“視點(diǎn)”與世界幾何秩序的構(gòu)建
——托勒密《地理學(xué)》制圖思想新探

魯博林

(清華大學(xué) 科學(xué)史系,北京 100084)

托勒密(Claudius Ptolemy,約公元100—170年)的《地理學(xué)》(GeographicalHyphegesis)作為古代西方地學(xué)和制圖學(xué)方面的代表著作,自文藝復(fù)興以來一度主導(dǎo)西方世界圖像和地理觀念的塑造。遺憾的是,自近代科學(xué)革命以來很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),科學(xué)史界對(duì)該書并未投以特別的關(guān)注——在許多史家眼中,它或被視為一部無關(guān)思想的制圖手冊(cè),或被認(rèn)為是過時(shí)的古代地理論述。直到19世紀(jì),西方古典學(xué)界逐漸認(rèn)識(shí)到《地理學(xué)》的歷史價(jià)值,以諾布(C.F.A.Nobbe,1791—1878)等學(xué)者為首開始對(duì)龐雜的《地理學(xué)》抄本譜系進(jìn)行?？?、編定,繼之有昆茨(O.Cuntz)、費(fèi)舍爾(J.Fischer)等奠定了該書文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)。以此為前提,《地理學(xué)》在20世紀(jì)之后逐漸進(jìn)入科學(xué)史的視野,但受限于“分科治史”的實(shí)證史進(jìn)路影響,托勒密的制圖方法始終被諾伊格鮑爾(O. Neugebauer)等史家視為現(xiàn)代投影的古代雛形,因而成為一種合理但過時(shí)的地圖投影嘗試。[1-2]而埃杰頓(S.Y.Edgerton)等藝術(shù)史家則努力在《地理學(xué)》與近代透視法之間建立聯(lián)系,以圖證明這部古代作品所潛藏的現(xiàn)代性。[3]兩者看似殊途,實(shí)則反映的都是基于現(xiàn)代科學(xué)視角的治史進(jìn)路。地圖史家迪爾克(O.Dilke)更是在哈利(J.B.Harley)與伍德沃德(D.Woodward)編定的《制圖學(xué)史》中,以典型的輝格史語(yǔ)調(diào)對(duì)該進(jìn)路下的托勒密《地理學(xué)》做了蓋棺論定的評(píng)價(jià)。[4](1)在迪爾克看來,托勒密《地理學(xué)》的核心是其“地圖投影理論”,而投影理論的貢獻(xiàn)在于“對(duì)后世制圖學(xué)發(fā)展的重要性”。這種典型的輝格史論調(diào)頗能代表20世紀(jì)科學(xué)史界對(duì)《地理學(xué)》的普遍態(tài)度。另外由于該書在中世紀(jì)長(zhǎng)期沉寂,至文藝復(fù)興后才有廣泛影響,所以相關(guān)研究也側(cè)重后者的時(shí)段,對(duì)其古代起源的研究并不受到重視。

然而近幾十年來,隨著科學(xué)史界的思想史轉(zhuǎn)向以及該書新譯本的相繼出版,國(guó)際學(xué)界開始進(jìn)行新一輪評(píng)注和解讀。(2)該書最新的英譯本為伯格倫與瓊斯對(duì)理論章節(jié)的節(jié)譯本(Berggren &Jones, 2000);而德譯本則為伯爾尼大學(xué)“托勒密研究中心”(Ptolemaios-Forschungsstelle)歷經(jīng)十年的編譯成果,并附古希臘文對(duì)照Stückelberger &Gra?hoff(2006)。其余英譯大多為早期史蒂文森(E.L.Stevenson)令人不甚滿意的拉丁文英譯本的重印。以陶布(Liba Taub)、瓊斯(A.Jones)等為代表,科學(xué)史家開始從思想史、哲學(xué)史的角度重估托勒密的諸多作品。[5-6]《地理學(xué)》自然在重估的作品之列,如費(fèi)凱(Jaqueline Feke)、謝格羅夫(D.Shcheglov)等學(xué)者便基于對(duì)關(guān)鍵性概念在同時(shí)代著作中的運(yùn)用所做的語(yǔ)言學(xué)分析,試圖闡明古希臘地學(xué)、斯多亞哲學(xué)和托勒密的數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)該書的影響。[7-8]然而,類似討論仍基于概念界定等理論文字展開,對(duì)制圖步驟的細(xì)節(jié)著墨不多。確切地說,當(dāng)下學(xué)界對(duì)托勒密地理制圖的數(shù)學(xué)理解,仍基于20世紀(jì)70年代諾伊格鮑爾等人的解讀。這在很大程度上,妨礙了科學(xué)史學(xué)者對(duì)作為古代數(shù)學(xué)化作品的《地理學(xué)》數(shù)學(xué)思想的深入分析。更不必提,由光學(xué)角度或視點(diǎn)切入托勒密制圖的研究幾乎仍處于空白。因此在下文中,我們將首先點(diǎn)明《地理學(xué)》作為數(shù)學(xué)化作品的本質(zhì)特征,以此將其置于古希臘地理傳統(tǒng)中并引出“視點(diǎn)構(gòu)建”的重要性。以假想的“視點(diǎn)”為線索,本文試圖借助對(duì)托勒密制圖過程的重構(gòu),揭示視點(diǎn)背后的光學(xué)與幾何思想,并展示《地理學(xué)》如何在此基礎(chǔ)上綜合古代的數(shù)學(xué)傳統(tǒng),將居住世界納入一個(gè)宏大的古代數(shù)學(xué)世界圖景之中。

