打破思維定式　回歸問題本源　提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[摘? 要] 近年來壓軸題的解題方法逐漸回歸利用基本方法和基本圖形進(jìn)行解決，更側(cè)重于對(duì)課本和課標(biāo)中核心知識(shí)的考查.文章以2022年上海中考25題為例，通過剖析各個(gè)問題的不同解法，闡述在新課標(biāo)背景下，如何回歸問題本源，打破思維定式，借助基本圖形和基本方法進(jìn)行壓軸題教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 中考;壓軸題;新課標(biāo);核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在學(xué)業(yè)質(zhì)量板塊指出“能運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行推論證明，初步掌握幾何證明方法，進(jìn)一步增強(qiáng)直觀幾何、空間觀念和推理能力”[1]. 2022年上海中考25題，題型新穎，緊扣課標(biāo)，層次分明，并能跳出“套路”，運(yùn)用常見的基本圖形和基本方法進(jìn)行問題解決，跳脫“思維定式”，回歸問題本源.

綜觀整道題目，命題的意圖逐步由知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變，由能力立意向素養(yǎng)立意實(shí)現(xiàn)，側(cè)重考查了學(xué)生的感悟、意識(shí)、思想、能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到了提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的[2].

試題呈現(xiàn)

（2022年上海中考第25題）如圖1，在平行四邊形ABCD中，P是BC的中點(diǎn)，AP與BD交于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)EA=EC時(shí)，

① 求證：平行四邊形ABCD是菱形;

② 若AB=5，AE=3，求BD的長.

（2）以A為圓心、AE為半徑的圓A，以B為圓心、BE為半徑的圓B，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)F，若F在直線CE上，且滿足AE=CE，求的值.

試題評(píng)價(jià)

本題是上海卷解答題的最后一道題，試題的背景主要圍繞平行四邊形和中點(diǎn)進(jìn)行展開，將特殊四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解三角形、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理和圓與圓的位置關(guān)系等問題進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如基本圖形分析法、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等，同時(shí)也著重體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯推理能力，這些都有助于考查學(xué)生的核心素養(yǎng).

1. 緊扣教材，一題多解，搭建知識(shí)間的聯(lián)系

新課標(biāo)中指出，“要能理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索并表述論證過程”. 要想完整而又準(zhǔn)確地表述論證過程，就需要搭建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)也應(yīng)了如指掌. 試題緊扣教材，梯度設(shè)置合理，兼具考查和選拔兩種功能.

本題的第（1）問是在EA=EC背景下，第①問是證明平行四邊形ABCD是菱形，可以從滬教版八年級(jí)下冊(cè)的“菱形的判定”入手;第②問是求菱形對(duì)角線的長度，圍繞滬教版九年級(jí)上冊(cè)的“三角形一邊的平行線”與重心和平行線的性質(zhì)定理，從而借助或構(gòu)造基本圖形，兩次利用勾股定理進(jìn)行求解;本題的第（2）問是在滬教版九年級(jí)下冊(cè)“相交兩圓中連心線和公共弦”問題的背景下，借助或構(gòu)造基本圖形，利用比例線段和解三角形的相關(guān)性質(zhì)助力問題的解決.

2. 發(fā)揮聯(lián)想，化繁為簡，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)

壓軸題相較于其他幾何證明題而言，其最大的難度在于將復(fù)雜圖形“抽絲剝繭”，通過發(fā)揮聯(lián)想，抽象出復(fù)雜圖形中的基本圖形，并運(yùn)用我們常見的基本方法進(jìn)行解決.

本題的第（1）問主要是利用“菱形的對(duì)角線互相垂直平分”這條基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)“BP-AD組成的X型”基本圖形;本題的第（2）問主要是利用“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”這條基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)兩組“X型”基本圖形. 整道題主要圍繞著比例線段、勾股定理和解三角形等基本方法來展開，由此考查學(xué)生在邏輯推理、直觀幾何和空間觀念方面的核心素養(yǎng).

解法賞析

1. 第25題第（1）問第①題解法賞析

第25題第（1）問的第①題考查了菱形的判定，可以從以下兩個(gè)角度切入：思路1主要圍繞“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”展開，通過連接AC，利用“等腰三角形的三線合一”和“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”進(jìn)行證明;思路2主要圍繞“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”展開，利用中線的性質(zhì)進(jìn)行輔助線的添加，或“倍長中線”，或“截長補(bǔ)短”，方法比較多樣.

解法1? 如圖2， 連接AC，與BD相交于點(diǎn)O.

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以AO=CO. 因?yàn)锳E=CE，所以AC⊥BD. 因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以平行四邊形ABCD為菱形.

解法2? 如圖3，延長CE交AB于M.

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以AD∥BC. 所以===. 又因AB∥CD，所以===. 所以ME=CE，EP=AE，故ME=EP. 因?yàn)镸E=EP，∠AEM=∠CEP，AE=CE，所以△AME≌△CPE. 所以AM=CP，即AB=CD，故平行四邊形ABCD為菱形.

