立足整體 關(guān)注邏輯 提升素養(yǎng)
——“同底數(shù)冪的乘法”章起始課教學(xué)設(shè)計(jì)與反思*

李樹(shù)平

(江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215011)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)2022》)明確指出:數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)[1]．同底數(shù)冪的乘法是中學(xué)階段最基本的運(yùn)算之一,也是整式乘法的邏輯起點(diǎn)．教學(xué)中通過(guò)追本溯源,關(guān)注邏輯,能幫助學(xué)生有效構(gòu)建整體認(rèn)知,培育高階思維,促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．2023年2月23日,筆者有幸參加蘇州市初中教育科研協(xié)作會(huì)的課堂教學(xué)展示活動(dòng),開(kāi)設(shè)市級(jí)公開(kāi)課“同底數(shù)冪的乘法”章起始課．現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程與思考整理如下,以饗讀者．

1 教學(xué)分析

1.1 單元視角下同底數(shù)冪的乘法的地位

本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容為江蘇鳳凰科技版七年級(jí)下冊(cè)第八章《冪的運(yùn)算》第一節(jié).本節(jié)課所在單元“冪的運(yùn)算”是整式加減的延續(xù)與發(fā)展,也是后續(xù)學(xué)習(xí)整式乘法、除法的基礎(chǔ)．整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,幾種運(yùn)算通過(guò)分配律、結(jié)合律等運(yùn)算律最終都可轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的積．而單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式又以冪的運(yùn)算為基礎(chǔ),常見(jiàn)的基本形式有am·an,(am)n,(ab)n．由此可見(jiàn),整式乘法的內(nèi)容與邏輯線索為:同底數(shù)冪的乘法—冪的乘方—積的乘方—單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式—單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式—多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式—乘法公式[2](特殊化后的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式),因此,整式乘法的邏輯起點(diǎn)為同底數(shù)冪的乘法．本節(jié)課作為一章的開(kāi)篇,需引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu),厘清學(xué)習(xí)路徑,重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

1.2 運(yùn)算視角下同底數(shù)冪的乘法的理解

學(xué)生已學(xué)習(xí)有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算,當(dāng)數(shù)不確定時(shí),引入了字母表示數(shù),即為整式的運(yùn)算．整式乘法的基本運(yùn)算單位為an,從數(shù)式通性的角度看,學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法有很牢固的基礎(chǔ)(數(shù)的乘方),利用運(yùn)算律可類比數(shù)的運(yùn)算來(lái)理解式的運(yùn)算,體會(huì)數(shù)與式在運(yùn)算本質(zhì)上的一致性．把數(shù)字抽象為字母以后,雖然運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了變化,但“研究套路”不變,思想方法不變,經(jīng)歷用字母運(yùn)算、推理、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)得出來(lái)的結(jié)論是普遍成立的,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性．具體到本節(jié)課的教學(xué)中,加強(qiáng)運(yùn)算技能的訓(xùn)練,使學(xué)生學(xué)會(huì)如何高效、有系統(tǒng)地運(yùn)算是核心．運(yùn)算過(guò)程通常要理解算理、掌握算法,算理即為同底數(shù)冪乘法的乘法法則,算法即為計(jì)算步驟,需養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣．例如,運(yùn)算時(shí)提醒學(xué)生“先觀察后計(jì)算”;把不同底數(shù)冪轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪時(shí),要“先定符號(hào)后定絕對(duì)值”．學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,有助于培養(yǎng)“數(shù)感”和“符號(hào)意識(shí)”,提高運(yùn)算能力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升．

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 新課引入,形成概念

活動(dòng)1回憶已學(xué)有理數(shù)與整式的運(yùn)算．

問(wèn)題1 七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了有理數(shù)的哪些運(yùn)算?我們是如何學(xué)習(xí)的?

問(wèn)題2 當(dāng)數(shù)不確定時(shí),引入了字母表示數(shù),數(shù)的運(yùn)算即轉(zhuǎn)化為整式的運(yùn)算．那么我們已學(xué)過(guò)哪些整式的運(yùn)算?類比數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程,接下來(lái)我們可能要學(xué)習(xí)整式的什么運(yùn)算?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)的運(yùn)算,類比得出整式運(yùn)算的基本框架(圖1);通過(guò)把數(shù)抽象為字母,讓學(xué)生感受數(shù)式通性.依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的邏輯必然性提出問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性,激發(fā)學(xué)生探究的欲望．

圖1

活動(dòng)2探尋整式乘法的邏輯起點(diǎn)．

思考與交流 從四個(gè)整式a2,a3,a3+ab,a+ab中任選兩個(gè)構(gòu)成乘法算式．

問(wèn)題1 你能寫出哪些算式?

問(wèn)題2 嘗試把你所寫的算式進(jìn)行分類.整式乘法可能有哪些類型?

(單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式)

追問(wèn)1 如果要計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,你能設(shè)想一下第一步分別如何運(yùn)算?

(通過(guò)分配律、交換律與結(jié)合律轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式)

追問(wèn)2 算式a2·a3有什么特點(diǎn)?你能給這種運(yùn)算取個(gè)名字嗎?