1 《地理學(xué)》觀念概說與制圖新論

《地理學(xué)》的希臘語(yǔ)原題為Γεωγραφικφγησι?(英語(yǔ):Geographical Hyphegesis),意為“地理描繪指南”,學(xué)界一般簡(jiǎn)稱為“地理學(xué)”。在古代西方的地學(xué)語(yǔ)境中,“地理”(γεωγραφα)是一個(gè)涵蓋范圍相當(dāng)廣泛的概念,既可以指對(duì)不同地域民族地貌的文學(xué)類記載,也可以指對(duì)已知世界輪廓的圖像化描繪。但自從希臘化時(shí)期的亞歷山大學(xué)者埃拉托色尼(Eratosthenes)第一次在傳世文獻(xiàn)中明確以“地理”為題撰寫專著以來,制圖尤其是基于天文幾何方法的數(shù)學(xué)制圖,便成為了古代地理學(xué)的應(yīng)有之義。[9]同屬亞歷山大學(xué)派的托勒密《地理學(xué)》,正是在這一意義上展開論述的。不僅如此,托勒密還將“地理”的內(nèi)涵精準(zhǔn)地規(guī)定為“世界制圖”,使之不僅和現(xiàn)代地理概念大相徑庭,也和當(dāng)時(shí)與地理描繪相關(guān)的其他概念區(qū)別開來。故而甫一開篇,他便如此寫道:

地理學(xué)是一種模仿,是對(duì)整個(gè)世界的已知部分和與之關(guān)聯(lián)的事物的繪制。它與地志學(xué)(χωρογρφα, chorography)不同,后者作為獨(dú)立的門類,著手描繪相互獨(dú)立的地區(qū),并切實(shí)記錄下盡可能多的各項(xiàng)事物;而地理學(xué)的本質(zhì)是把已知世界作為一個(gè)單一的、連續(xù)的實(shí)體來展示,展示其性質(zhì)和排布方式,它只關(guān)注與邊界、輪廓相關(guān)的元素。(PtolemyGeography1.1.1-2)([10],57頁(yè);[11],52-53頁(yè);[12],3頁(yè))(3)本文參考的《地理學(xué)》譯文綜合了最新的英譯和德譯本,對(duì)關(guān)鍵概念的闡釋則核對(duì)了由諾布(Nobbe)編定的古希臘文本。此處英譯本將“地理學(xué)”譯為“世界制圖學(xué)”(world cartography),“地志學(xué)”譯為“區(qū)域制圖學(xué)”(regional cartography),意在加以普及性的闡釋,本文基于思想史研究的立場(chǎng),主張仍譯為“地理學(xué)”和“地志學(xué)”,以還原其知識(shí)語(yǔ)境。此段重點(diǎn)參考了德譯本和諾布本。

這里托勒密將“地理學(xué)”(geography)和“地志學(xué)”(chorography)相對(duì)舉,前者指的是對(duì)整個(gè)世界的地理描繪,而后者是對(duì)部分區(qū)域的地理描繪,此處的描繪主要就圖像而言。因此他將地理學(xué)比喻為“畫一幅完整的頭部肖像”,而地志學(xué)則類似“只有耳朵或眼睛的圖像”。與后者相比,地理學(xué)更重“量”而非“質(zhì)”,強(qiáng)調(diào)距離的合比例大于摹仿的逼真。因此數(shù)學(xué)方法在地理學(xué)中“占據(jù)著絕對(duì)的優(yōu)先性”,其目標(biāo)就是“盡可能按照真實(shí)世界的比例來繪制地圖”。(Geography1.1.5-7)可見書中所謂“地理學(xué)”,本質(zhì)是對(duì)已知世界大致輪廓的幾何繪制。