解法3? 如圖4，過點(diǎn)C作CH∥BD交AP延長線于點(diǎn)H.

因?yàn)镃H∥BD，所以∠1=∠H. 因BP=CP，∠BPE=∠CPH，所以△BPE≌△CPH，即EP=PH. 因?yàn)锳D∥BC，所以==，即AE=2EP. 所以AE=EH，即CE=EH，則∠H=∠ECH. 因?yàn)锽D∥CH，所以∠3=∠ECH，則∠2=∠3. 故△ADE≌△CDE，所以AD=CD. 所以平行四邊形ABCD為菱形.

解法4? 如圖5，過點(diǎn)C作CF∥AP交BD于點(diǎn)F.

因?yàn)镃F∥AP，所以∠1=∠2. 因?yàn)锳BCD為平行四邊形，故AD=BC，AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 于是可得△ADE≌△CBF，所以AE=CF，BF=DE，即BE=DF. 因?yàn)锳E=CE，所以CE=CF，即∠2=∠3，于是∠CEB=∠CFD. 由此可推出△BEC≌△DFC，所以BC=CD. 所以平行四邊形ABCD為菱形. （相同作法：在BD上截取BF=DE或DF=BE）

解法5? 如圖6，延長AP，DC交于點(diǎn)G.

易證△ABP≌△GCP，所以AB=CG. 因?yàn)锳D∥BC，所以==2. 設(shè)EP=a，則AE=2a，CE=AE=2a，于是AP=PG=3a，EG=4a，故==，∠PEC=∠CEP，所以△ECP∽△EGC，可得==，即CG=AB=2CP. 所以AB=BC，故平行四邊形ABCD為菱形.

2. 第25題第（1）問第②題解法賞析

第25題第（1）問的第②題考查了求菱形對(duì)角線的長度，在第①題的基礎(chǔ)上，借助“BPAD組成的X型”基本圖形，發(fā)現(xiàn)相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系，借助方程思想進(jìn)行設(shè)元，利用兩次勾股定理，求出所設(shè)未知數(shù)，從而求出BD的長度.本題解法的多元性主要體現(xiàn)在構(gòu)造不同的直角三角形，選擇不同的三角形就會(huì)產(chǎn)生不同的方程，但是整體的解題思路還是一致的.

解法1? 如圖2，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD為菱形，所以AD∥BC，AD=BC，于是得到==. 設(shè)BE=2a，則DE=4a，EO=a. 所以AO2=AE2-EO2=9-a2，AO2=AD2-DO2=25-9a2，于是得到a2=2，解得a=±（舍去負(fù)值），所以BD=6a=6.

解法2? 如圖2，設(shè)AO=a，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD為菱形，所以AD∥BC，BD=2BO=2DO. 在Rt△AOE中，EO==;在Rt△AOD中，DO==，即BE=BO-OE=-，DE=DO+OE=+. 因?yàn)锳D∥BC，所以==2，即DE=2BE，故+=2（-），化簡得到3=，解得a=±（舍去負(fù)值），故a=，即BD=2DO=6.

解法3? 如圖7，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，過點(diǎn)D作DN⊥BC.

3. 第25題第（2）問解法賞析

第25題第（2）問是在相交兩圓和平行四邊形背景下的問題.根據(jù)題意，如圖8，由AB是連心線，EF是公共弦（與線段AB交于點(diǎn)G），可得AB垂直平分EF，即CF⊥AB，因此求的值就轉(zhuǎn)化為確定點(diǎn)G和點(diǎn)E分別在線段AB和線段CG上的具體位置.因此，當(dāng)確定了點(diǎn)G和點(diǎn)E的具體位置后，借助方程思想和勾股定理，即可求出的值.

解法1? 如圖9，連接AC.

因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，P為BC中點(diǎn)，所以在△ABC中，點(diǎn)E為重心，連接CE交AB于點(diǎn)G，則G為AB中點(diǎn). 因?yàn)锳B為連心線，EF為公共弦，所以EG⊥AB. 所以EG垂直平分AB，即AE=BE. 設(shè)AE=2x，則CE=2x，因?yàn)辄c(diǎn)E為重心，所以GE=x. 在Rt△AGE中，AG==x，即AB=2x;在Rt△BCG中，BC==2x，所以==.

解法3? 由解法1和解法2得到的提示，要證明G為AB的中點(diǎn)，可有多種添加平行線構(gòu)造“A型”基本圖形或“X型”基本圖形的方法[3]. 例如：

解法（1）：如圖11，過點(diǎn)P作PM∥AB交CF于M.

因?yàn)锳D∥BP，所以==. 因?yàn)镻M∥AB，所以==，==. 所以BG=AG.后同解法1.

解法（4）：如圖14，延長AE，DC交于點(diǎn)M.

因?yàn)锳B∥CD，所以===. 因?yàn)锳B=CD，所以AB=CM. 因?yàn)锳B∥CD，所以==，即AG=AB.

