逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王志剛

［摘 要］在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用逆向思維解題能夠使學(xué)生從不同角度、不同方向思考問題，探索到合理有效的解題方法，從而拓寬解題思路，提高解題效率。文章結(jié)合案例探討逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以期為數(shù)學(xué)一線教師的解題教學(xué)提供參考。

［關(guān)鍵詞］逆向思維；初中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）29-0004-03

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出了發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的要求，其中在闡述“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”這部分內(nèi)容時(shí)，明確指出學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)要能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。由此可見，開展思維活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)成為新時(shí)期數(shù)學(xué)課程改革的重要內(nèi)容。在解題過程中，學(xué)生常常遇到這樣的困境：從已知條件出發(fā)，順著題目的要求思考問題，解題無從下手，甚至陷入了思維的“死胡同”，而運(yùn)用逆向思維能很好地解決這一問題。

二、典型例題

［例1］已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，且[ad-bc=1]，求證：[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

分析：這類命題的反面并沒有無窮多種情況，所以用反證法來證明是非常簡(jiǎn)潔的一種解題思路，即通過假設(shè)[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，并以此證明這一結(jié)論不成立則可以反證原命題成立。

解：假設(shè)[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，把[ad-bc=1]代入上式得[a?+b?+c?+d?+ab+cd-ad+bc=0]，

通過整理代數(shù)式可以得出[（a+b）?+（b+c）?+（c+d）?+（a-d）?=0]。

因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以[a+b=b+c=c+d=a-d=0]，所以[a=b=c=d=0]，所以[ad-bc=0]。

這與已知條件[ad-bc=1]相矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立，即[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

［例2］如圖1所示，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的[C']處（不與A、B重合），點(diǎn)D落在D'處，此時(shí)C'D'交AD于E，折痕為MN。若[AB=BC=1]，可使[△NBC']≌[△C'AE]的C'存在嗎？若存在，求出C'的位置，若不存在，說明理由。

分析：要想解答這一題目，我們可以從假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出與已知條件相互矛盾的結(jié)論，這樣就可以完成證明。

解：當(dāng)矩形ABCD的邊長(zhǎng)[AB=BC=1]，說明其為正方形，假設(shè)存在這樣的[C']，使[△NBC']≌△[C'AE]。

設(shè)[AC'=x]，則有[BN=AC'=x]，[BC'=1-x]，此時(shí)[NC'=NC=BC-BN=1-x]，即[BC'=NC']，在直角三角形[BC'N]中，[∠B=90°]，直角邊[BC']與斜邊[NC']不可能相等。故若[AB=BC=1]，并不存在這樣的[C']使[△NBC']≌[△C'AE]。

點(diǎn)評(píng)：上述兩個(gè)例題顯示了反證法在代數(shù)和幾何證明中的應(yīng)用價(jià)值。在兩道題中，都是通過“對(duì)結(jié)論進(jìn)行假設(shè)，繼而推導(dǎo)出與題目相關(guān)條件相矛盾的結(jié)論”這一思路完成證明的，這是反證法最基本的思路，對(duì)于解答其他證明題有著重要的參考意義。

［例3］如圖2所示，已知[△ABC]中，[∠BAC=45°]，[AD⊥BC]于點(diǎn)[D]，若[BD=2]，[CD=1]，求[△ABC]的面積。

分析：要求三角形的面積，我們通常需要知道三角形的底以及相應(yīng)的高的長(zhǎng)度。在這一題目中，通過兩個(gè)線段長(zhǎng)度可以知道BC的長(zhǎng)度，也知道AD是相應(yīng)的高，但是要想求得AD的長(zhǎng)度卻存在一定難度。題目中有一個(gè)關(guān)鍵條件[∠BAC=45°]。這時(shí)我們可以將[∠BAC=45°]進(jìn)行補(bǔ)充，讓其構(gòu)成一個(gè)直角，即在AC的右邊作出一個(gè)[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，而且[∠BAD+∠DAE=90°]（如圖3），這樣設(shè)計(jì)肯定是可以得到三角形全等。以前證明全等的時(shí)候，我們通常會(huì)用到“兩個(gè)相同頂點(diǎn)的角加上相鄰的同一個(gè)角的結(jié)果相同，這兩個(gè)角相等”，此時(shí)我們可以將這個(gè)方法倒過來用，即先構(gòu)造全等三角形，再得到“等角+同角的結(jié)果相等”，然后根據(jù)三角形全等的條件構(gòu)建正方形，最后將所求的面積問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并通過間接方法完成題目解答。

