• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類行列式的計(jì)算方法

    2024-01-30 21:26:51黃成興王志敏
    科技風(fēng) 2023年35期
    關(guān)鍵詞:行列式線性代數(shù)計(jì)算方法

    黃成興 王志敏

    摘?要:線性代數(shù)作為高等學(xué)校理工類、經(jīng)管類等各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)必修課,是一門非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)課程,在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中越來越顯示出其獨(dú)特的、不可替代的重要作用。行列式是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容,它是線性代數(shù)中的最基本問題,廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問題的解決,行列式的計(jì)算為解決問題提供了工具。而抽象行列式的計(jì)算卻較為困難,如何利用行列式的定理和性質(zhì)巧妙地計(jì)算行列式顯得尤為重要,文章將針對一類抽象行列式進(jìn)行分析,結(jié)合行列式的定理和性質(zhì)給出相應(yīng)的計(jì)算方法,為廣大師生學(xué)習(xí)此類行列式的計(jì)算提供方法指導(dǎo),從而提高解題效率。

    關(guān)鍵詞:行列式;計(jì)算方法;線性代數(shù)

    行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容,利用行列式的定義、性質(zhì)和展開定理可以對行列式進(jìn)行化簡,從而求出它的值。含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類行列式比較抽象,形如xA+yA-1,需要用行列式相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后再求解行列式的值,文章提出兩種解題策略,第一種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用伴隨矩陣性質(zhì)求解;第二種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用可逆矩陣的性質(zhì)求解。

    一、A與A-1互化的相關(guān)定理

    (一)定理1

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A是A的伴隨矩陣,則有AA=AA=AE。

    證明:只證明AA=AE,AA=AE類似。

    AA=a11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    an1an2…annA11A21…An1

    A12A22…An2

    …………

    A1nA2n…Ann

    =∑nk=1a1kA1k∑nk=1a1kA2k…∑nk=1a1kAnk

    ∑nk=1a2kA1k∑nk=1a2kA2k…∑nk=1a2kAnk

    …………

    ∑nk=1ankA1k∑nk=1ankA2k…∑nk=1ankAnk

    =A0…0

    0A…0

    …………

    00…A

    =AE

    (二)定理2

    矩陣A可逆的充要條件是A≠0,且當(dāng)A可逆時(shí),有A-1=1AA,即A=AA-1[1]。

    證明:充分性

    ∵A≠0?∴AA=AA=AE

    ∴A(1AA)=(1AA)A=E

    ∴A可逆,∴A-1=1AA

    ∴A=AA-1

    必要性

    設(shè)矩陣A可逆,則存在矩陣B,使得AB=BA=E。

    兩端取行列式,即AB=E,∴AB=1?∴A≠0

    二、行列式的相關(guān)性質(zhì)

    (一)性質(zhì)1

    若A可逆,實(shí)數(shù)λ≠0,則λA可逆,且(λA)-1=1λA-1。

    證明:∵AA-1=A-1A=E,?∴λA·1λA-1=1λA-1·λA=E

    ∴(λA)-1=1λA-1

    (二)性質(zhì)2

    設(shè)矩陣A為n階方陣,λ為實(shí)數(shù),則λA=λnA[2]。

    證明:

    λA=λa11λa12…λa1n

    λa21λa22…λa2n

    …………

    λan1λan2…λann=λa11a12…a1n

    λa21λa22…λa2n

    …………

    λan1λan2…λann

    =λ2a11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    λan1λan2…λann=…

    =λna11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    an1an2…ann=λnA

    (三)性質(zhì)3

    若矩陣A可逆,則A-1=1A。

    證明:∵矩陣A可逆,∴A≠0

    ∴AA-1=E,∴AA-1=AA-1=E=1

    ∴A-1=1A

    (四)性質(zhì)4

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A是A的伴隨矩陣,則A=An-1。

    證明:∵AA=AA=AE,兩端取行列式,

    ∴AA=AE,

    ∴AA=An

    ,∴A=An-1

    (五)性質(zhì)5

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A為A的伴隨矩陣,則(kA)=kn-1A。

    證明:∵AA=AA=AE

    ∴(kA)·(kA)=kAE=knAE

    ∴(kA)=kAE=knAE·(kA)-1

    =knAE·k-1·A-1=kn-1AE·A-1

    =kn-1AA-1·E=kn-1A·E=kn-1A

    三、例題解析

    (一)例1

    設(shè)A為3階矩陣,且A=12,求(3A)-1-2A的值[3]。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵2A=2AA-1,A=12,∴2A=2AA-1=A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(3A)-1=13A-1,∴(3A)-1-2A=13A-1-A-1=-23A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(3A)-1-2A=-23A-1=(-23)3A-1

