注重通法　建構(gòu)模型　提升素養(yǎng)

[摘? 要] 代數(shù)教學(xué)中既要落實(shí)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，又要滲透整體觀念、代數(shù)結(jié)構(gòu). 幾何教學(xué)中既要關(guān)注基本圖形及結(jié)論，又要關(guān)注結(jié)論中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 2022年杭州中考卷第23題完美體現(xiàn)了代數(shù)與幾何相結(jié)合.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型;運(yùn)算能力;核心素養(yǎng)

近幾年杭州中考解答題的壓軸題都是代數(shù)幾何綜合題，代數(shù)幾何綜合題對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng)都提出了較高的要求. 這就要求大家平時(shí)要穩(wěn)扎基礎(chǔ)、善于反思小結(jié)，注重符號運(yùn)算，理解運(yùn)算對象、探究運(yùn)算意義、優(yōu)化算法;注重基本圖形，善于從較復(fù)雜的綜合的圖形中分解出基本圖形;理解基本圖形所對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論，在探索數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中體會(huì)蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，注重圖形的聯(lián)想，關(guān)注知識(shí)鏈的形成，關(guān)注一題多解，以達(dá)到較完善的知識(shí)體系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 下面以2022年杭州中考卷第23題為例，談?wù)勛约旱慕忸}感悟.

試題呈現(xiàn)

（2022年杭州中考數(shù)學(xué)第23題）在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)F在邊BC上，且AE=2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.

（1）如圖1，若AB=4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，求正方形EFGH的面積.

（2）如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點(diǎn)I，J，射線EH與射線AD交于點(diǎn)K

①求證：EK=2EH;

②設(shè)∠AEK=α，△FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2. 求證：=4sin2α-1.

解法探究

本題以正方形為背景設(shè)置問題，圖形屬于比較常見的類型，題干精煉，層次清晰，將正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等核心知識(shí)融合在一起. 各小問在知識(shí)點(diǎn)上互相連貫、相互關(guān)聯(lián);在能力要求上逐步遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，富有層次.

1. 關(guān)于第（1）問

第（1）問已知AB=4，點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，可得AE=BE=2，又由AE=2BF，得BF=1，自然聯(lián)想到利用勾股定理可得EF2=12+22=5，最后得到正方形EFGH的面積為EF 2=5. 此題重基礎(chǔ)，低起點(diǎn)，大部分學(xué)生能輕松解答，切實(shí)回應(yīng)了“雙減”政策的初衷，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心. 同時(shí)，此題又彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，先特殊后一般，而中點(diǎn)在初中幾何教學(xué)中又具有“舉足輕重”的特殊地位，對應(yīng)著代數(shù)式教學(xué)中的特殊值.

2. 關(guān)于第（2）①問

方法1：如圖3，證出△AEK∽△BFE，所以==2，即EK=2FE=2EH.

方法2：如圖4，過點(diǎn)H作HN⊥AB交AB于點(diǎn)N，易證△HNE≌△EBF，得到NE=BF=AE，EH=EF. 又因?yàn)镹H∥AK，所以==，即EK=2EH.

方法3：利用∠BEF=∠K，得到sin∠BEF=sin∠K，即=，所以有==，所以EK=2EF=2EH.

求證EK=2EH，EH又是正方形的其中一邊，較容易想到找到與EH相等的線段，再找出這條線段所在的三角形與線段EK所在的三角形是否相似，最后利用兩個(gè)三角形相似的對應(yīng)邊之比求證，如方法1，這是大部分同學(xué)能首先想到的方法;還可以聯(lián)想到利用“平行線截分線段成比例”得到線段的比值，所以先通過添加輔助線構(gòu)造平行，再根據(jù)已知條件證出=，如方法2;有時(shí)在沒有思路的情況下可以看看下一小題的結(jié)論中表示的是什么，如此題因sinα的提醒，還可以嘗試表示出相等的角的不同函數(shù)值，建立等式后再進(jìn)行變形得到想要的線段的比值，如方法3.