然而須注意的是,這里的“世界”并非現(xiàn)代意義上覆蓋全球的地理范圍,而是當(dāng)時(shí)古希臘羅馬文明已知的地域。在托勒密所繼承的古代地學(xué)傳統(tǒng)中,有一個(gè)專門的術(shù)語(yǔ)對(duì)此加以指代,即οκουμνη (oikoumene),意即“有人居住的世界”或“居住世界”。早在亞里士多德的《氣象學(xué)》(Meteorologica)中,該詞就作為希臘地理論述的核心被提出。亞氏選取了希臘語(yǔ)中表示居住的動(dòng)詞“οκω”,以該詞的陰性現(xiàn)在時(shí)中動(dòng)態(tài)分詞形式搭配表示“大地”的詞“γ”,組成了“οκουμνη γ”(有人居住的大地),再將其截取為縮短形式,便造出了οκουμνη一詞。[13-14]在古希臘的知識(shí)語(yǔ)境中,“居住世界”的含義幾乎等同于“已知大地”(包括周邊海洋與島嶼)。古代西方的地理論述借此得以開辟出一方獨(dú)立空間。尤其在地球觀念成為共識(shí)后,居住世界相對(duì)于地球和天界的位置關(guān)系逐漸明確,如亞里士多德所言,“居住世界的寬度(緯度)是有限的,在一定的氣候范圍內(nèi),可延伸為圍繞地球一條相續(xù)不斷的環(huán)帶”。[13-14]埃拉托色尼則進(jìn)一步將其限定在赤道以北、極圈以南、東西跨度不超過半球、約占球面四分之一的象限之內(nèi)。[15]

托勒密的地理寫作,基本延續(xù)了傳統(tǒng)的“居住世界”圖景。兼之身處羅馬帝國(guó)領(lǐng)土擴(kuò)張與貿(mào)易交往空前繁榮的時(shí)代,作者對(duì)居住世界的尺度有了更切實(shí)的認(rèn)知。他意識(shí)到要在平面上描繪橫跨半個(gè)地球的居住世界,必然面臨相似性與合比例性、便利與尺度精準(zhǔn)的兩難。《地理學(xué)》對(duì)此也毫不回避地加以討論。他首先將地理制圖分為“球面制圖”和“平面制圖”兩大類型。前者是對(duì)大地形狀的原比例縮小,不涉及任何形變,但難以制作和觀看;后者更加一目了然,方便瀏覽,卻須加以復(fù)雜的幾何設(shè)計(jì)。(Geography1.18)對(duì)繼承了古希臘地學(xué)傳統(tǒng)的托勒密來說,如何設(shè)計(jì)出一種更好的平面制圖法才是重點(diǎn)所在。但由于從球面到平面的轉(zhuǎn)換必然存在形變,哪些比例應(yīng)當(dāng)保留,哪些比例只能舍棄,就成為必須加以選擇的問題;同時(shí),他還希望保持世界制圖“在形狀上同真實(shí)的居住世界盡可能相似”,這進(jìn)一步規(guī)定了比例保留的限度與表現(xiàn)形式。([10],82頁(yè))基于上述考量,一定程度上定量化、幾何化呈現(xiàn)的“合比例性”與“相似性”,成為了托勒密搭建地理制圖框架的兩大基本原則。[7]

從現(xiàn)代制圖理念的角度加以反觀,可知相似性與合比例性根本上是難以兼顧的。對(duì)相似的絕對(duì)追求很大程度將進(jìn)入光學(xué)的論域,進(jìn)而導(dǎo)向文藝復(fù)興后興起的透視理論;對(duì)合比例原則的恪守則可能根據(jù)比例的細(xì)分,如距離、角度、面積等的不同,被歸入不同的現(xiàn)代投影類型。顯然,托勒密的制圖并非其中任意一種,而是力圖在兩者之間求取平衡。這自然使得《地理學(xué)》中的制圖體系很難在數(shù)學(xué)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)完全自洽。但恰恰是在這種矛盾和復(fù)雜的張力中,托勒密給后人呈現(xiàn)了相當(dāng)獨(dú)特的幾何設(shè)計(jì)。該設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于,如何將兩種看似矛盾的原則統(tǒng)合為一體,并在相當(dāng)程度上兼顧兩者。從《地理學(xué)》構(gòu)建的體系來看,托勒密是成功的,以至于地理史論述在提及托勒密制圖法時(shí),往往以“投影”等現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)加以稱呼。但事實(shí)上,無論是托勒密本人的論述,還是古代西方的制圖傳統(tǒng)中,都無“投影”一說。[16]這種輝格式表達(dá)在方便現(xiàn)代人理解的同時(shí),實(shí)則妨礙了對(duì)托勒密制圖的深入研究。近年來,研究者開始意識(shí)到這一問題,如英譯者瓊斯(A. Jones)認(rèn)為,《地理學(xué)》的制圖法由于數(shù)學(xué)上的不一致,更像是某種“定性模仿”(qualitative imitation)。([10],39頁(yè))不過僅僅以“定性”來蓋棺論定托勒密的制圖體系也不公平。應(yīng)當(dāng)說,為了將相互矛盾的原則加以統(tǒng)合,托勒密的設(shè)計(jì)有不甚嚴(yán)密甚至跳躍之處,但就制圖框架的實(shí)用性和可擴(kuò)展性而言,他的方法體系仍不失為數(shù)學(xué)上的杰作。最重要的是,托勒密在西方乃至世界地理制圖史上,第一次依托視點(diǎn)的假定和轉(zhuǎn)換,完成了對(duì)世界地圖的系統(tǒng)性幾何構(gòu)建,由此呈現(xiàn)的世界圖景也對(duì)西方的地理和制圖思想產(chǎn)生了決定性影響。在下一節(jié)中,我們將以托勒密的第一和第二平面制圖法為例,詳細(xì)展示托勒密是如何基于想象的視點(diǎn),創(chuàng)造性地搭建起他的地理制圖體系的。