    =-827A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴(3A)-1-2A=-23A-1=(-23)3A-1

    =-827A-1=-827·1A=-827×2

    =-1627

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(3A)-1=13A-1=13·1AA=23A

    ∴(3A)-1-2A=23A-2A=-43A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(3A)-1-2A=-43A=(-43)3A

    =-6427A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴(3A)-1-2A=-43A=(-43)3A

    =-6427A=-6427A2

    =-6427×(12)2=-1627

    (二)例2

    設(shè)A為3階矩陣,且A=3,求2A+(13A)-1的值。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵2A=2AA-1,A=3,∴2A=2AA-1=6A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(13A)-1=3A-1,∴2A+(13A)-1=6A-1+3A-1=9A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴2A+(13A)-1=9A-1=(9)3A-1=729A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴2A+(13A)-1=9A-1=(9)3A-1

    =729A-1

    =7291A=729×13=243

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(13A)-1=3A-1=31AA=A

    ∴2A+(13A)-1=2A+A=3A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴2A+(13A)-1=3A=(3)3A=27A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴2A+(13A)-1=3A=(3)3A

    =27A

    =27A2=27×32=243

    四、變式訓(xùn)練

    若矩陣A為4階方陣,A=2,求(12A)-1-52A。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵52A=52AA-1,A=2,

    ∴52A=52AA-1=5A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(12A)-1=2A-1

    ∴(12A)-1-52A=2A-1-5A-1=-3A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(12A)-1-52A=-3A-1=(-3)4A-1=81A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴(12A)-1-52A=-3A-1=(-3)4A-1

    =81A-1=81×1A=812

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(12A)-1=2A-1=21AA=A

    ∴(12A)-1-52A=A-52A=-32A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(12A)-1-52A=-32A=(-32)4A

    =8116A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴(12A)-1-52A=-32A=(-32)4A

    =8116A=8116A3=812

    行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中遇到的最基本問題,含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類抽象行列式的計(jì)算較為復(fù)雜,文章結(jié)合行列式的定理和性質(zhì),給出了這一類行列式的兩種計(jì)算方法,為學(xué)生解決此類問題獻(xiàn)力獻(xiàn)策。

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京:人民郵電出版社,2016.

    [2]濮燕敏,殷俊鋒.線性代數(shù)習(xí)題全解與學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:人民郵電出版社,2018.

    [3]馬銳,羅兆富.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2021.

    基金項(xiàng)目:2023年度云南省教育廳科學(xué)研究基金教師類項(xiàng)目“‘線性代數(shù)’課程思政策略實(shí)踐研究”(2023J1261);滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“新時(shí)代邊境地區(qū)國門高校師范生教學(xué)技能培養(yǎng)策略研究——以滇西科技師范學(xué)院為例”(DXXY202208);滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“滇西科技師范學(xué)院少數(shù)民族大學(xué)生思想教育方法及策略研究”(DXXY202207)

    作者簡介:黃成興(1988—?),男,彝族,云南云縣人,碩士研究生,滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師,主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)論研究。

    *通訊作者:王志敏(1983—?),女,彝族,云南云縣人,碩士研究生,滇西科技師范學(xué)院生物技術(shù)與工程學(xué)院講師,主要從事化學(xué)教育、食品加工研究。