3. 關(guān)于第（2）②問

第（2）②問中，在限定條件下，求證=4sin2α-1，難度較第①問有所提升. 要求學(xué)生具有一定的邏輯推理能力、幾何直觀能力和代數(shù)運(yùn)算能力.

分析思路一：利用比值求證.

求圖形面積比，特別是出現(xiàn)三角形，首先考慮到的知識(shí)點(diǎn)是利用兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方. 圖中能快速鎖定△IHK≌△JGF，所以S1=S△KHI. 求，即求，自然會(huì)聯(lián)想到通過求而來. 這兩個(gè)三角形可證“斜A型”相似，于是可以用下面的方法求證.

方法1：如圖5，易證出△IHK≌△JGF. 由EK=2EH（（2）①已證），所以設(shè)EH=HK=1. 已知∠AEK=α，可以得到AK=EK·sinα=2sinα. 由△AEK∽△HIK得到==

這兩個(gè)方法都用了整體思想，解題過程簡潔明了，但對學(xué)生思維要求比較高，尤其是面積比恰好能轉(zhuǎn)化成某一個(gè)角的三角形函數(shù)，這對學(xué)生在復(fù)雜圖形中處理三角函數(shù)提出了更高的要求，導(dǎo)致很多同學(xué)在此出現(xiàn)了思維上的卡頓，造成了解題困難.

分析思路二：利用線段計(jì)算面積求證.

求圖形的面積比，還可以利用條件計(jì)算出圖形的面積，再求比值. 求圖形的面積，常規(guī)思路是用公式求出規(guī)則圖形的面積或用割補(bǔ)法求出不規(guī)則圖形的面積. 此題中關(guān)鍵線段的長度沒有給出，不妨設(shè)未知數(shù). 為了計(jì)算方便且因相等的線段較多，還可以設(shè)單位“1”. 根據(jù)已設(shè)關(guān)鍵線段的長度，用勾股定理或三角形相似可求出其他線段的長度.

方法3：如圖6，因?yàn)椤鰽EK∽△BFE，所以設(shè)BF=1，BE=x，則AE=2，AK=2x. 由此得到FG=EF=，S△AEK=2x，S△BEF=x，于是得到=

2=，所以S1=. 易證出△IHK≌△JGF，得到==-1=-1=-1，由sin∠EFB=sinα=，得到4sin2α-1=-1. 最后得到=4sin2α-1.

分析思路三：利用三角函數(shù)計(jì)算面積求證.

此題給出一個(gè)銳角α的條件，且要證的結(jié)論中涉及三角函數(shù)，所以考慮用三角函數(shù)值來表示線段的長度，進(jìn)而求出圖形的面積.

方法5： 設(shè)正方形EFGH的邊長為1. 利用∠FJG=∠KIH=∠AEK=α，可得GJ=HI=，所以S1=. 因?yàn)閠anα=，所以S1=. 又因?yàn)锳E=2cosα，AK=2sinα，所以S△AEK=2sinαcosα，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

方法6：如圖8，設(shè)BF=1，則AE=2. 得到AK=2tanα，所以S△AEK=2tanα. 又因?yàn)镋B= tanα，所以得到FG=EF=，GJ=. 所以S1===，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

用三角函數(shù)表示線段的長度，若出現(xiàn)在選擇題、填空題或較簡單的解答題中，學(xué)生一般都會(huì)表示. 但在較復(fù)雜的題目中，當(dāng)需要表示的線段較多時(shí)，很多學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閷@種形式不熟悉而不會(huì)使用這樣的方法，這種方法顯然對學(xué)生的要求更高.

上述方法中不管是怎樣的思路，最后求時(shí)都會(huì)轉(zhuǎn)化為求=-1.

分析思路四：對于幾何題，添加輔助線是常見的解題途徑. 當(dāng)遇到不規(guī)則四邊形時(shí)常用的方法是割補(bǔ)法，所以可以嘗試連接IE，之后有△IEH和△IKH全等，還能得到IE=IK. 不規(guī)則四邊形AEHI被分割成△AEI和△IEH，再去挖掘這兩個(gè)三角形之間的聯(lián)系.

