基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量

何天宇,林 志,李曦坤,楊 青,楊 名

(安徽大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院,安徽 合肥 230601)

提高測(cè)量精度一直是量子計(jì)量學(xué)追求的目標(biāo),弱測(cè)量[1]的弱值放大效應(yīng)為微小物理量的測(cè)量提供了途徑.弱測(cè)量可用于光束橫向偏轉(zhuǎn)[2]、旋轉(zhuǎn)色散效應(yīng)的角旋轉(zhuǎn)[3]、頻率偏移[4]、Goos-H?nchen位移[5-6]以及光力學(xué)[7-9]測(cè)量.弱測(cè)量的放大效應(yīng)需以降低概率為代價(jià),針對(duì)弱測(cè)量的放大效應(yīng)是否可以彌補(bǔ)減少的概率的這個(gè)問(wèn)題,許多研究工作[10-13]給予了否定答案.但是,有一些研究人員[14-18]試圖改善弱值放大的負(fù)面效應(yīng).文獻(xiàn)[19]指出,后選擇本身包含參數(shù)信息,利用這個(gè)信息有望達(dá)到量子計(jì)量學(xué)的海森堡極限,這為量子計(jì)量學(xué)提供了新的思路.利用糾纏態(tài)實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng)是量子計(jì)量學(xué)的主流方法.文獻(xiàn)[17]利用糾纏態(tài)提高了弱測(cè)量的效率,在放大效果不變的前提下提高了后選擇概率.糾纏態(tài)并非提高測(cè)量精度的唯一途徑,有研究工作[20-24]表明,粒子之間的相互作用也是提高測(cè)量精度的重要資源.在探針與信號(hào)相互作用中,耦合參數(shù)信息被編碼至探針,通過(guò)增加探針中的粒子數(shù)量m可實(shí)現(xiàn)測(cè)量精度的提高.不使用量子資源的測(cè)量精度為量級(jí),利用m個(gè)糾纏粒子可將測(cè)量精度提高至1/m量級(jí),通過(guò)k階相互作用能得到1/mk量級(jí)的測(cè)量精度[20].文獻(xiàn)[25]提出了一種測(cè)量交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)的方案,利用單光子疊加態(tài)和相干態(tài)的耦合實(shí)現(xiàn)了精度為海森堡極限的測(cè)量.但是,對(duì)于交叉相位調(diào)制這種2階非線性相互作用,海森堡極限并不是它的精度極限,故該文提出基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量方案,探索提高測(cè)量精度.

1 交叉相位調(diào)制

圖1為單光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制(cross phase modulation)[25]耦合參數(shù)測(cè)量的示意圖.圖1中,上下兩條紅線分別表示信號(hào)光與探針光,信號(hào)光量子態(tài)為單光子的疊加態(tài),探針光量子態(tài)為相干態(tài)|α>,兩束光同時(shí)入射至非線性介質(zhì).紅線水平向右的方向表示順時(shí)序方向.信號(hào)光與探針光在非線性介質(zhì)中發(fā)生相互作用(即交叉相位調(diào)制),其哈密頓量分別為信號(hào)光和探針光的粒子數(shù)算符,g為耦合常數(shù),該過(guò)程對(duì)應(yīng)圖1中的藍(lán)色區(qū)域.信號(hào)光的單光子疊加態(tài)與探針相干|α>態(tài)發(fā)生相互作用后,二者的聯(lián)合態(tài)演化為

圖1 單光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量的示意圖

費(fèi)舍信息包括量子費(fèi)舍信息和經(jīng)典費(fèi)舍信息.耦合參數(shù)的測(cè)量精度可由Cramér-Rao邊界Δg≥和Quantum Cramér-Rao邊界描述,Δg為參數(shù)估計(jì)值gect與實(shí)際值greal的均方差,ν為重復(fù)測(cè)量的次數(shù),F和Q分別為經(jīng)典費(fèi)舍信息和量子費(fèi)舍信息[26-30].通過(guò)計(jì)算交叉相位調(diào)制中的聯(lián)合態(tài)量子費(fèi)舍信息Ij,可估計(jì)聯(lián)合態(tài)中蘊(yùn)含待測(cè)參數(shù)信息的多少,其表達(dá)式[19]為