2 從“視點(diǎn)”出發(fā):托勒密地理制圖的數(shù)學(xué)重構(gòu)

《地理學(xué)》中一共提到了3種平面制圖方法,其中前2種專門用于地圖制作,第3種則用于展示當(dāng)時(shí)流行的地球環(huán)儀(ringed globe)上的居住世界圖像(更接近于透視圖像)。(4)這里的“地球環(huán)儀”托勒密稱為“Κρικωτπη? σφαρα?”,即在常見的天文儀器環(huán)儀(即中國(guó)古代“渾儀”)中嵌入地球儀。該儀器外層共包含了7個(gè)代表天球大圓的環(huán)圈,分別為天球赤道、黃道、穿過分點(diǎn)的經(jīng)線、南北回歸線、北極圈和南極圈。根據(jù)托勒密的記載推測(cè),這很可能是一種當(dāng)時(shí)用于表現(xiàn)居住世界、地球和天球關(guān)系的展示型儀器(Geography 7.6.1)。因此我們重點(diǎn)討論前2種方法。首先是托勒密的第一平面制圖法。在引入具體的繪制步驟之前,作者從視覺成像原理的角度闡述了設(shè)計(jì)依據(jù):“當(dāng)視線開始投向球面北部象限的中央,即居住世界大部分所在的位置,此時(shí)讓球體相對(duì)于眼睛轉(zhuǎn)動(dòng)起來,使得每根經(jīng)線都相繼位于眼睛的正對(duì)面、且經(jīng)線平面穿過視錐頂點(diǎn)(κορυφ?τ?ψεω?),經(jīng)線就會(huì)呈現(xiàn)為直線。然而緯線卻不會(huì)如此,因?yàn)楸睒O的位置偏離了視軸(ξονο?τνψεων),于是緯線明顯呈現(xiàn)為向南凸出的圓弧狀?！?Geography1.20.6)([10],82頁(yè);[11],110-111頁(yè))

命題22:如果一段圓弧被置于眼睛所在的平面內(nèi),那么圓弧將呈現(xiàn)為一條直線。(圖1右)[17]

根據(jù)托勒密的規(guī)定,由于視點(diǎn)與球面相對(duì)地軸轉(zhuǎn)動(dòng),每根經(jīng)線會(huì)在不同時(shí)刻相繼處于眼睛的正對(duì)面即視平面之內(nèi),因此原本作為圓弧的經(jīng)線相對(duì)于視點(diǎn)自然呈現(xiàn)為直線。相比之下,緯線的再現(xiàn)依據(jù)似乎更加復(fù)雜。與之相關(guān)的首先是《光學(xué)》中的“命題10”:

命題10:當(dāng)一個(gè)平面位于眼睛的下面,則平面上越遠(yuǎn)的地方,看起來越高。(圖1左)[17]

圖1 歐幾里得《光學(xué)》命題10(左)與命題22(右)示意圖[20]

該命題中,眼睛與平面的相對(duì)位置與托勒密所說的視點(diǎn)與緯線平面的位置是相符的。命題結(jié)尾還附加了一個(gè)推論:“在更高處看到的物體,看起來將是凹陷的?！盵21]這就意味著,處在視點(diǎn)斜下方的每一條緯線,都會(huì)呈現(xiàn)為兩頭高、中間低的曲線。在古希臘的幾何傳統(tǒng)中,曲線或者是圓(弧),或者是圓與圓或直線的疊加。正如數(shù)學(xué)史家克萊因(M. Kline)所言:“希臘人不僅把數(shù)學(xué)主要限于幾何,他們甚至把幾何只限于那些能用直線和圓做出的圖形。”[22]據(jù)此托勒密選擇了最簡(jiǎn)化的形式,將所有緯線都設(shè)定為“向南凸出的圓弧”。進(jìn)一步地,托勒密還將球面上經(jīng)緯線的關(guān)鍵幾何特征挪用于平面。比如,球面上的緯線都是相互平行,因此地圖上的緯線圓弧也應(yīng)相互平行,即互不相交的同心圓。再如,球面上的經(jīng)線都(在北半球)相交于一點(diǎn)并與緯線垂直,因此地圖上的經(jīng)線也相交于一點(diǎn)并與緯線垂直,實(shí)際等同于緯線圓弧的半徑,所交之點(diǎn)即共同圓心。