方法7：如圖9，連接IE，設(shè)∠K=β. 因?yàn)椤螦EK+∠K=90°，∠AEK=α，所以sinα=cosβ. 易證△IEH≌△IKH≌△JFG. 利用△AEI和△KEI等高，得到=，即=，所以==2×=2cos∠AIE=2cos2β= 2（2cos2β-1）=4cos2β-2=4sin2α-2. 所以===+1=4sin2α-2+1=4sin2α-1.

方法7用到了余弦二倍角公式，對于初中的學(xué)生來說顯然要求過高，但對于少數(shù)已在研究高中數(shù)學(xué)的學(xué)生則可以嘗試進(jìn)行思考.

當(dāng)然，連接IE后也可以用思路一和思路二進(jìn)行求證，這里就不一一分享了.

1. 關(guān)注基本圖形，突出數(shù)學(xué)模型意識(shí)

基本圖形一般具有典型性、抽象性、綜合性等特征，當(dāng)遇到較復(fù)雜或綜合性較強(qiáng)的幾何圖形時(shí)，首先要從復(fù)雜的幾何圖形中剝離出解決此問所需要的基本圖形和基本數(shù)學(xué)模型，化繁為簡，化陌生為熟悉，化未知為已知. 本題第二問中，我們可以根據(jù)已知圖形識(shí)別出平時(shí)解題過程中常用到的模型：等高模型（△AEI和△KEI等高）、“A型”或“反A型”模型（△AEK與△HIK相似）、“8型”或“反8型”模型、一線三垂直模型（△AEK與△BFE相似）、中位線模型（NH是△AEK的中位線）等. 能想到什么數(shù)學(xué)模型，對于模型的熟悉和掌握程度都源于平時(shí)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累. 教學(xué)中教師要善于總結(jié)基本圖形，歸納數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)基本圖形和基本結(jié)論之間的聯(lián)系，從而提高學(xué)生的解題能力和學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和學(xué)科素養(yǎng).

2. 注重運(yùn)算習(xí)慣，突出數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果[1]. 此題第一問求面積，利用勾股定理絕大部分學(xué)生可以正確解出答案. 最后一問求證面積比值，很多學(xué)生看到4sin2α-1就已信心不足，出現(xiàn)畏難情緒. 此題的多種解法中多次利用三角函數(shù)表示一條線段、一個(gè)圖形的面積，有些學(xué)生解題思路清晰，但是算到后來由于運(yùn)算煩瑣而造成計(jì)算出錯(cuò). 在平時(shí)的教學(xué)中，有些教師往往只要求學(xué)生列出算式或者方程，計(jì)算這部分就直接省略了，認(rèn)為計(jì)算不是此問題解決的重點(diǎn)，最后口頭說一句“同學(xué)們課后去計(jì)算”. 顯然，這樣忽視了運(yùn)算方法和運(yùn)算結(jié)果的聯(lián)系，不利于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng). 所以教師要高度重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的運(yùn)算觀念，幫助學(xué)生形成良好的運(yùn)算習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[2].

