鄒伯奇關(guān)于日影觀測“橢圓影心非日心”的數(shù)學(xué)解讀

廖運(yùn)章 李杰民

(1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣州 510006;2.嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湛江 524048)

圭表測影歷史悠久,為使測量更精確,古人不斷改進(jìn)圭表測影技術(shù)和方法。元代郭守敬(1231—1316)用裝有景符的四丈高表測量日影,改測表端投影為測橫梁投影,將“僅如米許”的太陽像中心視為日面中心[1]。《崇禎歷書·交食歷指》(1632)認(rèn)為,太陽透過小孔斜射到密室地面的投影,“所得形必長圓(即橢圓)”[2]。此后,天文學(xué)家大都認(rèn)為橢圓光影之中心即太陽中心的投影。其實(shí),在清道光二十四年(1844)前后,嶺南科學(xué)家鄒伯奇(1819—1869)就已發(fā)現(xiàn)“橢圓影心非日心”這一郭守敬及后人沒有意識到的問題[3],并從數(shù)學(xué)上予以解讀。因鄒伯奇沒有正式發(fā)表該論述(只有手稿存家,內(nèi)容收入其遺著《測量備要》)[4],近現(xiàn)代天文史家對此并不知悉。事實(shí)上,鄒伯奇關(guān)于日影觀測“橢圓影心非日心”的論述,建立了“橢圓影心非日心”的數(shù)學(xué)模型,是對郭守敬圭表測影理論的完善,為日影測量之誤差分析等提供了新判據(jù),對圭表測影研究具有重要意義。

1 日心觀測及其發(fā)展

1.1 元明清的日心觀測

元代開始使用圭表頂端橫梁測影,太陽光通過景符微孔在圭面上形成米粒大小的太陽像,橫梁平分日像時可測得日心影值?！对贰v志·授時歷議上》描述,“舊法以表端測晷,所得者日體上邊之景,今以橫梁取之,實(shí)得中景,不容有毫末之差”[5]。

《崇禎歷書·交食歷指》卷7“以長圓形求日食方法”節(jié),稱“正對太陽,其景(影)必圓。今以斜對之平面,亦在密室中受景(影),孔仍小如前,則所得形必長圓”。此處“長圓”即橢圓,橢圓知識明末清初始傳入我國。([2],10-11頁)

《歷象考成》(1722)中載有太陽視徑觀測法,稱“中表系橫梁,上下皆空,太陽上邊之光射橫梁之下面,太陽下邊之光射橫梁之上面,其所生之影必當(dāng)太陽之中心”;“太陽上邊之光從孔南界射入,至案為橢圓形之前界,與正表之理同。太陽下邊之光從孔北界射入,至案為橢圓形之后界,與倒表之理同,故兩高度之較即為太陽之徑也”。[6]

歐洲也有晷影觀測的傳統(tǒng),或在教堂,或在天文臺。“西洋人每觀測日影,向南立高墻數(shù)丈,鑿孔以通日影于地,鋪一銅板于平地,分為萬分之?dāng)?shù)觀之,則見之甚易。比較銅板之日光照在何宮,則較目視日晷,極其清晰。”[7]“18至19世紀(jì)法國也注意日晷改良。它不重視日景的長短,常在屋宇墻壁穿孔以通日光,求取太陽高度。度量日景長短,則以孔的中心為起點(diǎn)。這類日晷多設(shè)在教堂內(nèi)……”。[8]

《欽定大清會典》史部卷86記載:“史云何承天始立表候日影,前明觀象臺下設(shè)晷影堂,南北平置銅圭于石臺上……南端植銅表高八尺,上設(shè)橫梁用影符以取中影。本朝加二尺,表高一丈,上端安銅片,中開圓孔徑二分。午正太陽之影自圓孔射至圭面成橢圓形,南界為日體上邊影,北界為日體下邊影,中心為中影?！盵9]