    猜你喜歡
    行列式線性代數(shù)計(jì)算方法
    浮力計(jì)算方法匯集
    行列式解法的探討
    n階行列式算法研究
    加項(xiàng)行列式的計(jì)算技巧
    考試周刊(2016年89期)2016-12-01 12:38:39
    翻轉(zhuǎn)課堂在獨(dú)立院校線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究
    在線性代數(shù)課程教學(xué)中引入MATLAB的簡單介紹
    考試周刊(2016年86期)2016-11-11 07:44:56
    利用線性方程組直觀理解線性代數(shù)的基本概念
    科技視界(2016年21期)2016-10-17 17:40:18
    提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的探索與實(shí)踐
    科技視界(2016年21期)2016-10-17 17:34:49
    隨機(jī)振動試驗(yàn)包絡(luò)計(jì)算方法
    不同應(yīng)變率比值計(jì)算方法在甲狀腺惡性腫瘤診斷中的應(yīng)用
    亚洲婷婷狠狠爱综合网| 国产日本99.免费观看| 高清毛片免费看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 又粗又爽又猛毛片免费看| 美女国产视频在线观看| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 婷婷色综合大香蕉| 卡戴珊不雅视频在线播放| 日韩亚洲欧美综合| 一本精品99久久精品77| 免费av不卡在线播放| 2021天堂中文幕一二区在线观| 麻豆国产97在线/欧美| 亚洲四区av| 国产亚洲av片在线观看秒播厂 | 亚洲美女搞黄在线观看| .国产精品久久| 少妇被粗大猛烈的视频| 校园人妻丝袜中文字幕| 欧美成人精品欧美一级黄| 国产伦理片在线播放av一区 | 一本久久精品| 国产在视频线在精品| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 欧美日韩在线观看h| 我要看日韩黄色一级片| 国产老妇伦熟女老妇高清| 青春草亚洲视频在线观看| 婷婷精品国产亚洲av| 波野结衣二区三区在线| 久久精品人妻少妇| 国产午夜精品一二区理论片| 亚洲欧美日韩高清专用| 亚洲国产精品成人综合色| 久久精品国产清高在天天线| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产真实乱freesex| 久久99热6这里只有精品| 最近2019中文字幕mv第一页| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 国产精品蜜桃在线观看 | 亚洲精品456在线播放app| 午夜激情福利司机影院| 级片在线观看| av在线亚洲专区| 99视频精品全部免费 在线| 亚洲乱码一区二区免费版| 中文精品一卡2卡3卡4更新| a级毛片免费高清观看在线播放| 99九九线精品视频在线观看视频| 欧美一区二区亚洲| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 久久精品夜色国产| 亚洲,欧美,日韩| 日本与韩国留学比较| 乱人视频在线观看| 如何舔出高潮| 白带黄色成豆腐渣| 久久精品国产自在天天线| 岛国在线免费视频观看| 99热这里只有精品一区| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 久久精品国产清高在天天线| 午夜免费激情av| 观看免费一级毛片| 大型黄色视频在线免费观看| 成年女人永久免费观看视频| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 人妻系列 视频| 床上黄色一级片| 波多野结衣高清无吗| av在线观看视频网站免费| 久久国产乱子免费精品| 精品人妻视频免费看| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 国产一区二区在线av高清观看| 午夜亚洲福利在线播放| 一进一出抽搐动态| 在线播放国产精品三级| 国产在视频线在精品| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 国产在视频线在精品| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 欧美性猛交黑人性爽| 国产亚洲91精品色在线| 又爽又黄a免费视频| 日韩欧美国产在线观看| 看黄色毛片网站| 99视频精品全部免费 在线| 日韩av不卡免费在线播放| 人人妻人人澡欧美一区二区| 高清在线视频一区二区三区 | 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | av黄色大香蕉| 国产精品爽爽va在线观看网站| 欧美一区二区国产精品久久精品| av在线播放精品| 国产真实乱freesex| 亚洲图色成人| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| av天堂中文字幕网| 国产三级在线视频| 亚洲自偷自拍三级| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 麻豆成人午夜福利视频| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 看黄色毛片网站| 国产精品乱码一区二三区的特点| 3wmmmm亚洲av在线观看| 99久国产av精品国产电影| 精品久久久噜噜| 久久久久久九九精品二区国产| or卡值多少钱| 高清在线视频一区二区三区 | 国产熟女欧美一区二区| 综合色av麻豆| 老司机福利观看| h日本视频在线播放| 久久精品国产清高在天天线| 亚洲国产色片| 黄色配什么色好看| 有码 亚洲区| 国产亚洲欧美98| 少妇高潮的动态图| 麻豆国产97在线/欧美| 久久99热6这里只有精品| 国产毛片a区久久久久| 99久久精品热视频| 可以在线观看的亚洲视频| 色5月婷婷丁香| 男人舔女人下体高潮全视频| 插阴视频在线观看视频| 国产在线男女| 久久99热这里只有精品18| 亚洲av免费高清在线观看| 久久久久久久久中文| 91av网一区二区| 亚洲精品久久国产高清桃花| 国产成人精品一,二区 | 又黄又爽又刺激的免费视频.