上述規(guī)定主要出于相似性的考量。要在平面上保留球面居住世界的大致比例,托勒密還需要對(duì)重要經(jīng)線與緯線的長(zhǎng)度比加以規(guī)定。一方面,由于地圖上的緯線組成了一個(gè)同心圓框架,該框架中緯線長(zhǎng)度變化與緯度變化成正比關(guān)系,這與球面上的余弦函數(shù)關(guān)系顯然不符。(7)在托勒密制圖法中,同心圓半徑上的單位長(zhǎng)度與單位緯度成正比,而緯線作為圓弧同樣與半徑長(zhǎng)度成正比,因此緯線λ與緯度φ的變化亦稱正比關(guān)系,即Δλ=αΔφ。但在球面上,緯線(圈)的長(zhǎng)度λ與相應(yīng)緯度φ的關(guān)系遵守余弦變換,設(shè)地球半徑為r,則λ=2πr*cos(φ)。因而從數(shù)學(xué)上講,托勒密只能保證兩條緯線的長(zhǎng)度與真實(shí)比例相符。為了控制居住世界的整體形變,他最終選擇了最長(zhǎng)和最短的兩根緯線,即穿過極北之地圖勒(Thule, 63°N)的緯線以及赤道。另一方面,由于所有經(jīng)線都呈現(xiàn)為過共同圓心的直線,托勒密設(shè)計(jì)了一種獨(dú)特的幾何變換,即假定經(jīng)線是從球面上“展平”在地圖上的。故而經(jīng)線上的1單位弧長(zhǎng)(即1度)對(duì)應(yīng)于1單位長(zhǎng)度。這樣,不僅地圖上所有經(jīng)線都等長(zhǎng),每一緯度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度也相等,由此提供了合比例制圖的基礎(chǔ)。但相應(yīng)的,單位經(jīng)度與單位緯度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度比(以下簡(jiǎn)稱“經(jīng)緯比”)卻難以做到和球面處處相同。為此,托勒密延續(xù)了馬里諾(Marinus of Tyre,活躍時(shí)間早于托勒密,但生卒年不詳)的做法,僅保留了地學(xué)傳統(tǒng)中作為世界中線的羅德島(Rhodes, 36°N)的經(jīng)緯比,即cos36°≈4∶5。(Geography1.21)經(jīng)由上述對(duì)“緯線比”和“經(jīng)緯比”的詳細(xì)規(guī)定,第一制圖法的定量數(shù)學(xué)框架便確定下來。最終呈現(xiàn)的圖式十分類似于現(xiàn)代制圖學(xué)的“圓錐投影”(如圖2所示)。

圖2 托勒密第一平面制圖法幾何框架示意圖([23],1396頁(yè))

不過在上述圖示中,可以明顯看出第一制圖法與圓錐投影的不同。圖中以赤道為界,南北半球的圖像出現(xiàn)了某種斷裂。這是因?yàn)樵诔嗟酪阅?緯線長(zhǎng)度實(shí)際是遞減而非遞增,使得前述原則不再適用。因此在實(shí)際制圖中,托勒密按照鏡像對(duì)稱的原理,直接按同緯度的北部緯線長(zhǎng)度規(guī)定了南界緯線長(zhǎng)度,再將相應(yīng)經(jīng)度的點(diǎn)與赤道直接相連,遂令南半球圖像出現(xiàn)了嚴(yán)重扭曲。但即便在北半球部分,嚴(yán)格符合比例的僅有南北緯線之比、羅德島的經(jīng)緯比兩對(duì)數(shù)量關(guān)系,([4],186-187頁(yè))因此無論就相似性還是合比例性而言,該地圖都與球面的世界圖像相距甚遠(yuǎn)。究其原因,則可追溯到托勒密一開始所設(shè)“視點(diǎn)”的局限。因此突破的關(guān)鍵便是對(duì)視點(diǎn)做出改進(jìn)。基于上述思路,托勒密緊接著提出了他的第二平面制圖法。將視點(diǎn)稍作調(diào)整,使得視軸同時(shí)穿過以下兩點(diǎn):(1)中央經(jīng)線與中央緯線的交點(diǎn);(2)地球的球心。(Geography1.24.10)([10],88頁(yè))同時(shí)令視點(diǎn)與球面保持一定距離,使得眼睛所見的差不多等于一個(gè)半球。對(duì)于這一點(diǎn)的幾何推論,我們同樣能在歐幾里得《光學(xué)》中找到相關(guān)依據(jù),即“命題23”和“命題24”。其表述如下:

命題23:單眼以任意方式看到的球體總是小于一個(gè)半球,而且所見球體本身呈弧形。

命題24:當(dāng)眼睛靠近球體時(shí),所見部分會(huì)進(jìn)一步縮小,但看起來會(huì)變多。[17]