鄒伯奇認(rèn)為,“國朝晷影堂之法,則于表端置銅片,開小孔,使漏光于圭面,成橢圓形,北為日下邊影,南為日上邊影。伯奇嘗仿此二術(shù),精心測量窺幾之下,現(xiàn)出小圓光亦為橢形面,而圓心非即日心”;“謹(jǐn)按以橢圓影揆日高度。國朝測候度越前古之一端也,而會典載以中心為中影云云,殊欠分明,故撰此圖說明之。又按此不過設(shè)數(shù)以明橢圓影心非日心,其實(shí)日近地平,其上下邊及日中心之清蒙氣差多少不同,故視日縱橫徑亦微異,雖以儀器折中取日心,亦非真視度也”。[10]

直至晚清,除了鄒伯奇,人們一直認(rèn)為,太陽透過小孔斜射到地面的投影為橢圓、投影橢圓的中心即日心——“橢圓影心即日心”,以致近現(xiàn)代天文史家亦沒有意識到鄒伯奇“橢圓影心非日心”的論斷,仍沿用《大清會典》的觀點(diǎn)。如陳遵媯按照郭守敬和清代天文學(xué)家的思路,認(rèn)為“正午時候,太陽影子經(jīng)過圓孔射到圭面成橢圓形狀;南界是日面上邊緣的影子,北面是它的下邊緣的影子,中央是日面中心的影子”([8],1275頁)。

1.2 日心觀測的現(xiàn)代模擬

現(xiàn)當(dāng)代,有學(xué)者對郭守敬圭表測影進(jìn)行數(shù)據(jù)分析或模擬測量[11],因鄒伯奇“橢圓影心非日心”不為世人所知,相關(guān)諸多研究文獻(xiàn)依舊沿襲“橢圓影心即日心”的“郭法”(1)為行文簡潔,本文稱《元史·歷志》郭守敬圭表測影改進(jìn)之前的方法為“舊法”,郭守敬的方法為“郭法”,鄒伯奇的方法為“鄒法”。嚴(yán)格地說,“鄒法”并非具體方法,只是“郭法”理論上的完善。來計算影長,這樣計算的影長存在系統(tǒng)誤差(2)正態(tài)分布是數(shù)學(xué)家高斯研究誤差時發(fā)現(xiàn)的,正態(tài)分布又稱為誤差分布,測量誤差近似服從正態(tài)分布,系統(tǒng)誤差不服從正態(tài)分布。通常情況下,若無系統(tǒng)誤差和人為過失誤差,測量值與真實(shí)值的比較,偏大偏小的數(shù)據(jù)占比均應(yīng)接近50%。,但幾乎沒有引起研究者注意,僅從測量誤差或測量的客觀條件不佳等角度去歸因,導(dǎo)致對誤差產(chǎn)生的原因界定不清。

比如,肖堯、孫小淳用北京古觀象臺的圭表進(jìn)行模擬測量,得到29組影長數(shù)據(jù)[12];崔石竹、李東生同樣用北京古觀象臺的圭表進(jìn)行仿古測量,得到181組影長數(shù)據(jù)[13]。理論值大于或等于測量值的,前者有9組(31.0 %)、后者有124組(68.5 %);理論值小于測量值的,前者有20組(69.0 %)、后者有57組(31.5 %)。如果沒有系統(tǒng)誤差和人為過失誤差,而且理論值計算正確,則測量值與理論值的比較,偏大偏小的數(shù)據(jù)占比應(yīng)該均接近五成,然而上述兩組研究者的測量數(shù)據(jù)分布均不符合預(yù)期。

王玉民認(rèn)為,“冬至圭表測影是一種倒退的技術(shù)”,“即使采用景符,測量冬至影長的誤差仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于測夏至?xí)r的誤差”,將測量誤差歸因于“冬至投射角太低造成的彌散度問題”等客觀因素。[14]其實(shí),鄒伯奇“橢圓影心非日心”能清晰地說明,存在系統(tǒng)誤差才是內(nèi)因。

