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    相似三角形與函數(shù)綜合問題探究

    2024-01-27 18:06:23王勇
    關(guān)鍵詞:相似三角形函數(shù)

    王勇

    [摘 要]在近幾年的各地中考數(shù)學(xué)試題中,相似三角形與函數(shù)綜合考查成為中考命題的熱點(diǎn)。文章結(jié)合四個(gè)典型例題,探討相似三角形與函數(shù)綜合問題,旨在夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ),發(fā)展學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

    [關(guān)鍵詞]相似三角形;函數(shù);綜合問題

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2023)29-0010-03

    在近幾年的各地中考數(shù)學(xué)試題中,相似三角形與函數(shù)綜合考查成為命題的熱點(diǎn),它包括相似三角形與一次函數(shù)綜合、相似三角形與反比例函數(shù)綜合、相似三角形與二次函數(shù)綜合、相似三角形與絕對值函數(shù)綜合。下面筆者結(jié)合例題逐一分析探討。

    一、相似三角形與一次函數(shù)綜合

    一次函數(shù)的圖象是一條直線,它與兩坐標(biāo)軸相交形成直角三角形,以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)再放置一個(gè)相似的直角三角形,會形成“手拉手”相似三角形模型,利用相似三角形的性質(zhì)可以求線段的長度,確定線段的最小值等。

    解析:(1)利用兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,得[△BDC ]∽[△EDO],從而得證。∵[OC⊥OE],∴[∠COE=90°],∴[∠AOB=∠COE=90°],∵[∠OCD=∠OAB],∴[∠ABO=∠CEO],∵[∠BDC=∠EDO],

    (3)根據(jù)[OA=OF]可知,F(xiàn)在以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的半圓上運(yùn)動,在[△OBF]中,由三角形的三邊關(guān)系,得[BF>OF-OB],所以當(dāng)F在y軸上,且在B的上方時(shí),BF的值最小,由此得到BF的最小值。如圖5所示,由對稱得:[OA=OF],動點(diǎn)F在以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑的半圓[AFA']上運(yùn)動,因?yàn)閇OB=6],在[△OBF]中,由三角形的三邊關(guān)系得[BF>OF-OB],所以當(dāng)F在y軸上,且在B的上方時(shí),BF的值最小,如圖6所示,此時(shí)[BF=OF-OB=8-6=2],即BF的最小值是2。

    二、相似三角形與反比例函數(shù)綜合

    相似三角形與反比例函數(shù)綜合問題主要考查相似三角形存在性問題、三角形面積等,要求學(xué)生掌握相似三角形的判定、反比例函數(shù)的性質(zhì)等,且要具備分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。

    三、相似三角形與二次函數(shù)綜合

    [例3]如圖9所示,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)[y=mx2+nx+4]([m≠0])的圖象交[x]軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為[(-3,0)],點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)A、OC為邊作矩形OADC,且邊CD交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M。(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)現(xiàn)有一條垂直于x軸的直線[x=a]在[A]、[O]兩點(diǎn)間(不包括A、O兩點(diǎn))左右移動,分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)P,交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q,請用含a的代數(shù)式表示QP的長;(3)在(2)的條件下,連接QC,則在CD上方的二次函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以Q、C、F為頂點(diǎn)的三角形和[△AEP]相似?若存在,直接寫出a的值;若不存在,請說明理由。

    四、相似三角形與絕對值函數(shù)綜合

    絕對值函數(shù)的本質(zhì)還是分段函數(shù),它的函數(shù)圖象一般為軸對稱圖形,在絕對值函數(shù)里也會討論相似三角形的存在性問題。

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