具體到繪制步驟,第二制圖法遵循了與第一制圖法相近的流程:首先根據(jù)視點(diǎn)位置確定呈現(xiàn)為直線的球面大圓,再加以展平。在第一制圖法中,被展平的是先后位于中央的各經(jīng)線;在第二制圖法中,被展平的除了中央經(jīng)線,還有過居住世界幾何中心且與前者垂直的大圓。然后輔以平面幾何推導(dǎo),便能找到地圖緯線圓弧的圓心位置。共同圓心一旦確定,各緯線的位置也相繼確定。至此兩種方法的步驟都是相近的。但第一制圖法只須連接圓心與羅德島緯線上按固定經(jīng)緯比隔開的各點(diǎn),便可得到作為直線的全部經(jīng)線;而第二制圖法則應(yīng)在三條標(biāo)準(zhǔn)緯線上按照各自緯度相應(yīng)的經(jīng)緯比,計(jì)算出固定經(jīng)度間隔(托勒密設(shè)定為5度)對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng),以此標(biāo)定不同經(jīng)度的一組三點(diǎn),方可依此繪制作為圓弧的經(jīng)線。顯然,第二制圖法在制圖流程上要更加繁瑣,在后期根據(jù)經(jīng)緯度標(biāo)定地點(diǎn)時(shí)也不如第一制圖法那樣便利。但無論就相似性上還是合比例性而言,第二制圖法都優(yōu)于第一制圖法,誠(chéng)如托勒密自己所言,其“緯度范圍和經(jīng)度范圍之比更加準(zhǔn)確了”。 (Geography1.24.25)([10],93頁(yè))由此繪制出來的居住世界圖像如圖3所示?？梢钥闯?不僅地圖的整體輪廓更加符合球面呈現(xiàn)的外觀,而且赤道以南部分也依照相同規(guī)則繪制,從而被納入了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架之中。([11],132-133頁(yè))

圖3 托勒密第二平面制圖法框架示意圖([4],187頁(yè))

從第一制圖法到第二制圖法,視點(diǎn)的構(gòu)建轉(zhuǎn)換扮演了關(guān)鍵角色,同時(shí)也使古代制圖在數(shù)學(xué)層面實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍,以至于在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),許多制圖史家都直接將其稱為近代意義上的、基于特定幾何點(diǎn)展開的“投影”(projection)。([23],883頁(yè);[10],36頁(yè))但正如前文所言,托勒密的時(shí)代既無“投影”概念,本文也反對(duì)專業(yè)研究者依附于這一出于權(quán)宜或普及之便而采用的說法。因“投影”本質(zhì)是數(shù)學(xué)上的“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”映射,即所繪圖形應(yīng)當(dāng)能通過將曲面上的點(diǎn)(L,φ)按照統(tǒng)一的函數(shù)f(L,φ)逐點(diǎn)、連續(xù)地投射到平面上的相應(yīng)點(diǎn)(x,y)來直接獲得。([23],879頁(yè))但顯然,托勒密的制圖法既非逐點(diǎn)映射,也不存在融貫一致的數(shù)學(xué)方法。事實(shí)上,《地理學(xué)》的制圖至少綜合了3種數(shù)學(xué)方法,其中包括:以歐幾里得《光學(xué)》為代表的古希臘光學(xué)命題、傳統(tǒng)的歐氏平面幾何定理和托勒密自行設(shè)計(jì)的“展平”方法——為了求取相似性與合比例之間的平衡,三者在適用性和量化結(jié)果上并不一致。但借助假想的視點(diǎn),托勒密巧妙地將三者統(tǒng)合為一體,構(gòu)建出西方地圖史上第一套系統(tǒng)性的幾何制圖理論。而潛藏在視點(diǎn)背后的,是有別于現(xiàn)代投影的制圖思想和托勒密獨(dú)特的數(shù)學(xué)世界圖景。

3 “視點(diǎn)”的制圖思想與數(shù)學(xué)世界圖景

應(yīng)當(dāng)注意的是,光學(xué)和制圖學(xué)的宗旨原本并不相同:歐氏光學(xué)的目的是“解釋眼睛所見之物,而非模仿它”[26];而地理學(xué)卻是“模仿”而非解釋。換句話說,光學(xué)是將視覺現(xiàn)象還原為幾何命題,制圖學(xué)則旨在用幾何命題重構(gòu)現(xiàn)象。兩者似乎構(gòu)成了互逆的關(guān)系。但《地理學(xué)》的寫作不只為還原視覺圖像,也意在保留原有的數(shù)學(xué)比例,即在前述“相似性”與“合比例性”之間求取平衡——這也是托勒密制圖與光學(xué)“嫡傳”透視法的關(guān)鍵差異所在。因此,地理制圖理論并非純?nèi)皇菐缀喂鈱W(xué)理論的“逆命題”,毋寧說,光學(xué)是再現(xiàn)居住世界所依托的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之一——其中的關(guān)鍵便是“視點(diǎn)”。正是依托于特定視點(diǎn),托勒密得以規(guī)定地圖上經(jīng)緯線的基本性質(zhì),并設(shè)計(jì)了展平的數(shù)學(xué)步驟。視點(diǎn)的不同將決定經(jīng)緯線框架的不同以及展平對(duì)象的差異。在由此確立的“腳手架”基礎(chǔ)上,構(gòu)建制圖體系的平面幾何操作方才得以順利展開。