| 亚洲成人久久性| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 免费看日本二区| 欧美最新免费一区二区三区| 我的女老师完整版在线观看| 成人性生交大片免费视频hd| 国产亚洲精品av在线| 色噜噜av男人的天堂激情| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 午夜免费男女啪啪视频观看| 国产真实伦视频高清在线观看| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 观看免费一级毛片| 成人三级黄色视频| 老司机影院成人| 亚洲成av人片在线播放无| 亚洲精品成人久久久久久| 中国美女看黄片| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 午夜福利在线在线| 在线观看午夜福利视频| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 亚洲乱码一区二区免费版| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 99精品在免费线老司机午夜| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 综合色丁香网| 国产在视频线在精品| 22中文网久久字幕| 成人午夜高清在线视频| 国产精品野战在线观看| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄 | 中文字幕制服av| 亚洲第一区二区三区不卡| 听说在线观看完整版免费高清| 欧美极品一区二区三区四区| 精品熟女少妇av免费看| 成人午夜高清在线视频| 在线国产一区二区在线| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 51国产日韩欧美| 看免费成人av毛片| a级毛片a级免费在线| 精品久久久久久成人av| 只有这里有精品99| 国产淫片久久久久久久久| 久久久久久久久久成人| 亚洲国产欧美人成| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 欧美日韩乱码在线| 国产精品野战在线观看| 亚洲综合色惰| 51国产日韩欧美| 成年版毛片免费区| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 高清在线视频一区二区三区 | 婷婷六月久久综合丁香| 少妇熟女欧美另类| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 国产精品精品国产色婷婷| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 成人综合一区亚洲| 久久久成人免费电影| 亚洲成a人片在线一区二区| 国产精品不卡视频一区二区| 久久99热这里只有精品18| 三级毛片av免费| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 久久精品综合一区二区三区| 欧美高清性xxxxhd video| 91久久精品电影网| 精品久久久久久久久av| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 中文字幕免费在线视频6| 国产精品99久久久久久久久| 在线观看av片永久免费下载| 国产亚洲91精品色在线| 99久国产av精品国产电影| 欧美潮喷喷水| 国产毛片a区久久久久| 国产免费一级a男人的天堂| 成人国产麻豆网| 激情 狠狠 欧美| 国产精品一二三区在线看| 日韩成人伦理影院| 日日啪夜夜撸| 丰满乱子伦码专区| 久久精品夜色国产| 亚洲精华国产精华液的使用体验 | 亚洲最大成人手机在线| 久久久久久久亚洲中文字幕| 国产精品久久久久久久电影| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 国产精品.久久久| 亚洲精品粉嫩美女一区| 色尼玛亚洲综合影院| 国产亚洲5aaaaa淫片| 高清毛片免费观看视频网站| 搞女人的毛片| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 国产大屁股一区二区在线视频| 中文字幕av成人在线电影| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 国产精品不卡视频一区二区| 亚洲精品色激情综合| 国产精品伦人一区二区| 久久99精品国语久久久| 男人和女人高潮做爰伦理| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 国产精品三级大全| 在线播放国产精品三级| 在线观看一区二区三区| 麻豆乱淫一区二区| 久久精品人妻少妇| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 婷婷精品国产亚洲av| 中文字幕熟女人妻在线| 欧美潮喷喷水| 精品午夜福利在线看| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 我的老师免费观看完整版| 一级毛片久久久久久久久女| 日本一本二区三区精品| 我的女老师完整版在线观看| 精品日产1卡2卡| 日日啪夜夜撸| 人妻少妇偷人精品九色| 国产一级毛片七仙女欲春2| 最近中文字幕高清免费大全6| 99久久精品一区二区三区| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 国产单亲对白刺激| 亚洲真实伦在线观看| 麻豆成人午夜福利视频| 身体一侧抽搐| 好男人视频免费观看在线| 麻豆成人av视频| 男女边吃奶边做爰视频| 观看免费一级毛片| av免费在线看不卡| 99久久成人亚洲精品观看| 