軸拉本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

由1.1節(jié)可知，現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，軸拉本構(gòu)方程上升段函數(shù)形式不一。上升段需滿足邊界條件：(a)x=ε/εp=0時(shí)，y=σ(ε)/σp=0，dy/dx=E0/Ec，E0為初始彈模，Ec為割線模量；(b)x=1時(shí)，y=1，dy/dx=0；(c) 0 ＜x＜ 1時(shí)，dy/dx＜0，d2y/dx2＜0。

由文獻(xiàn)[19]可知1.1.1節(jié)中多項(xiàng)式形式的軸拉本構(gòu)模型中A應(yīng)該滿足1.5＜A＜3；有理分式形式的軸拉本構(gòu)模型由邊界條件(a)可得：dy/dx=E0/Ec=A＞1。通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合分析，發(fā)現(xiàn)較多曲線擬合出的A值超出多項(xiàng)式模型中的A取值范圍，因此，本文選擇與文獻(xiàn)[15-16]中相同的有理分式的形式，見下式：

式中：x=ε/εp；y=σ(ε)/σp；σp和εp分別為峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變；m1、n1為待定系數(shù)。

模型的上升段曲線由待定系數(shù)A確定，下降段由待定系數(shù)m1、n1確定；為了分析適用于不同基體的待定系數(shù)的推薦值，收集UHPFRC相關(guān)文獻(xiàn)[13-14,47,71-82]中的軸拉數(shù)據(jù)，通過擬合發(fā)現(xiàn)A值在1.5～6.5之間可包含大部分曲線上升段，見圖5。

圖5 UHPFRC軸拉本構(gòu)曲線[13-14,47,71-82]Fig.5 Uniaxial tension constitutive curves of UHPFRC[13-14,47,71-82]

以試驗(yàn)和文獻(xiàn)收集的共35組數(shù)據(jù)為樣本，剔除大誤差點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)得到A的平均值為3.4，并將其作為A的推薦值。下降段以18組試驗(yàn)和文獻(xiàn)數(shù)據(jù)作為樣本，同樣通過統(tǒng)計(jì)分析推薦m1、n1分別為0.49和2.0。綜合得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ捅緲?gòu)式如下式：

3.1.2 軸壓本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

軸壓經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮瘮?shù)模型差異也主要出現(xiàn)在上升段。通過文獻(xiàn)[19,22,24,26-27,34]收集了不同經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭猩仙蜛值的取值范圍，見表3。

表3 A值(A=E0/Ec)的取值范圍Table 3 Value range of A (A=E0/Ec)

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本根據(jù)1.1.2節(jié)中各經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)得到的A值均滿足系數(shù)范圍；進(jìn)一步對(duì)比各經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ臀呛隙龋妶D6。

圖6 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷呐卸ㄏ禂?shù)R2Fig.6 Determination coefficient R2 of empirical model

判定系數(shù)R2是評(píng)價(jià)擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)值越大則吻合越好。圖6對(duì)比發(fā)現(xiàn)針對(duì)不同試驗(yàn)結(jié)果，采用有理分式擬合時(shí)，相關(guān)系數(shù)值最大，表明采用有理分式與試驗(yàn)結(jié)果更吻合。為此，本文與文獻(xiàn)[34-35]相同選擇有理分式作為本構(gòu)關(guān)系函數(shù)式，見下式：

可見，上升段僅與系數(shù)A相關(guān)。以試驗(yàn)和參考文獻(xiàn)[26,35,37,50,83-88]中的19組數(shù)據(jù)為樣本，對(duì)A值進(jìn)行擬合，剔除大誤差點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)分析所有樣本值，得到A的均值為1.17，以其為推薦值。以收集文獻(xiàn)中的11組本構(gòu)下降段曲線為樣本，采用相同方法確定m2推薦值為10.0。綜上所述，可得數(shù)值本構(gòu)關(guān)系式如下式：

3.2 UHPFRC損傷本構(gòu)函數(shù)模型

根據(jù)第1.2節(jié)的分析，本文選用Weibull分布作為損傷演化函數(shù)，如下式：

根據(jù)Lemaiture的應(yīng)變等價(jià)性假說[38]，可以得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，如下式：