視點(diǎn)在托勒密地理制圖中的重要意義,也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)古代制圖思想的革新。地圖繪制早在古典希臘時(shí)代便大量存在。在地球說興起之前,古希臘人將居住世界視為一個(gè)巨大的平面,周圍被大洋環(huán)繞,與此相應(yīng)的地圖則是圓形的周航圖(γ?περιóδου?)。[27-28]地球說興起之后,亞里士多德、狄凱阿科斯、波西多尼奧斯等學(xué)者對(duì)居住世界的形狀重新加以闡釋,引出了長(zhǎng)形、四邊形、懸?guī)畹榷囝惖貓D,然而其共同點(diǎn)是制圖過程均不存在視點(diǎn),甚至是非數(shù)學(xué)的。[29]到了埃拉托色尼的《地理學(xué)》(Geographika)中,他將該學(xué)科確立為一門以描繪世界圖像為宗旨、以幾何學(xué)為主要方法的知識(shí)門類,居住世界的范圍、位置,以及不同“地塊”(σφραγδε?)的大小和形狀都可以計(jì)算得到。[30,9]遺憾的是,由于該書大部分已散佚,今人很難確定埃拉托色尼是否繪制過地圖,但他卻在傳世長(zhǎng)詩(shī)《赫爾墨斯》中,描繪了一種獨(dú)特的地理視角:

赫爾墨斯從天界望去,

赫然看見五段美麗的“緯度帶”:

“有兩條的色彩,比幽然閃爍的藍(lán)色更深;

一條呈紅粉狀,似是淬火而出……

還有兩條環(huán)繞著兩端的極點(diǎn),天寒地凍。”[31]

此處作者借神祇之眼俯瞰地球,似乎預(yù)設(shè)了可用于制圖的視點(diǎn)存在。只是詩(shī)性的想象并不等于數(shù)學(xué)的確立。事實(shí)上自埃拉托色尼以降,古希臘羅馬的地圖繪制在幾何上有了長(zhǎng)足進(jìn)步,甚至發(fā)展出等間隔矩形地圖、梯形地圖等沿用后世的制圖方式,但嚴(yán)格意義上的視點(diǎn)卻并未真正出現(xiàn)。應(yīng)當(dāng)說,托勒密以前的世界地圖繪制,更像是對(duì)小范圍地圖的簡(jiǎn)單擴(kuò)大,很少考慮到世界尺度上球面的曲率和平面化的形變。正如斯特拉波所說:“我們的想象力能輕易地把平面圖形轉(zhuǎn)換到球面上去?！?Strabo 2.5.10)[32]但果真如此嗎?與斯特拉波幾乎同時(shí)代的托勒密,率先意識(shí)到其中的問題。在《地理學(xué)》中,托勒密嚴(yán)格指出了平面制圖中形變的不可避免。(Geogrpahy1.21)更重要的是,他第一次在制圖實(shí)踐中確立了“視點(diǎn)”,從而使曾經(jīng)不可捉摸的形變得以在數(shù)學(xué)層面被精確地把控。通過對(duì)視點(diǎn)的選擇,他進(jìn)一步改變經(jīng)緯線的呈現(xiàn)方式,以保留不同的真實(shí)比例,從而探索出更加相似以及合比例的制圖效果。這在古代西方制圖史上,無疑是一項(xiàng)偉大的創(chuàng)舉。

視點(diǎn)的引入和確立,既代表了托勒密對(duì)埃拉托色尼之“赫爾墨斯視角”的傳承,也是托勒密對(duì)前人未竟之?dāng)?shù)學(xué)理想的進(jìn)一步開拓。托勒密借此將地理學(xué)完整地納入了數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域:就合比例而言,居住世界在平面化后仍保留中心和邊界的真實(shí)比例,從而將整體形變控制在可接受范圍內(nèi),而非如馬里諾的矩形地圖一樣隨緯度升高而愈加扭曲;([10],34頁(yè))就相似性而言,緯線乃至經(jīng)線被呈現(xiàn)為圓弧,初步還原了現(xiàn)實(shí)中俯瞰球面的幾何效果,亦是空前的創(chuàng)造性設(shè)計(jì)。兩方面的成就將地理學(xué)擢升到足以在數(shù)學(xué)方面比肩天文學(xué)的位置。正如托勒密在卷一開頭所言:“在地理學(xué)中,數(shù)學(xué)方法占據(jù)著絕對(duì)的優(yōu)先性。我們首先必須要研究清楚大地的形狀、大小和相對(duì)于周邊的位置,從而描述出已知部分的范圍和性質(zhì)。另外,還應(yīng)說明已知世界的各地分別位于哪一條天球緯線之下,以確定……相關(guān)的天象。這些部分歸屬于最崇高和最美好的智性追求……因?yàn)橹T天的運(yùn)轉(zhuǎn)能大致為我們所見;然而大地卻只能借助(再現(xiàn)的)圖像得到認(rèn)識(shí)?！?Geography1.1.8-9)([11],54-55頁(yè))