2 鄒伯奇“橢圓影心非日心”的數(shù)學(xué)解讀

鄒伯奇,號特夫、特生,又號征君,廣東南海人,是清末百科全書式學(xué)者[15],我國近代科學(xué)先驅(qū)[16],在數(shù)學(xué)、物理學(xué)(力學(xué)、光學(xué))、天文學(xué)、測繪學(xué)和儀器制造等方面造詣精深,生前未能刊行論著,留下大量科學(xué)手稿。

2.1 “橢圓影心非日心”史料的發(fā)現(xiàn)

同治十三年(1874),親友選出部分手稿刊刻《鄒征君遺書》,“復(fù)有未定之書、《測量備要》二冊”等由后人保存。([3],222頁)1954年,鄒伯奇曾孫鄒孟才將“另手抄鄒氏遺稿貳本”捐獻(xiàn)給廣州博物館,并用豎行印有“廣州市文一教育用品有限公司印售(紙12)”綠格“稿紙(20×20)”抄輯,送交鄒伯奇后裔保存至今。1962年,鄒孟才將“最近撿得的手稿一部分”散稿和實(shí)物贈給梁恒心,2009年,鄒伯奇后裔整理保存和搜集到的遺稿,出版《鄒伯奇遺稿》一書,其中披露了從未面世的“橢圓影心非日心”的具體內(nèi)容。2011年起筆者先后數(shù)次到鄒伯奇故居訪問,鄒伯奇玄孫鄒忠廉贈與筆者他保存的《測量備要》等4本抄輯本之復(fù)印件,為鄒伯奇遺稿的轉(zhuǎn)抄本?！皺E圓影心非日心”具體內(nèi)容,包括“[圓錐斜剖成橢圓面],圓窖斜截成橢圓算草并圖”,收錄于《測量備要》輯本A和無書名但頁碼連續(xù)的B1本(頁碼由三至七三),內(nèi)容相同,抄寫筆跡不同。每葉左上格外均有“NO.”英文字母,用于編頁碼,每頁的右葉用漢字?jǐn)?shù)字編碼,如NO.三十一、NO.三十二等。([4],90-92頁)

事實(shí)上,鄒伯奇關(guān)于“橢圓影心非日心”的論斷,早有提及。陳澧《東塾集》卷3“鄒特夫《學(xué)計一得》序”稱:

又嘗在余齋中論測日舊法未密,日光穿表端之孔而下為圓錐形,斜射平版而成橢圓,橢圓心非圓錐心,即非日心,乃創(chuàng)橢圓求圓錐心法。時梁南溟、侯子琴、徐子遠(yuǎn)同在座,三君與余皆疑圓錐斜截之面,兩端不等,非真橢圓也。余遂設(shè)數(shù)以算之,兩端正相等,乃嘆此法為中西天算諸書所未及也。[17]

《鄒征君遺書》拾芥園刻本記載:

《學(xué)計一得》者,吾友南海鄒君特夫所作也。……特夫又嘗過余,齋中論測日法未密,日光穿表端之孔而下為圓錐形,斜射平版而成橢圓,乃立法以橢圓面求圓錐心為日心。是時梁南溟、侯子琴、徐子遠(yuǎn)皆在座,余皆疑圓錐斜截之面,兩端不等,不得為橢圓,三君以為然。余乃設(shè)數(shù)(以)算之,兩端竟相等,乃皆嘆服此法為中西天算諸書所未及也。……舊事歷歷在目,而俯仰之間,不覺十余年矣?！胤蛭粢源司帉儆酁樾?。余愛其精識神解,讀之不倦,顧連年夷亂,屢欲為序,逡巡不成,不覺又三年矣。……咸豐八年九月陳澧書于橫沙之崇雅樓。

陳澧談及“橢圓影心非日心”這兩段話,內(nèi)容稍有出入,但均認(rèn)為:一是“日光穿表端之孔而下為圓錐形,斜射平版而成橢圓”;二是“橢圓心非日心”。這正是鄒伯奇“橢圓影心非日心”的兩個核心觀點(diǎn)。