解：如圖3所示，在AC的右邊作出一個(gè)[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，連接[CE]，根據(jù)“邊角邊”定理可知，[△ABC]和

點(diǎn)評(píng)：這道題條件簡(jiǎn)單易懂，但是解答起來卻相當(dāng)有難度。關(guān)鍵在于如何運(yùn)用45°角，即如何將現(xiàn)有的圖形向擴(kuò)展圖形這個(gè)方向去思考。許多學(xué)生并不擅長(zhǎng)運(yùn)用輔助線構(gòu)造圖形。其實(shí)這道題的圖形補(bǔ)充完整后，新圖形的特點(diǎn)一目了然。本題的解題思路運(yùn)用了補(bǔ)集法，這是一種逆向思維，即利用45°角補(bǔ)充出一個(gè)正方形，并通過巧妙轉(zhuǎn)化，完成計(jì)算。

［例4］如圖4所示，已知[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DC=2BD]，[∠ADC=60°]，[AD⊥CO]，垂足為點(diǎn)[O]，求證：[AC2=CD?CB]。

分析：為證明[AC2=CD?CB]，我們從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行倒推。我們關(guān)注到[AC2=CD?CB]這一結(jié)構(gòu)經(jīng)常在相似三角形中出現(xiàn)，那么只需要證明[∠DAC=45°]就可以得到這一結(jié)論。此外，我們還可以將正向思維和逆向思維相結(jié)合。首先分析題目的基本條件，根據(jù)[DC=2BD]這一關(guān)鍵信息得出兩條線段的比值；然后利用“平行線分線段成比例”對(duì)線段的比值加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合結(jié)論進(jìn)行分析；最后從結(jié)論進(jìn)行逆推，即要證明[AC2=CD?CB]，只需證明[∠DAC=45°]，也就是證明[AO=OC]。

解法一：如圖5所示，連接BO，令[BD=a]，則[DC=2a]。

∴[BD=DO]，[∠OBD=∠BOD=30°]，∴[∠OBD=∠OCD]，

∵[∠ABC=45°]，∴[∠ABO=15°]，[∠BAD=∠ADC-∠ABC=15°]，

解法2：如圖6所示，過點(diǎn)[B]作[BH]平行[OC]交[AD]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[H]，

∵[BH]∥[OC]，∴[∠HBD=∠OCD]，[∠BHD=∠COD]，

∴[△BDH]∽[△CDO]，

∴BH∶[OC=BD]∶[CD]。

∴[AO=OC]，∴[∠DAC=45°]，∴[△ACD ]∽[△BCA]，

點(diǎn)評(píng)：兩種方法雖然思路各異，但是都體現(xiàn)了“執(zhí)果索因”這一解題思路。在解題過程中我們可以從結(jié)論入手，探究得到這一結(jié)論所需要的條件，并結(jié)合現(xiàn)有條件以及所學(xué)知識(shí)進(jìn)行補(bǔ)充。這樣不斷逆推就可以將證明結(jié)論的條件梳理完整，并達(dá)到解題的目的。

三、教學(xué)建議

初中階段，學(xué)生正處于思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。通過不同類型習(xí)題的引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)逆向思維的含義，理解逆向解題的思路，并掌握具體的方法，是提高學(xué)生解題能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。