設(shè)計(jì)意圖依據(jù)運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)三種整式乘法最終都可轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的積,而單項(xiàng)式的實(shí)質(zhì)為數(shù)字與字母的積;通過(guò)運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式又以冪的運(yùn)算為基礎(chǔ),常見(jiàn)的基本形式有am·an,(am)n,(ab)n,其中am·an又是最簡(jiǎn)單的冪的運(yùn)算;接著引導(dǎo)學(xué)生觀察算式特征,通過(guò)取名活動(dòng),揭示本課學(xué)習(xí)的課題．讓學(xué)生從整體上構(gòu)建整式乘法的基本類型,探尋整式乘法的邏輯起點(diǎn),深刻體會(huì)學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法的必要性,激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)熱情．

2.2 合作探究,建立法則

活動(dòng)3根據(jù)乘方的意義計(jì)算下列各式．

(1) 103×104=( )×( )==

10( );

(2)a3·a4=( )×( )==a( );

(3) 10m×10n=( )×( )==

10( )．

活動(dòng)4交流與思考.

①觀察比較以上運(yùn)算過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)底數(shù)與指數(shù)分別有什么規(guī)律?

②依據(jù)剛才的解題經(jīng)驗(yàn),你能嘗試計(jì)算am·an(m,n都是正整數(shù))嗎?

③回顧法則的學(xué)習(xí)過(guò)程,我們經(jīng)歷了怎樣的探究過(guò)程?

設(shè)計(jì)意圖由數(shù)的乘方入手,再逐步把底數(shù)或指數(shù)抽象為字母,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、一般化等同底數(shù)冪的乘法法則形成的全過(guò)程.由特殊到一般,再由一般回歸到特殊,這樣的方法也是代數(shù)問(wèn)題中獲得公式、法則等常用的方法.經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、歸納能力和語(yǔ)言表達(dá)能力．

2.3 例題展示,運(yùn)用法則

例1計(jì)算下列各式,結(jié)果用冪的形式表示．

(1)(-8)12×(-8)5; (2)a·a4;

(3)a3m·a2m-1(m是正整數(shù));

(4)(p-q)5·(p-q)2.

變式 計(jì)算a·a4·a5.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)會(huì)直接利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行兩個(gè)冪的運(yùn)算.通過(guò)第(2)小問(wèn)的變式,把同底數(shù)冪的乘法法則推廣到三個(gè)及三個(gè)以上冪的相乘;由第(4)小問(wèn)了解到冪的底數(shù)不僅可以是單獨(dú)的字母或數(shù)字,也可以是某個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式,培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性和廣闊性．

例2計(jì)算下列各式,結(jié)果用冪的形式表示．

(1)(-8)3×82; (2)(-a)3·a2;

(3)(b-a)3·(a-b)2.

圖2

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生突破底數(shù)不同(互為相反數(shù))的冪的乘法運(yùn)算這一難點(diǎn),把不同底數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)是關(guān)鍵.引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成先觀察、后計(jì)算的良好運(yùn)算習(xí)慣;優(yōu)化算法,歸納總結(jié)出運(yùn)算的一般步驟(圖2),進(jìn)一步體驗(yàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想,培養(yǎng)學(xué)生善于反思的習(xí)慣,培育高階思維,提升運(yùn)算素養(yǎng)．

2.4 實(shí)踐應(yīng)用,體驗(yàn)成功

2022年11月29日,神舟十五號(hào)載人飛船發(fā)射成功,航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站,并與神舟十四號(hào)航天員乘組進(jìn)行在軌輪換,兩個(gè)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”．已知飛船飛行的速度約為7.9×103m/s,若以此速度飛行104s,問(wèn)飛船飛行的距離是多少?(用科學(xué)記數(shù)法表示)

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)時(shí)事熱點(diǎn)情境,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)愛(ài)國(guó)熱情.讓學(xué)生體會(huì)同底數(shù)冪的乘法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)數(shù)感和應(yīng)用意識(shí)．

2.5 拓展延伸,逆用法則

已知am=4,an=2,求am+n的值．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)逆用法則,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和綜合應(yīng)用能力．

2.6 收獲感悟,歸納總結(jié)

(1)經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們掌握了哪些知識(shí)?收獲了哪些學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)?

(2)為了研究整式的乘法,經(jīng)同學(xué)們優(yōu)選,從同底數(shù)冪的乘法開(kāi)始研究,請(qǐng)大家展望接下來(lái)將要繼續(xù)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容?能否類比同底數(shù)冪的乘法的研究方法去嘗試探索冪的乘方、積的乘方?(學(xué)生暢談后教師完善圖3并板書)

圖3

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生進(jìn)行反思與歸納,暢談疑惑與收獲．借助框架圖把不同階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),同時(shí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了展望與暢想,從知識(shí)、思想方法、研究路徑等角度使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知在更高層次上進(jìn)行了重構(gòu)．