梁恒心在《鄒伯奇攝影史料初探》(1963)中抄錄了一段鄒孟才贈與的散稿原文,并分析認(rèn)為這是發(fā)明“攝影之器”的證據(jù)和理論基礎(chǔ):

孔若小則光道系圓錐體,以孔為其頂點(diǎn),以紙從直角遮斷其光道,則其被照部分作圓形,紙距孔益遠(yuǎn),則圓形亦大焉。又若以紙從橫遮其光,或使光射于地上,則被照部分乃成橢圓形而非圓形矣。旭日初升,而見樹木之影倒影于寢室之壁者,以日光自戶隙而入故也。[18]

梁恒心又從陳澧作序的時間(咸豐八年,1858)推測,“從陳澧作序上推十余年,約在道光廿余年,這和攝影之器制成的時間(道光甲辰年,1844)相近,他的理論根據(jù),從這里可以看到,而送來的手抄稿亦可以斷定確定為鄒伯奇原作?！?/p>

綜合陳澧“鄒特夫《學(xué)計一得》序”、鄒達(dá)泉有關(guān)“《測量備要》二冊”識記、廣州博物館“另手抄鄒氏遺稿貳本”接收遺物清單、梁恒心抄錄的散稿原文、《測量備要》抄輯本等史料,我們認(rèn)為,梁恒心的推測較為合理,故推知鄒伯奇發(fā)現(xiàn)“橢圓心非日心”的時間約在1844年前后。

鄒伯奇遺稿轉(zhuǎn)抄本中的“橢圓影心非日心”史料,存在錯漏,特別是數(shù)字、圖標(biāo)等缺失,在不影響原意的情形下,經(jīng)反復(fù)推算后予以合理修正。

對于“橢圓影心非日心”問題,鄒伯奇首先論證“軸線不過橢圓心定理”,繼而以之建構(gòu)“橢圓影心非日心模型”,從而訂正前人“橢圓影心為日心”之誤。

2.2 “橢圓影心非日心”數(shù)學(xué)模型

鄒伯奇首先在《測量備要》遺稿轉(zhuǎn)抄本B1本(“NO.三一”頁,圖1)中,概要式地描述平面斜截圓錐的“軸線不過橢圓心定理”、“橢圓影心非日心模型”及其歷史淵源和存在問題,主旨是“圓錐斜剖成橢圓面,其橢圓中心非錐心,必諄諄致辨者,為測影故也”。

圖1 遺稿轉(zhuǎn)抄本“三一”頁

鄒伯奇在簡述郭守敬圭表測影方法和“國朝晷影堂之法”等的基礎(chǔ)上,依這兩種測影之術(shù),開展實(shí)地觀測,“精心測量”發(fā)現(xiàn)“橢圓心非即日心”,有悖傳統(tǒng)結(jié)論,于是,給出原因:“蓋圓柱斜[剖]成橢圓,柱心即圓心。若圓錐斜剖成橢圓,則心必偏于一端。試取竹筍斜剖之,視即明矣。”即借助圓柱斜截成橢圓軸線過橢圓心、圓錐斜截成橢圓而橢圓心偏移的數(shù)學(xué)結(jié)論,建構(gòu)“橢圓影心非日心”的數(shù)學(xué)模型。

圖2 橢圓影心非日心圖

事實(shí)上,“軸線不過橢圓心”定理的天文意義,就是“日光從小孔交射而下,即為圓錐形,現(xiàn)于圭面,即斜剖之跡也(橢圓)。此理一經(jīng)道破,莫不頓悟,而或疑其非正橢圓,則未經(jīng)實(shí)測故也”?！皺E圓中心非錐心”(不妨稱鄒伯奇橢圓影心非日心模型),用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言描述為:

[軸線不過橢圓心定理]如圖2,在圓錐PZW中,沿不平行于圓錐底面的平面斜截圓錐,所得截口BLC是橢圓,且PM與圓錐的軸線PO不共線(M是橢圓中心、O是圓錐底面圓心)。