解法4? （利用梅涅勞斯定理）

將△ABP視為梅氏三角形，CG為截線，由梅涅勞斯定理得··=1，由P為BC中點(diǎn)，AE=2EP，可得BG=AG.后同解法1.

教學(xué)反思

1. 重“四基四能”，輕“解題套路”

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了“以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了‘四基的獲得與發(fā)展，發(fā)展‘四能，從而形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀”. 回顧2022年上海中考第25題，題目背景和問題設(shè)置更加新穎，對(duì)于喜歡“按套路”解題的學(xué)生而言，具有不小的挑戰(zhàn)性. 對(duì)于該題的第（2）問而言，證明G是AB的中點(diǎn)是本道題的難點(diǎn)，很多同學(xué)陷入了“逢壓軸必添線”的怪圈中，添加了許多輔助線，最后無從下手. 其實(shí)仔細(xì)分析圖形，其中隱含了我們最常見的“平行型”問題，利用兩次比例線段即可推出G為AB中點(diǎn)，或利用重心的性質(zhì)更為簡便.

其實(shí)，目前中考的不少題目都來源于教材經(jīng)典例題或練習(xí)題的改編. 在教學(xué)時(shí)，若能將這些例題中的知識(shí)點(diǎn)延伸拓展，設(shè)計(jì)出一系列的變式題組，便可讓學(xué)生在這些數(shù)學(xué)活動(dòng)中充分探究，從而積累問題解決的經(jīng)驗(yàn). 相較于讓學(xué)生去記憶晦澀的模型，這樣的方式更能激發(fā)學(xué)生自主探究的興趣和能力，從而激勵(lì)學(xué)生在面對(duì)陌生或困難情境時(shí)自主發(fā)現(xiàn)問題并解決問題.

2. 重“問題導(dǎo)向”，輕“實(shí)戰(zhàn)演練”

對(duì)于解決幾何壓軸題，其最大的難點(diǎn)就在于搭建“已知”和“未知”的橋梁. 對(duì)于上述題目第（1）問的第①題而言，雖然有5種做法，但是最佳的做法還是連接對(duì)角線，利用“等腰三角形的三線合一定理”證明對(duì)角線互相垂直. 不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)于中點(diǎn)“情有獨(dú)鐘”，常常聯(lián)想到“倍長中線法”，盡管此種做法也成立，但是相較于第一種做法，顯然更加復(fù)雜. 在日常教學(xué)中，我們提倡“一題多解”，但是更需要“因地制宜”. 如當(dāng)出現(xiàn)中點(diǎn)問題時(shí)，我們可以進(jìn)行這樣的聯(lián)想（如圖15），再根據(jù)條件和結(jié)論篩選出最恰當(dāng)?shù)慕忸}策略.

很多學(xué)生不能聯(lián)想到第一種做法，其實(shí)也暴露了其對(duì)基本圖形性質(zhì)不熟悉的問題. 尤其在“雙減”政策下，教師更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的“想象力”和“判斷力”，要能根據(jù)具體問題具體分析，選擇最恰當(dāng)、最合適的方法.

3. 重“以題會(huì)類”，輕“以題見類”

教師若采用“就題論題”的傳統(tǒng)練習(xí)題教學(xué)模式，缺乏對(duì)知識(shí)本源的挖掘和方法的歸納，便只能起到“蜻蜓點(diǎn)水”之效. 雖然學(xué)生見識(shí)了多種類型，但遇到具體問題該如何處理時(shí)，恐怕只能依靠其自悟能力或平時(shí)量的積累所形成的“條件反射”. 因此學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的壓軸題時(shí)，往往顯得手忙腳亂. 諸如上述題目第（2）問的解題方法在歷年上海中考中多有體現(xiàn)（如圖16），但是很多學(xué)生雖對(duì)歷年中考題的解法了然于胸，但是當(dāng)換了背景或改變了部分條件后就“寸步難行”，說到底，還是對(duì)此類問題的方法沒有精通，難以達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效.

事實(shí)上，教師若能對(duì)每類問題逐一舉例剖析，講透講精，分析其中蘊(yùn)含的基本圖形和推廣常見的基本方法，則一定能把培養(yǎng)學(xué)生“以題會(huì)類”的遷移能力落到實(shí)處，從而在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生真正做到“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界和會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]李永明.凸顯核心概念? 彰顯素養(yǎng)目標(biāo)——2019年甘肅省中考數(shù)學(xué)卷第28題解析與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（16）：38-40.

[3]萬妍青. 巧構(gòu)基本圖形，助力問題解決——以2020年上海中考25題第（3）小題為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（35）：12-15.

作者簡介：萬妍青（1991—），中學(xué)一級(jí)教師，上海市寶山區(qū)教學(xué)能手，上海市虎林中學(xué)教研組長，寶山區(qū)長江路教育集團(tuán)數(shù)學(xué)學(xué)科組組長，獲2020年上海市中小學(xué)優(yōu)秀單元作業(yè)、試卷案例征集活動(dòng)一等獎(jiǎng).