3 幾點(diǎn)思考

3.1 關(guān)注邏輯,構(gòu)建整體認(rèn)知

《標(biāo)準(zhǔn)2022》建議整體把握教學(xué)內(nèi)容,注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,指出:“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系．”[1]考慮到學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律,教材編寫時(shí)通常把邏輯嚴(yán)密的知識(shí)按章、節(jié)拆解編排到不同年級(jí)中,平時(shí)教學(xué)中教師常常忽略將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)內(nèi)容及知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái),以致學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)較零散,只見(jiàn)樹(shù)木,不見(jiàn)森林,其數(shù)學(xué)認(rèn)知水平自然也就得不到明顯提升．因此,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),需注重前后勾聯(lián)、上下搭建,找準(zhǔn)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”,認(rèn)識(shí)到所學(xué)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)體系中的地位和作用,讓學(xué)生看到一些貌似無(wú)關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系,尋求相通的學(xué)習(xí)方法,促進(jìn)知識(shí)、方法、思想的再構(gòu)建,使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知形成有機(jī)的整體．

本節(jié)課在引入環(huán)節(jié)先讓學(xué)生回憶數(shù)的運(yùn)算,而后類比數(shù)的運(yùn)算得出整式運(yùn)算的基本框架,按運(yùn)算發(fā)展的脈絡(luò),由整式加減自然進(jìn)入整式乘法的學(xué)習(xí)．活動(dòng)2環(huán)節(jié)從四個(gè)整式中任選兩個(gè)構(gòu)成乘法算式,通過(guò)對(duì)所寫乘法算式進(jìn)行分類與轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生明白為什么學(xué)習(xí)整式乘法前要先學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算,為什么先從同底數(shù)冪的乘法開(kāi)始學(xué)習(xí),逐步找到整式乘法的邏輯起點(diǎn)——同底數(shù)冪的乘法．在課堂小結(jié)環(huán)節(jié),學(xué)生不僅從知識(shí)、思想方法、研究路徑等角度進(jìn)行了認(rèn)知重構(gòu),還順著尋找整式乘法的邏輯起點(diǎn)過(guò)程,倒過(guò)來(lái)對(duì)后續(xù)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了展望與暢想．學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、類比、歸納等探究活動(dòng)明晰了所學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈,建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu),用整體、聯(lián)系、發(fā)展的眼光看問(wèn)題,不僅從整體上感知數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化,數(shù)學(xué)認(rèn)知水平也在更高層次上得以重構(gòu),實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階．

3.2 知能并用,落實(shí)素養(yǎng)提升

新一輪課改以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,《標(biāo)準(zhǔn)2022》對(duì)核心素養(yǎng)的界定為:會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．課程目標(biāo)也實(shí)現(xiàn)了從知識(shí)立意到能力立意、再到素養(yǎng)立意的提升．知識(shí)、能力與素養(yǎng)三者相互關(guān)聯(lián),是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要指標(biāo).知識(shí)是顯性的、具體的,是發(fā)展能力的基礎(chǔ),掌握“四基”“四能”既是落實(shí)素養(yǎng)目標(biāo)提升的前提,也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)在日常教學(xué)中的具體化．教學(xué)中首先要注重激活知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn),內(nèi)化新知,構(gòu)建知識(shí)體系,其次要重視能力的提升,如抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、探究能力等,最終目標(biāo) 是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和靈感,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

本節(jié)教學(xué)中重視知識(shí)的理解和能力的提升.在建立法則環(huán)節(jié),為深化對(duì)算理的理解,注重?cái)?shù)式通性,由數(shù)的乘方入手,引導(dǎo)學(xué)生把底數(shù)或指數(shù)從數(shù)字逐步抽象為字母,通過(guò)質(zhì)疑與探究、抽象與推理,發(fā)現(xiàn)其中的運(yùn)算規(guī)律,歸納出同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則,探尋相通學(xué)習(xí)方法和研究一類代數(shù)問(wèn)題的一般路徑,使學(xué)生在掌握基本知識(shí)與基本技能的同時(shí)積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),找到“研究套路”,培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識(shí),發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、語(yǔ)言表達(dá)能力和代數(shù)推理能力．在運(yùn)用法則環(huán)節(jié),為掌握算法提高運(yùn)算技能,設(shè)置的例題從兩個(gè)同底數(shù)冪的乘法過(guò)渡到三個(gè)同底數(shù)冪的乘法,再到底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法,引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思維能力．例2中三個(gè)小題的底數(shù)分別是數(shù)字、單獨(dú)的字母和多項(xiàng)式,使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程,感受了代數(shù)思想．這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)其實(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)在課堂教學(xué)中的具體化,這是本節(jié)課的出發(fā)點(diǎn)與歸宿．

本節(jié)課從設(shè)計(jì)的立意到課堂的實(shí)施,從知識(shí)的傳授到能力的培養(yǎng),從學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)到素養(yǎng)的落實(shí),努力體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為目標(biāo)的教學(xué)理念.這樣的課堂超越了數(shù)學(xué)知識(shí)本身,使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)之趣、數(shù)學(xué)之理、數(shù)學(xué)之美,實(shí)現(xiàn)了情感再升華、能力真發(fā)展和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真提升的目標(biāo)．