美女大奶头视频| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 全区人妻精品视频| 一区二区三区免费毛片| 网址你懂的国产日韩在线| 一个人免费在线观看电影| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 久久久久久久久久黄片| 观看免费一级毛片| 久久这里只有精品中国| 成人亚洲精品av一区二区| 国产av在哪里看| 成人av在线播放网站| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 中文精品一卡2卡3卡4更新| 亚洲图色成人| 在线观看一区二区三区| 男人狂女人下面高潮的视频| 久久久午夜欧美精品| 日韩亚洲欧美综合| 日本黄大片高清| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 九草在线视频观看| 欧美zozozo另类| 久久久久久久久中文| 久久精品影院6| 国产色爽女视频免费观看| 搡女人真爽免费视频火全软件| 啦啦啦啦在线视频资源| 只有这里有精品99| 日本黄色片子视频| 日韩欧美精品v在线| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 悠悠久久av| 一本久久中文字幕| 成年女人看的毛片在线观看| 欧美成人一区二区免费高清观看| www.av在线官网国产| 一个人免费在线观看电影| 亚洲欧美成人精品一区二区| 男女边吃奶边做爰视频| 少妇的逼水好多| 又粗又硬又长又爽又黄的视频 | 欧美日韩精品成人综合77777| 欧美色欧美亚洲另类二区| 91久久精品电影网| 日韩 亚洲 欧美在线| 国产免费一级a男人的天堂| 国产精华一区二区三区| 亚洲国产高清在线一区二区三| 欧美成人一区二区免费高清观看| 网址你懂的国产日韩在线| 欧美激情在线99| 日韩国内少妇激情av| 免费大片18禁| 天天一区二区日本电影三级| 欧美一区二区亚洲| 日本熟妇午夜| 免费人成视频x8x8入口观看| 少妇高潮的动态图| 好男人视频免费观看在线| 免费无遮挡裸体视频| 最近中文字幕高清免费大全6| 亚洲,欧美,日韩| 免费看美女性在线毛片视频| 中国美白少妇内射xxxbb| 中文字幕熟女人妻在线| 色5月婷婷丁香| 国产精品精品国产色婷婷| 97超碰精品成人国产| 久久久久久大精品| 亚洲精华国产精华液的使用体验 | 伦理电影大哥的女人| 搡老妇女老女人老熟妇| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 国产精品久久久久久av不卡| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 国产高清有码在线观看视频| 国产成人freesex在线| 一夜夜www| 欧美人与善性xxx| 免费看美女性在线毛片视频| 麻豆成人av视频| 一级毛片久久久久久久久女| 欧美激情国产日韩精品一区| 天美传媒精品一区二区| 欧美激情久久久久久爽电影| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 亚洲五月天丁香| 国内精品一区二区在线观看| 亚洲av第一区精品v没综合| 日本熟妇午夜| 性插视频无遮挡在线免费观看| 网址你懂的国产日韩在线| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 免费av不卡在线播放| 一边摸一边抽搐一进一小说| 在线观看66精品国产| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 婷婷精品国产亚洲av| 亚洲五月天丁香| 小说图片视频综合网站| 国产精品嫩草影院av在线观看| av在线蜜桃| 国产精品一区www在线观看| 日韩一本色道免费dvd| 一进一出抽搐动态| 亚洲欧美精品专区久久| 中出人妻视频一区二区| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 国产在视频线在精品| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 天堂网av新在线| 日韩中字成人| 亚洲国产精品成人久久小说 | 卡戴珊不雅视频在线播放| 91狼人影院| 亚洲最大成人av| 丝袜喷水一区| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 卡戴珊不雅视频在线播放| 又爽又黄a免费视频| 2022亚洲国产成人精品| 亚洲最大成人手机在线| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 内射极品少妇av片p| 嫩草影院新地址| 欧美激情久久久久久爽电影| 久久午夜福利片| 高清午夜精品一区二区三区 | 美女大奶头视频| 精品久久久久久成人av| 丰满人妻一区二区三区视频av| 男女那种视频在线观看| 国产一区二区在线av高清观看| 国产精品人妻久久久久久| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产精品国产高清国产av| videossex国产| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 免费av不卡在线播放| 美女cb高潮喷水在线观看| 人妻夜夜爽99麻豆av| 国产美女午夜福利| 亚洲国产精品sss在线观看| 亚洲av不卡在线观看| 精品国产三级普通话版| 亚洲在线自拍视频| 丰满乱子伦码专区| 看免费成人av毛片| 日本一二三区视频观看| 亚洲精品亚洲一区二区| 精品日产1卡2卡| 婷婷六月久久综合丁香| 亚洲三级黄色毛片| 舔av片在线| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 天天躁日日操中文字幕| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 国产精品一区www在线观看| 只有这里有精品99| 高清毛片免费看| 深夜精品福利| 亚洲成av人片在线播放无| 国产精品,欧美在线| 成人美女网站在线观看视频| 中文字幕熟女人妻在线| 亚洲国产精品合色在线| 