[橢圓影心非日心模型]如圖2,太陽光穿過天文儀器景符的小孔P后形成陽光圓錐PZW,陽光圓錐PZW在地面上的投影是橢圓BLC,太陽中心的投影點(diǎn)為PO與橢圓BLC長軸BC的交點(diǎn)N,而不是橢圓影心M。

對于軸線不過橢圓心定理,鄒伯奇用斜截竹筍的實(shí)例進(jìn)行直觀詮釋,其中蘊(yùn)含著橢圓的兩種形成方法(“圓柱斜[剖]成橢圓”、“圓錐斜剖成橢圓”),反映出鄒伯奇對橢圓知識的掌握情況。明末清初,西方橢圓知識逐漸傳入我國,利瑪竇最早帶來橢圓知識,羅雅谷與湯若望《測量全義》(1631)、鄧玉函《測天約說》(1633)分別給出橢圓形成方法——斜割圓柱、截圓錐法,南懷仁《靈臺儀象志》(1674)傳入橢圓的拉線畫法;《測量全義》傳入橢圓面積的阿基米德求法,張誠和白晉翻譯巴蒂的著作《幾何原本》,又給出一種新的求橢圓面積的方法——比例法[19];《交食歷指》、《歷象考成后編》(1742)先后傳入橢圓基本定理等([8],39-42頁)。相繼傳入的橢圓第一定義、橢圓基本定理、面積公式等知識,受到中算家的重視與研究,鄒伯奇是熟知這些知識的。

值得注意的是,陽光通過景符小孔在圭面上形成橢圓影已是常識,但該橢圓影是否為“正橢圓”則存有疑問,鄒伯奇認(rèn)為“未經(jīng)實(shí)測”,于是“今設(shè)算草并為圖以明之”,即下述“圓窖斜截成橢圓算草并圖”。

2.3 例證軸線不過橢圓心定理

鄒伯奇借助一個具體幾何模型“圓窖”(圓臺),以“圓窖斜截成橢圓算草并圖”(圖3)為題([10],32-34頁),論證“圓窖者,即圓錐之下體也,圓窖斜截面既成正橢圓,則圓錐亦然”,得出結(jié)論“圓窖之中線與橢圓面長徑線交于辰,非長徑之一半,故知圭面橢圓影長徑之半非日心所射也,再設(shè)數(shù)核之”。

圖3 遺稿轉(zhuǎn)抄本“三二”頁

該圓窖的具體數(shù)據(jù)是:“設(shè)如有圓窖,上徑六尺四寸(甲乙),下徑十尺(寅丑),高五尺七寸二分三厘六毫三絲五忽,從上右(甲)斜剖至下左(丑),成橢圓面?！?/p>

鄒伯奇例證(具有一般性)的思路是“圓錐斜截面是正橢圓,橢圓心非日心(投影)”。如圖2,先論證橢圓BLC為正橢圓,再證明N與M不重合,從而PM與PO不共線。

設(shè)圖3遺稿轉(zhuǎn)抄本中天干地支圖標(biāo)對應(yīng)的字母依次為:A乙、B甲、C丑、D寅、E辛、F己、G卯、J未、K子、L壬、M庚、N(圖3辰出現(xiàn)兩次,標(biāo)記有誤,這里N對應(yīng)圖3右上方的辰,左下方的辰對應(yīng)S)、Q申、R午、U丁、V癸、X丙、Y戊;原文無標(biāo)注的,為行文方便,加標(biāo)字母I、O1、O2、O3、P等,如圖4—6。

由圖4,設(shè)圓臺ABCD的上底直徑AB=6.4、下底直徑CD=10、高BG=5.723635。(3)原文此處單位為尺,長度單位有丈、尺、寸、分、厘、毫、絲、忽等,為十進(jìn)制,所以直接用數(shù)字表示,省略單位,對推理與結(jié)論均無影響。BC是斜截面橢圓的長軸,知GD=1.8,CG=8.2,在RtΔBGC中,由勾股定理得BC=10。EF是圓臺中截面的直徑,與BC交于M,知MF=CD/2=5,EM=AB/2=3.2,由勾股比例(射影定理)MF·EM=MS2(圖6),故橢圓半短軸b=MS=4。同理,可求VQ=3.2=UJ(圖5)。