（一）指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法進(jìn)行解題

在初中數(shù)學(xué)解題中，經(jīng)常要求學(xué)生說明一個(gè)命題是真命題，有些題目難度較大，直接證明比較困難，這時(shí)候就需要用反證法來打破僵局。反證法是指從原命題結(jié)論的反面出發(fā)，通過正確的邏輯推理過程，導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，從而肯定原命題結(jié)論正確的一種證明方法。這種方法集中體現(xiàn)了逆向思維的運(yùn)用，在初中數(shù)學(xué)的三角、代數(shù)、幾何等都有很廣泛的應(yīng)用。例1和例2都運(yùn)用了反證法。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)將探究與運(yùn)用反證法的主動(dòng)權(quán)留給學(xué)生，采用啟發(fā)式教學(xué)方式，啟發(fā)學(xué)生思考，促使其拓寬反證法的運(yùn)用思路，并為他們留足時(shí)間，引導(dǎo)他們?nèi)プ灾魈骄?，使他們將所學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用起來，從而達(dá)到舉一反三的效果。同時(shí)，在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法的過程中，教師還應(yīng)針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，將教材的例題和習(xí)題重組，盡量滿足不同思維層次學(xué)生的需求，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生跳出機(jī)械做題的局限，有效掌握反證法的運(yùn)用技巧，從而鍛煉學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力和創(chuàng)新能力。

（二）指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用補(bǔ)集法進(jìn)行解題

補(bǔ)集法就是取集合的補(bǔ)集來解決問題的一種方法。從解題思路來看，這一方法也需要運(yùn)用逆向思維，即通過證明補(bǔ)集的特點(diǎn)來逆推集合特征與性質(zhì)。從其含義來看，這一方法主要運(yùn)用于代數(shù)相關(guān)題目的解答。在上述例3中，補(bǔ)集法在幾何題目中就得到了體現(xiàn)，即結(jié)合題目中圖形的特點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)圖，其目的是讓圖形由抽象變具體，以此降低題目的難度，降低計(jì)算難度，提高解題效率?；诖?，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)拓展，進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)。

（三）指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用執(zhí)果索因法進(jìn)行解題

“執(zhí)果索因法”是常用的一種推理、思維方法，其主旨是根據(jù)題目已經(jīng)給出的結(jié)論（假定結(jié)論正確，并保持不變），從結(jié)論入手考慮問題，尋找結(jié)論成立的先決條件，從而梳理出證明的邏輯思路。

在初中數(shù)學(xué)中，證明題是一類非常典型的習(xí)題，這類題目對(duì)學(xué)生的邏輯思維有著較高的要求。部分學(xué)生在證明的過程中一味地從條件入手，或者對(duì)復(fù)雜的結(jié)論缺乏深入分析，無法迅速找到解題思路，從而影響解題效率。而執(zhí)果索因法則可以在明確結(jié)果的基礎(chǔ)上有的放矢，從結(jié)果出發(fā)進(jìn)行過程反推，使問題得證，這樣不僅可以迅速找到解題思路，還能夠降低解題的難度。上述例4就是運(yùn)用了這一方法。基于此，在初中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)中，教師應(yīng)從問題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生分析思考的過程，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)表達(dá)“從問題想起”解決問題策略的一般過程，結(jié)合具體題目幫助學(xué)生梳理?xiàng)l件與結(jié)論之間的關(guān)系，分析思考過程，為學(xué)生搭建表達(dá)、交流的平臺(tái)，從而共同探索逆向思維的應(yīng)用，提高解題效率。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生分析問題及解決問題的能力，有利于開闊其視野、活躍其思維。當(dāng)然，在初中階段，數(shù)學(xué)解題中常用的逆向思維方法還有很多，如反例法、逆推法等，不同方法所適用的情況千差萬(wàn)別。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況做好指導(dǎo)，并將重點(diǎn)放在啟發(fā)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力上，進(jìn)而落實(shí)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

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［3］? 劉奎.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2023（5）：53-55.

［4］? 謝小兵.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（16）：41-43.