其中:探針中相干態(tài)的平均光子數(shù)n=|α|2.信號(hào)光為單光子疊加態(tài),如果探針為平均光子數(shù)很大的相干態(tài),即n2?1,則可認(rèn)為參與本次測(cè)量的總光子數(shù)為相干態(tài)的平均光子數(shù).從式(1)可知,聯(lián)合態(tài)上進(jìn)行的測(cè)量使耦合系數(shù)能達(dá)到.這個(gè)結(jié)果表明,只要選擇合適的測(cè)量策略,就有可能使耦合系數(shù)的測(cè)量精度達(dá)到海森堡極限,所以接下來(lái)設(shè)計(jì)合適的投影測(cè)量,以實(shí)現(xiàn)海森堡精度.

信號(hào)光量子態(tài)與探針光量子態(tài)發(fā)生相互作用后,系統(tǒng)狀態(tài)將獲得一個(gè)相位,然后對(duì)信號(hào)光量子態(tài)進(jìn)行投影測(cè)量,這一操作對(duì)應(yīng)弱測(cè)量框架中的后選擇.由于相互作用,投影測(cè)量使測(cè)量結(jié)果的概率隨耦合系數(shù)發(fā)生變化,通過(guò)收集投影測(cè)量結(jié)果可獲得參數(shù)信息;從另一個(gè)角度看,對(duì)信號(hào)光量子態(tài)進(jìn)行投影測(cè)量會(huì)影響探針光量子態(tài)的波函數(shù),因此對(duì)探針光量子態(tài)進(jìn)行探測(cè)也可獲得參數(shù)信息.

2 后選擇策略

在弱測(cè)量框架下,耦合參數(shù)被編碼至探針態(tài)波函數(shù)及后選擇概率.聯(lián)合態(tài)的量子費(fèi)舍信息Ij分配于后選擇保留的探針態(tài)量子費(fèi)舍信息Qd、后選擇舍棄的探針態(tài)量子費(fèi)舍信息Qr以及從后選擇概率中提取的經(jīng)典費(fèi)舍信息F.在此過(guò)程中,費(fèi)舍信息有損失,該損失與后選擇策略有關(guān).各部分費(fèi)舍信息的關(guān)系為Ij≥PdQd+PrQr+F[19],Pd為投影測(cè)量成功概率,失敗概率Pr=1-Pd.通過(guò)選取合適的后選擇策略,可使該費(fèi)舍信息的損失降為零,使上述不等式取等號(hào).由此可見(jiàn),后選擇無(wú)疑是弱測(cè)量框架下的重要環(huán)節(jié),后選擇策略對(duì)提取參數(shù)信息有重要影響.該文擬定兩種投影測(cè)量策略(光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量策略和光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略),對(duì)比這兩種策略的費(fèi)舍信息損失,并據(jù)此選取一個(gè)最佳策略.

2.1 光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量策略

光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量策略是將量子態(tài)投影到光子數(shù)態(tài)的測(cè)量策略.受信號(hào)光的光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量的影響,探針光量子態(tài)變?yōu)橛捎诹孔恿W(xué)投影測(cè)量必須保持完備性,則在投影過(guò)程會(huì)出現(xiàn)另一情況,此時(shí)探針光量子態(tài)為|?r>=|α>,其

通過(guò)Pd和Pr,可提取經(jīng)典費(fèi)舍信息,其表達(dá)式為

通過(guò)投影測(cè)量成功與失敗時(shí)的探針光量子態(tài),可分別提取Qd和Qr,Qd和Qr的表達(dá)式分別為

根據(jù)式(2)～(4),可得到投影測(cè)量后的各部分費(fèi)舍信息的數(shù)值關(guān)系為PdQd+PrQr+F=2n.該策略下,因?yàn)?個(gè)部分費(fèi)舍信息均為0,故只能從第3個(gè)部分費(fèi)舍信息中獲得參數(shù)信息.通過(guò)Ij≥PdQd+PrQr+F,可知該策略不能提取全部參數(shù)信息,即有信息損失.另一方面,該策略的費(fèi)舍信息只出現(xiàn)了n的1次方項(xiàng),故其測(cè)量精度沒(méi)有達(dá)到海森堡極限.