盡管天地呈現(xiàn)有諸多不同,托勒密還是努力地創(chuàng)造條件(譬如借助再現(xiàn)的圖像),將地理學(xué)納入一個(gè)整體的數(shù)學(xué)宇宙之中。這也反映出托勒密作品背后宏大的學(xué)術(shù)理想。早在天文學(xué)代表作《至大論》中,托勒密就表明了他的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng):即相比于神學(xué)和物理學(xué),“只有數(shù)學(xué)才能為它的信徒提供可靠而不可動(dòng)搖的知識(shí)”,并使得追隨者能夠以神性相關(guān)的恒常、秩序與合比例來改造自身。[33]從這句話中,我們能看出作者不僅志在揭示恒常不易的秩序,更試圖再現(xiàn)秩序以作用于世界或自身。在另一部著作《和音學(xué)》(Harmonics)中,這一意圖體現(xiàn)得更加明確。他認(rèn)為:“和音理性能產(chǎn)生聽覺上的特定秩序,正如圖像理性能產(chǎn)生視覺上的秩序,批判理性能產(chǎn)生思想上的秩序。”[34]隨后他指出,和音學(xué)家不僅揭示和音現(xiàn)象背后的幾何比例,也運(yùn)用樂器復(fù)現(xiàn)它們以產(chǎn)生聽覺上的秩序。類似地,地理學(xué)家也須基于圖像理性揭示世界在“視覺上的秩序”,并通過繪制地圖來再現(xiàn)這一世界秩序。因此,借助數(shù)學(xué)方法在地界構(gòu)建清晰、穩(wěn)定與合比例之秩序,正是《地理學(xué)》寫作的應(yīng)有之意。

正如該書英譯者伯格倫所說,托勒密的制圖法提供了“一個(gè)數(shù)學(xué)地理學(xué)家想象視角下的地球視圖”。[35]而筆者更愿意將其稱為“一個(gè)數(shù)學(xué)家基于想象視點(diǎn)構(gòu)建的世界地理的幾何秩序”。在再現(xiàn)世界秩序的過程中,“視點(diǎn)”扮演了樞紐性的角色:唯有通過想象的、超越的視點(diǎn),我們身處其中的居住世界才可能被定量地觀察和模仿,進(jìn)而被賦予一種數(shù)學(xué)的理性秩序。在這一意義上,視點(diǎn)充當(dāng)了某種“阿基米德支點(diǎn)”,托勒密借此得以將地理學(xué)納入他以數(shù)學(xué)為萬(wàn)物確立秩序的宏大學(xué)術(shù)藍(lán)圖之中。

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述,作為以居住世界為描繪對(duì)象、以幾何為基本方法的古代地理制圖理論之大成者,托勒密《地理學(xué)》繼承并實(shí)踐了埃拉托色尼的“赫爾墨斯視角”,將古代西方制圖理論推向了新的高度。為了在數(shù)學(xué)層面精確把控世界圖像從球面到平面的轉(zhuǎn)變,托勒密基于古希臘歐幾里得的光學(xué)傳統(tǒng),構(gòu)建了幾何意義上的視點(diǎn),借此將3種不同的數(shù)學(xué)方法加以綜合,以在相似性與合比例性之間求取平衡。由此設(shè)計(jì)出的托勒密第一與第二制圖法,也成為西方地理史上第一套系統(tǒng)性的幾何制圖理論?！兜乩韺W(xué)》對(duì)視點(diǎn)的運(yùn)用,折射出背后以數(shù)學(xué)哲學(xué)為基礎(chǔ)的制圖思想。在他看來,數(shù)學(xué)是一切可靠知識(shí)的來源,地理學(xué)也須基于隸屬于數(shù)學(xué)的圖像理性再現(xiàn)居住世界的視覺秩序。在此基礎(chǔ)上,視點(diǎn)構(gòu)成了托勒密地理制圖的獨(dú)一無二的前提:唯有通過假定的視點(diǎn),居住世界才可能被定量地觀察和模仿,進(jìn)而被賦予理性的幾何秩序。因此,視點(diǎn)充當(dāng)了托勒密構(gòu)建地理世界的幾何秩序、實(shí)現(xiàn)球面向平面轉(zhuǎn)換的“阿基米德支點(diǎn)”。作為托勒密學(xué)術(shù)理想的一部分,視點(diǎn)的假定指向了一個(gè)更為宏大的數(shù)學(xué)世界圖景,也使得托勒密制圖在古代西方乃至世界制圖理論史上占據(jù)了不可替代的一席之地。