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    一類行列式的計(jì)算方法

    2024-01-30 21:26:51黃成興王志敏
    科技風(fēng) 2023年35期
    關(guān)鍵詞:行列式線性代數(shù)計(jì)算方法

    黃成興 王志敏

    摘?要:線性代數(shù)作為高等學(xué)校理工類、經(jīng)管類等各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)必修課,是一門非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)課程,在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中越來越顯示出其獨(dú)特的、不可替代的重要作用。行列式是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容,它是線性代數(shù)中的最基本問題,廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問題的解決,行列式的計(jì)算為解決問題提供了工具。而抽象行列式的計(jì)算卻較為困難,如何利用行列式的定理和性質(zhì)巧妙地計(jì)算行列式顯得尤為重要,文章將針對一類抽象行列式進(jìn)行分析,結(jié)合行列式的定理和性質(zhì)給出相應(yīng)的計(jì)算方法,為廣大師生學(xué)習(xí)此類行列式的計(jì)算提供方法指導(dǎo),從而提高解題效率。

    關(guān)鍵詞:行列式;計(jì)算方法;線性代數(shù)

    行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容,利用行列式的定義、性質(zhì)和展開定理可以對行列式進(jìn)行化簡,從而求出它的值。含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類行列式比較抽象,形如xA+yA-1,需要用行列式相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后再求解行列式的值,文章提出兩種解題策略,第一種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用伴隨矩陣性質(zhì)求解;第二種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用可逆矩陣的性質(zhì)求解。

    一、A與A-1互化的相關(guān)定理

    (一)定理1

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A是A的伴隨矩陣,則有AA=AA=AE。

    證明:只證明AA=AE,AA=AE類似。

    AA=a11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    an1an2…annA11A21…An1

    A12A22…An2

    …………

    A1nA2n…Ann

    =∑nk=1a1kA1k∑nk=1a1kA2k…∑nk=1a1kAnk

    ∑nk=1a2kA1k∑nk=1a2kA2k…∑nk=1a2kAnk

    …………

    ∑nk=1ankA1k∑nk=1ankA2k…∑nk=1ankAnk

    =A0…0

    0A…0

    …………

    00…A

    =AE

    (二)定理2

    矩陣A可逆的充要條件是A≠0,且當(dāng)A可逆時(shí),有A-1=1AA,即A=AA-1[1]。

    證明:充分性

    ∵A≠0?∴AA=AA=AE

    ∴A(1AA)=(1AA)A=E

    ∴A可逆,∴A-1=1AA

    ∴A=AA-1

    必要性

    設(shè)矩陣A可逆,則存在矩陣B,使得AB=BA=E。

    兩端取行列式,即AB=E,∴AB=1?∴A≠0

    二、行列式的相關(guān)性質(zhì)

    (一)性質(zhì)1

    若A可逆,實(shí)數(shù)λ≠0,則λA可逆,且(λA)-1=1λA-1。

    證明:∵AA-1=A-1A=E,?∴λA·1λA-1=1λA-1·λA=E

    ∴(λA)-1=1λA-1

    (二)性質(zhì)2

    設(shè)矩陣A為n階方陣,λ為實(shí)數(shù),則λA=λnA[2]。

    證明:

    λA=λa11λa12…λa1n

    λa21λa22…λa2n

    …………

    λan1λan2…λann=λa11a12…a1n

    λa21λa22…λa2n

    …………

    λan1λan2…λann

    =λ2a11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    λan1λan2…λann=…

    =λna11a12…a1n

    a21a22…a2n

    …………

    an1an2…ann=λnA

    (三)性質(zhì)3

    若矩陣A可逆,則A-1=1A。

    證明:∵矩陣A可逆,∴A≠0

    ∴AA-1=E,∴AA-1=AA-1=E=1

    ∴A-1=1A

    (四)性質(zhì)4

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A是A的伴隨矩陣,則A=An-1。

    證明:∵AA=AA=AE,兩端取行列式,

    ∴AA=AE,

    ∴AA=An

    ,∴A=An-1

    (五)性質(zhì)5

    設(shè)矩陣A為n階方陣,A為A的伴隨矩陣,則(kA)=kn-1A。

    證明:∵AA=AA=AE

    ∴(kA)·(kA)=kAE=knAE

    ∴(kA)=kAE=knAE·(kA)-1

    =knAE·k-1·A-1=kn-1AE·A-1

    =kn-1AA-1·E=kn-1A·E=kn-1A

    三、例題解析

    (一)例1

    設(shè)A為3階矩陣,且A=12,求(3A)-1-2A的值[3]。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵2A=2AA-1,A=12,∴2A=2AA-1=A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(3A)-1=13A-1,∴(3A)-1-2A=13A-1-A-1=-23A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(3A)-1-2A=-23A-1=(-23)3A-1