2.2 光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略

光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略是將量子態(tài)投影到光子數(shù)疊加態(tài)的測(cè)量策略.將信號(hào)光量子態(tài)投影到光子數(shù)疊加態(tài)),投影測(cè)量成功和失敗時(shí)的探針態(tài)分別演化為和|?r>=,投影測(cè)量成功和失敗的概率表達(dá)式分別為

當(dāng)耦合參數(shù)的數(shù)值非常小(g→0)時(shí),式(5)～(6)可近似為

其中:n為相干態(tài)平均光子數(shù).光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略下的各部分費(fèi)舍信息為

與光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量策略不同,光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略的成功概率幾乎為0,而失敗的概率幾乎為1(這個(gè)結(jié)論可從式(7)～(8)得出).然而,盡管概率很低,但由式(10)可知費(fèi)舍信息Qd數(shù)值很大.綜合考慮概率與量子費(fèi)舍信息數(shù)值,將探針量子費(fèi)舍信息乘以對(duì)應(yīng)的投影概率,得到

與光子數(shù)態(tài)投影測(cè)量策略不同,光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)費(fèi)舍信息為0的情況,各部分的費(fèi)舍信息的關(guān)系為Ij=PdQd+PrQr+F.除此之外,光子數(shù)疊加態(tài)投影測(cè)量策略的經(jīng)典費(fèi)舍信息出現(xiàn)了n的2次方項(xiàng),故光子數(shù)態(tài)疊加態(tài)投影策略可使測(cè)量精度達(dá)到海森堡極限.

3 信號(hào)光量子態(tài)篩選

下面對(duì)信號(hào)光的量子態(tài)進(jìn)行篩選,以獲取更高測(cè)量精度.相對(duì)于單光子的疊加態(tài),多光子疊加態(tài)在希爾伯特空間有更多維度.多光子疊加態(tài)具有多種形式,在此考慮以下3種形式:和|N>.這3種量子態(tài)信號(hào)光與探針光相互作用時(shí),其聯(lián)合態(tài)分別演化為

其中:聯(lián)合態(tài)的上標(biāo)0N,012N,N分別對(duì)應(yīng)的信號(hào)光量子態(tài)為|2>+…+|N>),|N>.

計(jì)算可得3種聯(lián)合態(tài)的量子費(fèi)舍信息分別為

式(17)～(19)中均出現(xiàn)了N的2次方,這表明多光子疊加態(tài)可帶來(lái)增強(qiáng)效應(yīng).但不同的量子態(tài)之間依舊存在差異,式(19)中出現(xiàn)了N的2次方,而n只有1次方,這是因?yàn)樾盘?hào)光量子態(tài)沒(méi)有疊加資源.將式(17)與式(18)進(jìn)行對(duì)比,可以看出多維疊加態(tài)在N較小時(shí)可帶來(lái)增強(qiáng)效應(yīng),而在N較大時(shí)其增強(qiáng)效應(yīng)會(huì)弱于2維疊加態(tài)的增強(qiáng)效應(yīng).這種情況的出現(xiàn),可能與大N下多維疊加態(tài)中的最大光子數(shù)態(tài)的疊加系數(shù)顯著減小有關(guān).

由于聯(lián)合態(tài)的量子費(fèi)舍信息數(shù)值比其他兩種量子態(tài)的量子費(fèi)舍信息數(shù)值高,故該文選擇信號(hào)光的量子態(tài)為),通過(guò)后選擇策略,能使基于多光子疊加態(tài)的測(cè)量精度比基于其他兩種量子態(tài)的測(cè)量精度更高.