3. 重視符號和概念，培育數(shù)學(xué)抽象思維

本題的最大亮點(diǎn)是最后一問=4sin2α-1：用三角函數(shù)值來表示一個(gè)四邊形與一個(gè)三角形的面積比. 這樣的一種表示方式，讓很多學(xué)生一下子不能理解. 如果比值是一個(gè)具體的數(shù)值，那學(xué)生的心理上會(huì)接受很多. 但細(xì)想，有關(guān)兩個(gè)圖形的面積比的問題我們遇到過很多：如2018年杭州中考卷23題第3小題求四邊形和三角形面積比的最大值，如圖10，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，作DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，設(shè)=k. （1）求證：AE=BF;（2）連接BE，DF，設(shè)∠EDF=α，∠EBF=β，求證：tanα=ktanβ;（3）設(shè)線段AG與對角線BD交于點(diǎn)H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求的最大值. 學(xué)生無法熟練運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的主要原因是教師在教學(xué)銳角三角函數(shù)時(shí)對其概念沒有進(jìn)一步地鞏固和應(yīng)用. 學(xué)生只停留在牢記銳角三角函數(shù)的概念及特殊角的銳角三角函數(shù)值，對于銳角三角函數(shù)的計(jì)算，主要還是已知三角函數(shù)值和其中一邊的長，求出其他邊長或角. 仰角俯角問題中出現(xiàn)的角度往往也是30°、45°、60°居多，即使出現(xiàn)的不是特殊角，題后都會(huì)備注這些角的正弦值、余弦值、正切值，進(jìn)而求出近似值. 學(xué)生平時(shí)更能接受數(shù)的表示，對于用符號表示的意識(shí)不夠強(qiáng)烈. 所以，這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中不能一味地為了考試而教學(xué)，要重視符號意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)概念的深入.

4. 開展變式教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)不只是記憶大量的學(xué)科知識(shí)與方法，還需要通過對題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪交蛲卣梗盐罩R(shí)的本質(zhì)，即透過現(xiàn)象看本質(zhì). 經(jīng)常進(jìn)行變式訓(xùn)練，可以使學(xué)生的思維達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，進(jìn)而減輕學(xué)生對學(xué)習(xí)幾何的畏懼心理.

在講解例題前，為了降低知識(shí)點(diǎn)之間的梯度，讓更多的學(xué)生能理解題意，可以先設(shè)計(jì)一道引題.

變式1（引題）：如圖11，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)F在邊BC上，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.直線HG分別與邊AD，BC交于點(diǎn)I，J，射線EH與射線AD交于點(diǎn)K. △FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2，BF=1，AE=2.

（1）若∠AEK=60°，你能得到哪些線段的長度和哪些圖形的面積？你能求出S1和S2嗎？

（2）若∠AEK=α，你能表示出哪些線段的長度和哪些圖形的面積？你能表示出S1和S2嗎？

在直角三角形中，第一小題先給出具體的角度，特別是特殊角度30°、45°、60°，這是學(xué)生最能接受且最喜歡的度數(shù). 利用直角三角形中特殊角度的三邊關(guān)系或銳角三角函數(shù)等知識(shí)可以求出另外兩條線段的長度及簡單圖形的面積. 第二小題用α表示角度，學(xué)生思考后用銳角三角函數(shù)來求線段的長度和圖形的面積. 如此安排，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生認(rèn)知的一般規(guī)律. 在這樣的鋪墊下再出示例題，由淺入深，思路更順.

待例題分析講解之后，教師還可以準(zhǔn)備類似的或略有提高的題目，幫助學(xué)生再次梳理相關(guān)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想.

變式2（引申）：如圖12，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的邊上，且AE=2ED，DF=2FC，AF交BE于點(diǎn)G，則=_____.

此題一看就是正方形中的“十字架”圖形，首先能夠得到AF⊥BE，要求兩條線段的比值，入手角度不同，則方法不同. ①聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖（如圖13），再巧設(shè)數(shù)字，特別適用于選擇題和填空題，能夠快速得到答案. ②聯(lián)想到“8型”相似（如圖14），可巧設(shè)求比值. ③聯(lián)想到三角形面積共邊（如圖15），可巧設(shè)求值. ④由于直角三角形的出現(xiàn)，還可以聯(lián)想到用三角函數(shù)作答（如圖16）.

開展變式教學(xué)對教師的要求較高，課前需精心備課，精選例題，用一道題及多個(gè)變式把所有要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)都串聯(lián)在一起. 因此，作為數(shù)學(xué)教師，我們要不斷地加強(qiáng)自身的研究能力和創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生，章建躍. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之二：運(yùn)算能力[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（11）：3-8

[2]胡歧曦. 基于核心素養(yǎng)? 培養(yǎng)運(yùn)算能力[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（Z2）：36-38.

作者簡介：沈曉音（1981—），中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.