式中，a和η是分布函數(shù)控制系數(shù)。

3.2.1 軸拉損傷本構(gòu)

軸拉本構(gòu)方程邊界條件包括：(a) 當(dāng)拉應(yīng)變?chǔ)舤=0時(shí)，拉應(yīng)力σt=0和dσt/dεt=E0；(b) 對(duì)應(yīng)于應(yīng)力峰值點(diǎn)的應(yīng)變當(dāng)εt=εtp時(shí)，有σt=σtp和dσt/dεt=0(其中εtp為峰值拉應(yīng)變，σtp為峰值拉應(yīng)力)；(c) 應(yīng)變?yōu)槌趿褢?yīng)變?chǔ)舤k時(shí)，應(yīng)力為初裂強(qiáng)度σtk，即εt=εtk時(shí)，σt=σtk；兩個(gè)控制系數(shù)μ和η可以由邊界條件(a)、(b)和(c)確定。對(duì)式(6)進(jìn)行無量綱化，令y=σt(εt)/σtp，x=εt/εtp，同時(shí)引入邊界條件，得本構(gòu)函數(shù)式，見下式：

由式(7)可知，系數(shù)η值可以通過峰值點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變值和彈性模量進(jìn)行估算。如圖7所示，η值隨纖維增強(qiáng)因子K(K=Vf(lf/df)，Vf為纖維含量，lf和df分別為鋼纖維長度和直徑)值的增加而降低，以2.4節(jié)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本，數(shù)值回歸分析得η值的估算式如下式：

圖7 UHPFRC軸拉本構(gòu)方程控制系數(shù)η與纖維增強(qiáng)因子K關(guān)系Fig.7 Relationship between control coefficient η of uniaxial tension constitutive equation and fiber reinforcement factor K of UHPFRC

為驗(yàn)證不同基體時(shí)式(8)估算的系數(shù)η值是否有效，共收集了12篇文獻(xiàn)[13-14,71-80]中的33組UHPFRC軸拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖7對(duì)比結(jié)果表明，不同基體條件時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)多位于±15%誤差限內(nèi)，可見式(8)依舊具有較好精度。

為考慮不同基體差異對(duì)模型的影響，使在不同基體條件時(shí)估算結(jié)果更加準(zhǔn)確，通過文獻(xiàn)收集了不同基體UHPFRC的相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以擴(kuò)展樣本庫數(shù)據(jù)，以文獻(xiàn)和試驗(yàn)的全部數(shù)據(jù)為樣本，重新回歸分析得下式：

對(duì)比式(9)計(jì)算曲線與試驗(yàn)曲線，見圖8，擬合曲線與實(shí)測試驗(yàn)曲線吻合良好。

圖8 UHPFRC抗拉本構(gòu)模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.8 Comparison between tensile constitutive model and test data of UHPFRC

3.2.2 軸壓損傷本構(gòu)

與軸拉曲線相同，軸壓曲線滿足相同的邊界條件，同理可得下式。

由式(10)可知，系數(shù)η值可以通過峰值點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變值和彈性模量進(jìn)行估算。如圖9所示，η值隨纖維增強(qiáng)因子K值的增加而降低，且下降趨勢為開口向上的二次拋物線。以2.4節(jié)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本，數(shù)值回歸分析得η值的估算式如下式：

圖9 UHPFRC軸壓本構(gòu)方程控制系數(shù)與纖維增強(qiáng)因子關(guān)系[26,35,50,84-95]Fig.9 Relationship between control coefficient of uniaxial compression constitutive equation and fiber reinforcement factor of UHPFRC[26,35,50,84-95]

為驗(yàn)證不同基體時(shí)式(11)估算的系數(shù)η值是否有效，收集15篇文獻(xiàn)[26,35,50,84-95]中的23組UHPFRC軸壓試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖9對(duì)比結(jié)果表明，不同基體條件時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)基本位于±15%誤差限內(nèi)，式(11)依舊具有較好精度。