    =-827A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴(3A)-1-2A=-23A-1=(-23)3A-1

    =-827A-1=-827·1A=-827×2

    =-1627

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(3A)-1=13A-1=13·1AA=23A

    ∴(3A)-1-2A=23A-2A=-43A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(3A)-1-2A=-43A=(-43)3A

    =-6427A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴(3A)-1-2A=-43A=(-43)3A

    =-6427A=-6427A2

    =-6427×(12)2=-1627

    (二)例2

    設(shè)A為3階矩陣,且A=3,求2A+(13A)-1的值。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵2A=2AA-1,A=3,∴2A=2AA-1=6A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(13A)-1=3A-1,∴2A+(13A)-1=6A-1+3A-1=9A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴2A+(13A)-1=9A-1=(9)3A-1=729A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴2A+(13A)-1=9A-1=(9)3A-1

    =729A-1

    =7291A=729×13=243

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(13A)-1=3A-1=31AA=A

    ∴2A+(13A)-1=2A+A=3A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴2A+(13A)-1=3A=(3)3A=27A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴2A+(13A)-1=3A=(3)3A

    =27A

    =27A2=27×32=243

    四、變式訓(xùn)練

    若矩陣A為4階方陣,A=2,求(12A)-1-52A。

    方法一:運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

    ∵52A=52AA-1,A=2,

    ∴52A=52AA-1=5A-1

    第二步:利用性質(zhì)1:(λA)-1=1λA-1化簡。

    ∴(12A)-1=2A-1

    ∴(12A)-1-52A=2A-1-5A-1=-3A-1

    第三步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(12A)-1-52A=-3A-1=(-3)4A-1=81A-1

    第四步:利用性質(zhì)3:A-1=1A化簡即可。

    ∴(12A)-1-52A=-3A-1=(-3)4A-1

    =81A-1=81×1A=812

    方法二:運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A,即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA,在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

    解析:

    第一步:利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

    ∴(12A)-1=2A-1=21AA=A

    ∴(12A)-1-52A=A-52A=-32A

    第二步:利用性質(zhì)2:λA=λnA化簡。

    ∴(12A)-1-52A=-32A=(-32)4A

    =8116A

    第三步:利用性質(zhì)4:A=An-1化簡求解即可。

    ∴(12A)-1-52A=-32A=(-32)4A

    =8116A=8116A3=812

    行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中遇到的最基本問題,含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類抽象行列式的計(jì)算較為復(fù)雜,文章結(jié)合行列式的定理和性質(zhì),給出了這一類行列式的兩種計(jì)算方法,為學(xué)生解決此類問題獻(xiàn)力獻(xiàn)策。

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京:人民郵電出版社,2016.

    [2]濮燕敏,殷俊鋒.線性代數(shù)習(xí)題全解與學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:人民郵電出版社,2018.

    [3]馬銳,羅兆富.線性代數(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2021.

    基金項(xiàng)目:2023年度云南省教育廳科學(xué)研究基金教師類項(xiàng)目“‘線性代數(shù)’課程思政策略實(shí)踐研究”(2023J1261);滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“新時(shí)代邊境地區(qū)國門高校師范生教學(xué)技能培養(yǎng)策略研究——以滇西科技師范學(xué)院為例”(DXXY202208);滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“滇西科技師范學(xué)院少數(shù)民族大學(xué)生思想教育方法及策略研究”(DXXY202207)

    作者簡介:黃成興(1988—?),男,彝族,云南云縣人,碩士研究生,滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師,主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)論研究。

    *通訊作者:王志敏(1983—?),女,彝族,云南云縣人,碩士研究生,滇西科技師范學(xué)院生物技術(shù)與工程學(xué)院講師,主要從事化學(xué)教育、食品加工研究。

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