六月丁香七月| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 欧美色欧美亚洲另类二区| 少妇被粗大猛烈的视频| 久久人妻av系列| 麻豆国产97在线/欧美| 亚洲性久久影院| 99久久无色码亚洲精品果冻| 身体一侧抽搐| 亚洲一区高清亚洲精品| 日韩制服骚丝袜av| 亚洲丝袜综合中文字幕| 亚洲七黄色美女视频| 欧美日韩综合久久久久久| 成人av在线播放网站| 亚洲自拍偷在线| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 亚洲av成人av| 国产精品99久久久久久久久| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 一进一出抽搐gif免费好疼| 欧美3d第一页| av免费在线看不卡| 日韩欧美在线乱码| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 成人特级黄色片久久久久久久| 最近的中文字幕免费完整| 精品人妻视频免费看| 又爽又黄a免费视频| 国产精品三级大全| 国产精品国产高清国产av| 给我免费播放毛片高清在线观看| 免费看a级黄色片| 午夜福利成人在线免费观看| 亚洲av成人av| 日本熟妇午夜| 亚洲精品久久国产高清桃花| 女同久久另类99精品国产91| 亚洲精品久久国产高清桃花| 亚洲精品亚洲一区二区| 亚洲av电影不卡..在线观看| avwww免费| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 久久久成人免费电影| 美女被艹到高潮喷水动态| 精品免费久久久久久久清纯| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 久久久久性生活片| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 欧美潮喷喷水| 欧美在线一区亚洲| 国产精品综合久久久久久久免费| 如何舔出高潮| 国产亚洲91精品色在线| 国产精品乱码一区二三区的特点| 久久午夜亚洲精品久久| 深夜a级毛片| 十八禁国产超污无遮挡网站| 嫩草影院精品99| 一个人看的www免费观看视频| 国产真实乱freesex| 五月伊人婷婷丁香| 精品国内亚洲2022精品成人| а√天堂www在线а√下载| 欧美三级亚洲精品| 成人二区视频| 波多野结衣高清作品| kizo精华| 插阴视频在线观看视频| 免费看a级黄色片| 一本精品99久久精品77| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 欧美区成人在线视频| 日韩一区二区三区影片| 国产成人91sexporn| 97超碰精品成人国产| 国模一区二区三区四区视频| 国产极品天堂在线| 国产大屁股一区二区在线视频| 乱人视频在线观看| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 麻豆乱淫一区二区| 美女黄网站色视频| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 村上凉子中文字幕在线| av黄色大香蕉| 一级毛片久久久久久久久女| 日本-黄色视频高清免费观看| 99热这里只有是精品在线观看| 亚洲美女视频黄频| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 美女内射精品一级片tv| 99国产极品粉嫩在线观看| 一本精品99久久精品77| 青青草视频在线视频观看| 国产极品精品免费视频能看的| 嘟嘟电影网在线观看| 亚洲自偷自拍三级| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 亚洲欧美一区二区三区国产| 亚洲国产精品专区欧美| 亚洲无线观看免费| 99久久精品国产国产毛片| 国产 一区精品| 久久狼人影院| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| a级毛片在线看网站| 自线自在国产av| 日韩强制内射视频| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 嘟嘟电影网在线观看| 国产男女内射视频| 免费av不卡在线播放| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 久久精品国产亚洲av涩爱| 亚洲国产精品成人久久小说| 日本wwww免费看| 免费看不卡的av| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 亚洲天堂av无毛| 在线观看免费视频网站a站| 国产免费视频播放在线视频| 亚洲精品日韩在线中文字幕| av在线app专区| 校园人妻丝袜中文字幕| 久久久久久久久久久久大奶| 久久精品国产亚洲av天美| 在线观看国产h片| 插逼视频在线观看| 如何舔出高潮| av一本久久久久| 在线天堂最新版资源| 欧美成人精品欧美一级黄| 免费av中文字幕在线| 亚洲精品自拍成人| 精品亚洲成国产av| 视频中文字幕在线观看| 午夜福利网站1000一区二区三区| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 免费看av在线观看网站| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 久久亚洲国产成人精品v| 99久国产av精品国产电影| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | av有码第一页| a级毛色黄片| 一级片'在线观看视频| 国产成人精品在线电影| 妹子高潮喷水视频| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 午夜福利,免费看| 精品一区二区三区视频在线| 精品久久久久久电影网| 91精品三级在线观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 七月丁香在线播放| 免费大片黄手机在线观看| 久久精品国产亚洲网站| 午夜激情久久久久久久|