有關(guān)奇完全數(shù)不存在性的若干刻畫(huà)

張四保,姜蓮霞

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究中心,新疆 喀什 844000)

令Z+為正整數(shù)集合,若n∈Z+適合關(guān)系式σ(n)=2n,則n被稱(chēng)為完全數(shù),其中σ(n)表示為n的一切正因數(shù)的和函數(shù).完全數(shù)是數(shù)論研究中的一個(gè)既重要又極具挑戰(zhàn)性的研究課題,到目前為止只發(fā)現(xiàn)51個(gè)偶完全數(shù),是否存在無(wú)窮多個(gè)偶完全數(shù)以及是否存在奇完全數(shù)依然是未解決的問(wèn)題[1].因而研究奇完全數(shù)的存在性已成為完全數(shù)研究領(lǐng)域中一項(xiàng)重要的工作.

奇完全數(shù)的存在性問(wèn)題雖未得到解決,但也得到了不少研究結(jié)果.對(duì)于奇完全數(shù)的研究,Euler證明了:若n是一奇完全數(shù),則,其中π與qi為互異的奇素?cái)?shù),i=1,2,…,k,且π≡α≡1(mod4).對(duì)于形如的奇正整數(shù),文獻(xiàn)[2]證明:當(dāng)α1≡α2≡…≡αk≡1(mod3)時(shí),n不是奇完全數(shù).對(duì)于形如的奇正整數(shù),文獻(xiàn)[3]證明:當(dāng)α1≡α2≡…≡αk≡2(mod5)時(shí),n不是奇完全數(shù).文獻(xiàn)[4]證明:對(duì)于形如的奇正整數(shù),當(dāng)3|n,若α1≡α2≡…≡αk≡38(mod77),則n不是奇完全數(shù).對(duì)于形如的奇正整數(shù),文獻(xiàn)[5]討論奇完全數(shù)的Euler因子和非Euler因子的性質(zhì),給出幾類(lèi)正整數(shù)不是奇完全數(shù)的條件.文獻(xiàn)[6]給出形如3m-1的奇正整數(shù)不是完全數(shù)的結(jié)論.文獻(xiàn)[7]討論形如5m-1的正奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問(wèn)題,給出其不是完全數(shù)的若干條件.文獻(xiàn)[8]討論形如6m+5的正整數(shù)都不是完全數(shù)的結(jié)論.文獻(xiàn)[9]討論形如7m-1的奇正整數(shù)是否是完全數(shù)的問(wèn)題,給出其不是完全數(shù)的條件.文獻(xiàn)[10]利用初等方法證明:當(dāng)2ab,m≡2(mod4)與當(dāng)2|ab,m≡1(mod2),則對(duì)于任意正整數(shù)n＞log2log2log2a時(shí),正整數(shù)不是奇完全數(shù),其中g(shù)cd(a,b)=1.對(duì)于形如n=a2x+b2x的奇正整數(shù),a,b,x適合a＞b,gcd(a,6)=1,2|ab,文獻(xiàn)[11]證明:當(dāng)x＞log2log2log2a時(shí),n不是奇完全數(shù).

文獻(xiàn)[12]探討形如4m+1的奇正整數(shù)是否為完全數(shù)問(wèn)題,給出其在σ(πα)≡2(mod8)條件下不是完全數(shù)的一些命題.論文將在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)上,討論形如4m+1的奇正整數(shù)是否為完全數(shù)問(wèn)題,給出其在σ(πα)≡6(mod8)的條件下不是完全數(shù)的相關(guān)結(jié)論.注:下文qi均指奇正整數(shù)n的素因數(shù).

1 幾個(gè)基本引理

引理1[12]設(shè)是奇正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則:

當(dāng)qi≡1(mod8)時(shí),有

當(dāng)qi≡3(mod8)時(shí),有

當(dāng)qi≡5(mod8)時(shí),有

當(dāng)qi≡7(mod8)時(shí),有

其中:π≡α≡1(mod4).

2 主要結(jié)論及其證明

定理1對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若qi適合qi≡1(mod8),且qi對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡0,2(mod4),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明當(dāng)qi適合qi≡1(mod8),且qi對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡0(mod4)時(shí),i=1,2,…,k,由引理1,有

由引理2可知,當(dāng)σ(πα)≡6(mod8)時(shí),有

當(dāng)qi適合qi≡1(mod8),且qi對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡2(mod4)時(shí),i=1,2,…,k.由引理1,有

由引理2可知,當(dāng)σ(πα)≡6(mod8)時(shí),有

定理2對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若qi適合qi≡5(mod8),且qi對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡0,2(mod4),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

定理3對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù),在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若適合qi≡1(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù)時(shí),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,若適合qi≡1(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù)時(shí),有

定理4對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若適合qi≡5(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù)時(shí),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

定理5對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若適合qi≡1(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi0(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù)時(shí),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,若適合qi≡1(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi0(mod4))的個(gè)數(shù)都為奇數(shù)個(gè)時(shí),有

定理6對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若適合qi≡5(mod8),且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi0(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù)時(shí),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

定理7對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,若qi適合qi≡3(mod8),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,若qi適合qi≡3(mod8),有

推論1若4p+1形的奇正整數(shù)是完全數(shù),則在σ(πα)≡6(mod8)條件下,qi不能全部適合qi≡3(mod8),i=1,2,…,k.

定理8對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,當(dāng)qi有適合qi≡1(mod8)也有適合qi≡5(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù),適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù),適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為偶數(shù),有

定理9對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,當(dāng)qi有適合qi≡1(mod8)也有適合qi≡5(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù),適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù),則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù),適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)同為奇數(shù),有

根據(jù)定理8,9可得推論2.

推論2對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,當(dāng)qi有適合qi≡1(mod8)也有適合qi≡5(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1,3(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

定理10對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,當(dāng)qi有適合qi≡1(mod8)也有適合qi≡3(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡2(mod4))的個(gè)數(shù),與適合qi≡3(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod2))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod4))的個(gè)數(shù)與適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡3(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.

證明由引理1可得,當(dāng)qi有適合qi≡1(mod8)也有適合qi≡3(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡2(mod4))的個(gè)數(shù),與適合qi≡3(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod2))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod4))的個(gè)數(shù)與適合qi≡1(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡3(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí),有

定理11對(duì)于4p+1形的奇正整數(shù)

在σ(πα)≡6(mod8)條件下,當(dāng)qi有適合qi≡3(mod8)也有適合qi≡5(mod8)的素因數(shù),若適合qi≡3(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod2))的個(gè)數(shù)與適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡2(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡1(mod4))的個(gè)數(shù)與適合qi≡5(mod8)且qi(其對(duì)應(yīng)的指數(shù)2αi適合αi≡3(mod4))的個(gè)數(shù)的奇偶性相同,則n不是完全數(shù),i=1,2,…,k.