為考慮不同基體差異對(duì)模型的影響，使在不同基體條件時(shí)估算結(jié)果更加準(zhǔn)確，通過文獻(xiàn)收集了不同基體UHPFRC的相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果，以擴(kuò)展試驗(yàn)樣本庫數(shù)據(jù)，以文獻(xiàn)和試驗(yàn)的全部數(shù)據(jù)為樣本重新分析得下式：

對(duì)比式(12)計(jì)算曲線與試驗(yàn)曲線見圖10，擬合曲線與實(shí)測上升段曲線吻合良好。

圖10 UHPFRC抗壓本構(gòu)模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.10 Comparison between compressive constitutive model and test data of UHPFRC

3.3 UHPFRC簡化本構(gòu)關(guān)系

3.3.1 軸拉簡化本構(gòu)

根據(jù)1.3.1節(jié)的梳理，應(yīng)變硬化型UHPFRC的軸拉本構(gòu)簡化模型采用三折線模型。軟化型UHPFRC的本構(gòu)曲線可視作在峰值點(diǎn)無限接近初裂點(diǎn)時(shí)的特例。彈性段和硬化段曲線明確，僅需要分析軟化段系數(shù)b，見下式：

此處ytk=εtk/εtp，xtk=σtk/σtp，εtk、σtk分別為初裂應(yīng)變和應(yīng)力；b為待定系數(shù)。以試驗(yàn)和文獻(xiàn)[13-14,71-80]的12組下降段曲線為樣本，對(duì)每一根下降段曲線進(jìn)行回歸得到b，而后剔除大誤差點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)分析b均值為12.4，作為推薦值。

3.3.2 軸壓簡化本構(gòu)

UHPFRC軸壓本構(gòu)曲線僅有一個(gè)峰值點(diǎn)的特征點(diǎn)，如第1.3.2節(jié)的梳理其簡化本構(gòu)曲線通常為雙折線模型。通過對(duì)文獻(xiàn)[26,35,50,84-85,88-92]收集的全部10組下降段曲線，進(jìn)行如3.3.1節(jié)的統(tǒng)計(jì)分析，得最大應(yīng)變推薦為峰值壓應(yīng)變的2.7倍，簡化本構(gòu)函數(shù)如下式：

4 結(jié) 論

(1) 超高性能纖維增強(qiáng)混凝土(UHPFRC)本構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃瘮?shù)形式簡單，較易于計(jì)算，適用于設(shè)計(jì)計(jì)算，但缺乏力學(xué)原理支撐，可靠性高度依賴于樣本數(shù)量。其構(gòu)建的關(guān)鍵在于上升段和下降段函數(shù)形式選擇，軸拉兩段均較多采用有理分式；軸壓上升段早期較多采用多項(xiàng)式，近年來采用有理分式的逐漸增多，下降段為有理分式。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，認(rèn)為軸拉、軸壓本構(gòu)方程都采用有理分式更優(yōu)，然后綜合試驗(yàn)與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)建立了單軸本構(gòu)關(guān)系經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头匠淌健?/p>

(2) UHPFRC本構(gòu)損傷模型符合損傷原理，更吻合試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征，適用于認(rèn)識(shí)材料特征。其構(gòu)建關(guān)鍵在于損傷因子構(gòu)建和損傷演化函數(shù)確定，以真實(shí)應(yīng)力構(gòu)建損傷因子，假定符合Weibull分布，可得到較吻合的本構(gòu)方程式。

(3) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析鋼纖維參數(shù)對(duì)UHPFRC單軸本構(gòu)損傷模型的影響，發(fā)現(xiàn)損傷模型控制系數(shù)與纖維增強(qiáng)因子K呈現(xiàn)顯著相關(guān)性，綜合試驗(yàn)與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)建立了考慮纖維參數(shù)影響的UHPFRC本構(gòu)損傷模型方程式。

(4) UHPFRC本構(gòu)簡化模型，易于計(jì)算和簡化分析，適用于簡化計(jì)算與數(shù)值模擬。其構(gòu)建核心在于線型選擇，軸拉本構(gòu)簡化模型多采用三折線模型以充分體現(xiàn)其假性應(yīng)變硬化特征，軸壓本構(gòu)多采用雙折線模型以簡化計(jì)算。