另由圖5,橢圓內(nèi)含兩個面積相等的RtΔUVQ、RtΔUVJ以及等腰RtΔUVS,其中垂線MS=b=4,由橢圓定義(到兩個焦點(diǎn)的距離之和為2a)得US+VS=2a=10,同理UQ+VQ=10;在RtΔUVQ中,UV=2c=6,由勾股定理UQ2=VQ2+62,解方程組亦可得VQ=3.2。

圖4 圓臺縱截面圖

圖5 圓臺斜截面圖(橢圓)

圖6 中間橫截圓面

簡而言之,若知圓臺的高與上下底面直徑,可求斜截面橢圓的長徑;作圓臺的中截面,可求斜截面橢圓的短半徑;作與圓臺中截面對稱的兩個橫截面或用橢圓定義與勾股定理,可求得橢圓的其他弦長,且對稱的弦長相等。于是,斜截面橢圓是“正橢圓”。

因圓臺是圓錐的一部分,圓臺的斜截面是橢圓,則圓錐的斜截面也是橢圓,圓臺的中軸線與橢圓面的長軸交點(diǎn)為N,由圖4可知,2BN≠BC,即N不是BC的中點(diǎn),從而N與M不重合,PM與PO不共線。故由圖2,圭面上投影橢圓的中心M并非日影點(diǎn)N。

鄒伯奇沒有定義“正橢圓”,可能是一種通俗說法,從上下文看,指“過兩焦點(diǎn)并垂直于軸的弦長相等”之橢圓,就是常規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓(關(guān)于主軸對稱),以此回應(yīng)陳澧等“圓錐斜截之面,兩端不等,不得為橢圓”的疑慮。

2.4 橢圓影心非日心模型的觀測實(shí)例

橢圓影心非日心模型(鄒法),實(shí)質(zhì)是軸線不過橢圓心定理在日影測量上的應(yīng)用。郭法測日影,將橢圓中心M視為日影點(diǎn),而鄒法證實(shí)日影點(diǎn)是N,郭法測日影存在系統(tǒng)誤差NM。

圖7 遺稿“三五”、“三六”兩頁拼接(4)圖7中太陽示意圖沒有標(biāo)字母,遺稿“三八”頁后另附一頁,為另一人筆跡,文字內(nèi)容相同,但太陽示意圖標(biāo)有字母,將其拼接到圖7中。

鄒伯奇的論證,基于一個具體日心觀測實(shí)例(圖7),原文與“圓窖斜截成橢圓算草并圖”一一對應(yīng),沿襲軸線不過橢圓心定理的證法,推理步驟幾乎一致,因已知條件不同,推理略有差異:

設(shè)如日距地平一度四十五分,日半徑十五分,西邊有墻(如丙甲),掩之墻東一平地(如甲乙),距平地上一丈(如丁甲),有小孔漏日光(丁)射于平地上,成橢圓形(如辛己庚戊)。西邊(戊),日上邊(乾)所射,距墻(戊甲)二十八丈六尺三寸六分二厘四毫九絲八忽,二度之余切也;東邊(己),日下邊(坤)所射,距墻(己甲)三十八丈一尺八寸八分五厘二毫八絲八忽,一度半之余切也。長半徑(壬戊),四丈七尺七寸六分一厘三毫九絲五忽;心距墻三十三丈四尺一二三四九三(如壬甲),檢余切表,得一度四十二分五十一秒卅二微,在日心下二分八秒二十八微(如卯辰);余割三三四二七三五零六(如壬丁)。([10],35頁)

圖7的右、左兩圖分別對應(yīng)圖8和圖9,其中字母與遺稿天干地支圖標(biāo)相對應(yīng),即甲O、乙S1、丙與丁(各出現(xiàn)兩次,筆誤,現(xiàn)將圖7右上圖的丙、丁分別記為T、P,左上圖的丙、丁依次記為K1、S2)、戊B、己C、庚S、辛R、壬M、癸N;子W、巳K3、申Q、酉K、戌G、亥V;乾B1、坤C1。原文未標(biāo)注的,為對稱與行文方便,加標(biāo)字母。