4 基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量方案

該文提出基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量方案.投影至光子數(shù)疊加態(tài)而非光子數(shù)本征態(tài),才能避免參數(shù)信息丟失.從弱值放大角度看,需要將信號(hào)光量子態(tài)投影至幾乎正交的量子態(tài),這樣可獲得更大的弱值,以提升測(cè)量精度.因此,將后選擇態(tài)取為,其投影概率為

當(dāng)耦合參數(shù)的數(shù)值非常小(g→0)時(shí),式(20)可近似為

測(cè)量后探針光量子態(tài)塌縮為

由于投影測(cè)量須保持完備性,故投影測(cè)量也可出現(xiàn)另一種結(jié)果,此時(shí)探針光量子態(tài)塌縮為

根據(jù)式(22)～(23),可得

因此,多光子疊加態(tài)方案測(cè)量精度是單光子疊加態(tài)方案測(cè)量精度的1/N2,且多光子疊加態(tài)方案各部分費(fèi)舍信息數(shù)值分別是單光子疊加態(tài)方案對(duì)應(yīng)的各部分費(fèi)舍信息數(shù)值的N2.當(dāng)耦合參數(shù)g的數(shù)值非常小(g→0)時(shí),信號(hào)光為單光子疊加態(tài)及多光子疊加態(tài)的測(cè)量概率分別近似為,表明多光子疊加態(tài)方案測(cè)量概率是單光子疊加態(tài)方案測(cè)量概率的N2倍.因此,多光子疊加態(tài)的信號(hào)光能使測(cè)量結(jié)果得到全方位提升.

圖2為該文提出的基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量的物理方案意圖.

圖2 基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量的物理方案示意圖

圖2 中,黑色虛線區(qū)域?qū)?yīng)多光子疊加態(tài)的制備過(guò)程[31-32],在偏振分束器(polarizing beam splitter,簡(jiǎn)稱PBS)的兩個(gè)輸入端(0,1端)分別輸入自發(fā)參數(shù)下轉(zhuǎn)換(spontaneous parametric downconversion,簡(jiǎn)稱SPDC)光和相干光,這兩束光經(jīng)過(guò)PBS并發(fā)生干涉.兩個(gè)輸出端(2,3端)的幾乎全部光子均從共同的輸出端(2端或3端)離開(kāi)PBS并進(jìn)入同一條路徑(Up路徑或Down路徑).使用一個(gè)50/50的PBS,就能得到全部光子等概率進(jìn)入U(xiǎn)p路徑或Down路徑的結(jié)果.當(dāng)光子全部進(jìn)入Down路徑時(shí),與探針光發(fā)生交叉相位調(diào)制(對(duì)應(yīng)圖2中藍(lán)色區(qū)域),而進(jìn)入U(xiǎn)p路徑的光子則不與探針光發(fā)生交叉相位調(diào)制作用.可見(jiàn),該物理方案具有搭建難度低及操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn).

對(duì)信號(hào)光量子態(tài)進(jìn)行投影測(cè)量,待測(cè)參數(shù)信息將編碼于測(cè)量后的探針光量子態(tài)及對(duì)應(yīng)的概率.投影測(cè)量的結(jié)果影響探針光的波函數(shù).通過(guò)對(duì)探針光量子態(tài)進(jìn)行正交測(cè)量能估測(cè)參數(shù),并獲得與其量子費(fèi)舍信息量級(jí)對(duì)應(yīng)的測(cè)量精度.

5 結(jié)束語(yǔ)

該文在弱測(cè)量的框架下,基于單光子態(tài)信號(hào)光與相干態(tài)探針光交叉相位調(diào)制的相互作用,討論了兩種不同投影測(cè)量策略對(duì)提取參數(shù)信息的影響.兩種策略結(jié)果的對(duì)比表明:投影至光子數(shù)疊加態(tài)的測(cè)量為最佳投影測(cè)量,而投影至光子數(shù)本征態(tài)的測(cè)量會(huì)帶來(lái)參數(shù)信息丟失.該文將單光子態(tài)與相干態(tài)交叉相位調(diào)制的討論拓展至多光子情況,討論了3種不同疊加形式的信號(hào)光量子態(tài)對(duì)費(fèi)舍信息的影響,從3種不同量子態(tài)中選擇最佳量子態(tài).相對(duì)于單光子疊加態(tài)的方案,多光子疊加態(tài)方案的測(cè)量效果有全方位提升.最后,提出了基于多光子疊加態(tài)的交叉相位調(diào)制耦合參數(shù)測(cè)量的物理方案.有關(guān)交叉相位調(diào)制耦合系數(shù)測(cè)量精度仍有提升空間,后續(xù)研究可利用其他量子資源獲取更好的測(cè)量精度,例如用糾纏態(tài)提升測(cè)量精度.