圖8 日影投射及作輔助線求橢圓短半徑示意圖

如圖8,設(shè)日高α2=1度45分,日半徑角α=15分,即角∠B1PN0或∠BPN。N為日心N0的射影,B,C分別為日上、下邊沿射影,BC即投影橢圓的長軸。OP=1(5)原文此處單位為丈,與前述一樣,長度系十進(jìn)制,直接用數(shù)字表示,涉及長度的數(shù)字單位略。,cotα1=OB=28.6362498,查表知α1=2度,cotα5=OC=38.1885288,查表得α5=1.5度。M是BC的中點(diǎn),因此BM=(OC-OB)/2=4.7761395。cotα3=OM=OB+BM=33.4123493,查表得α3=1度42分51秒32微。

另PN=cscα2=32.7455510,NN1=PNtanα=0.1428787,NQ=NN1

圖9 投影橢圓及輔圓

圖10 圖9之原圖

如圖9,以橢圓中心為圓心,分別以橢圓的半長軸a、半短軸b為半徑的圓稱為輔圓。

考慮橢圓的橫弦與橫徑之比。記∠K1MS1=θ,cosθ=GK3/MK3,又GK3/MK3=VK/MS,將前已算出的VK、MS數(shù)據(jù)代入,得cosθ=0.9897491,查表得θ=8度12分39秒4微。

考慮橢圓的縱弦與縱徑之比。sinθ=MV/MK1,又MV/MK1=UK/MC,而UK=MV=MN,MC=BM,將前已算出的MN、BM數(shù)據(jù)代入,得sinθ=0.142816,查表亦得θ=8度12分39秒4微。

“以冪積論”采用計算面積的方法,驗(yàn)證等式SCMS1/SS1MK1=SCMS/SSMK成立,證實(shí)“橢圓形面圓錐斜剖所成與圓柱斜剖所成,其邊周無所盈縮,其同為正橢圓審矣”。從這句話來看,時人有可能認(rèn)為“圓柱斜截面”是“正橢圓”、“圓錐斜截面”是“不正的橢圓”。事實(shí)上,由橢圓面積公式,有SCMS1=πa2/4、SCMS=πab/4,故SCMS1/SCMS=a/b;又根據(jù)橢圓基本定理SS1MK1/SSMK=a/b,等式成立,說明鄒伯奇知曉橢圓基本定理、面積公式等內(nèi)容。

“謹(jǐn)按以橢圓影揆日高度”,說明太陽的天頂距或地平高度與其晷影長度可以互求[20],影長值計算時還需考慮蒙氣正(清蒙差)。

3 鄒伯奇橢圓心非日心模型的意義

郭守敬從測影工具、測影方法方面改進(jìn)圭表測影技術(shù),景符與橫梁的結(jié)合使用,確實(shí)大大提高了測量精度。然而,真的是“不容有毫末之差”嗎?鄒伯奇發(fā)現(xiàn)郭氏測量理論存在瑕疵,或許源于對數(shù)學(xué)與光學(xué)的研究,熟悉橢圓知識與小孔成像原理等數(shù)理知識,敏銳地意識到投影橢圓的中心并非日心,并進(jìn)行實(shí)證與論述。20世紀(jì)80年代初,郭盛熾等在實(shí)際測量中也發(fā)現(xiàn)了這一問題[21],意識到按郭法所測的影長并非hcotθ,而是hcot (θ-δ)(圖8,∠ONP=θ,∠OMP=θ-δ),并借助一個紙屏輔助測量以獲得δ的近似值,從而使測量值近似等于hcot (θ-δ),但未能從理論層面深入分析,目前有關(guān)圭表測影研究文獻(xiàn)并未采用該法,仍沒有意識到它的重要性?？梢?鄒伯奇的訂正成果沒有廣為人知,除了傳播工具落后等歷史原因,成果的理論意義與應(yīng)用價值未被挖掘也是重要因素。

3.1 郭守敬圭表測影理論的完善

如圖8,不失一般性,設(shè)P為小孔,BC表示射影橢圓的長軸,M為BC的中點(diǎn)即橢圓中心,N為日心N0在地面的射影。

顯然,PN是∠BPC的角平分線,記∠BPN=α,則∠CPN=α;記OB、ON、OM、OC的長度分別為xa、xc、xm、xb,OP的高度記為h;∠OBP、∠ONP、∠OMP、∠OCP分別簡記為θ1、θ2、θ3、θ4,∠NPM記為δ,θ2即日距地平高度簡記為θ,故θ1=θ+α,θ2=θ,θ4=θ-α。以l表示影長,舊法取OB為影長,即l=xa;郭法取OM為影長,即l=xm;鄒法取ON為影長,即l=xc。

舊法選擇的測影點(diǎn)為B,在日心射影點(diǎn)N的左邊(南邊),郭法選擇的測影點(diǎn)為M,在點(diǎn)N的右邊(北邊),即舊法偏左、郭法偏右、鄒法適中。若θ與計算理論影長的太陽地平高度(考慮大氣蒙氣差)相等,則xc=hcotθ正是理論影長,影長表達(dá)式與系統(tǒng)誤差如表1。因此,鄒伯奇日心觀測模型是對郭守敬圭表測影理論的完善。

表1 三種日影測量方法的影長表達(dá)式與系統(tǒng)誤差

不難發(fā)現(xiàn),該三種影長滿足關(guān)系:

又tanθ1=h/xa,tanθ4=h/xb,用正切二倍角公式,得

將④式代入③式,即得②式。②式看似復(fù)雜,計算系統(tǒng)誤差xm-xc也不便捷,但可清晰看到真實(shí)值并非以橢圓心為測影點(diǎn)。事實(shí)上,xc可化為xc=xm-atanαcotθ⑤,其中a=(xb-xa)/2表示投影橢圓的半長軸。

3.2 日影測量誤差分析的新判據(jù)

鄒伯奇橢圓影心非日心模型,既是郭守敬“圭表測影”測量理論的完善化,也為日影測量的誤差分析提供新的重要判據(jù)。

從定性角度看,若測量誤差為零,則xa

從⑥式可知,在固定的測量地點(diǎn),日半徑角α不變,冬至?xí)r投射角θ達(dá)到最小,cotθ達(dá)到最大值,投影橢圓的長徑2a也達(dá)到最大值,此時系統(tǒng)誤差atanαcotθ達(dá)到最大值,夏至測量時反之。這就是“即使采用景符,測量冬至影長的誤差仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于測夏至?xí)r的誤差”之原因。

郭法雖不完美,但取橢圓中心進(jìn)行測量,實(shí)踐中較易施行,但采用冬至圭表測影導(dǎo)致郭法的“缺陷”部分被放大,為何由夏至測影改為冬至測影,典籍中沒有記載,好在橫梁的使用,使測影點(diǎn)落在以橢圓中心為心的小鄰域U(xm,ε)內(nèi),測量誤差控制較好。

4 結(jié) 語

研究發(fā)現(xiàn),約在1844年前后,鄒伯奇采用具體實(shí)例數(shù)值與一般性算法相結(jié)合推演結(jié)論的論證方法,基于軸線不過橢圓心定理,建立橢圓影心非日心模型,訂正了長期以來“橢圓影心即日心”的認(rèn)知錯誤,并指出日心投影的正確位置,但囿于未刊行而迄今少為人知。鄒伯奇這一成果,是郭守敬圭表測影理論的完善,為日影測量誤差分析等提供了新視角。

致 謝鄒伯奇玄孫鄒忠廉先生惠贈相關(guān)資料,內(nèi)蒙古師范大學(xué)郭世榮教授、中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所鄒大海研究員、天津師范大學(xué)高紅成教授及匿名專家悉心指點(diǎn),謹(jǐn)致謝忱!