問題引領(lǐng)　整體建構(gòu)　落實素養(yǎng)

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以“促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展”為出發(fā)點(diǎn)，重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)重視知識的整體關(guān)聯(lián)，結(jié)合教學(xué)實際設(shè)計一些開放性、探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程和建模過程，從而提升教學(xué)實效，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題引領(lǐng);整體建構(gòu);學(xué)習(xí)與發(fā)展;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)習(xí)是一個不斷積累、主動建構(gòu)的過程. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)打破機(jī)械“灌輸”的模式，著眼于整體和全局，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而逐步建構(gòu)完善的知識結(jié)構(gòu)和體系，應(yīng)讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，培養(yǎng)他們終身學(xué)習(xí)的能力. 筆者在教學(xué)“解直角三角形”時，通過由淺入深的問題引導(dǎo)學(xué)生逐層探究，彰顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等能力在聯(lián)系、遷移、交流中得到了較大提升，現(xiàn)將教學(xué)過程整理成文，供參考，若有不足，請指正.

教學(xué)背景分析

1. 學(xué)情分析

通過前一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知曉直角三角形中的兩個銳角互余，并能靈活應(yīng)用勾股定理解決相應(yīng)的與邊有關(guān)的問題. 本節(jié)課作為“解直角三角形”的第二課時，旨在通過對舊知的延伸與完善，讓學(xué)生將邊與角建立聯(lián)系，從而促進(jìn)思維的生長.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解和掌握解三角形的必要條件和方法;

（2）通過“割補(bǔ)”的方法將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，并利用解直角三角形經(jīng)驗解四邊形;

（3）感悟轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的價值，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐漸建立個體認(rèn)知體系.

3. 教學(xué)重、難點(diǎn)

（1）掌握解直角三角形和解斜三角形的必要條件和方法.

（2）知識體系框架的建構(gòu)及數(shù)學(xué)模型的建立.

教學(xué)過程

1. 新舊聯(lián)系，激發(fā)探究欲

問題1：如圖1所示，AB=6，∠B=30°，過點(diǎn)A作AC⊥BM，垂足為C. 你能解這個直角三角形嗎？

追問1：解直角三角形至少需要幾個條件？

預(yù)設(shè)：至少需要兩個條件.

追問2：是任意兩個條件都可以嗎？

預(yù)設(shè)：其中一個條件必須是邊.

追問3：解直角三角形時，一般涉及哪些知識和方法？

預(yù)設(shè)：勾股定理、銳角互余、銳角三角函數(shù)等.

教學(xué)說明通過舊知回顧并總結(jié)解直角三角形的相關(guān)知識與方法，為新知探究做好鋪墊. 同時，通過有效追問引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，從而提升教學(xué)實效.

2. 合作探究，提煉模型

問題2：如果過點(diǎn)A的直線與射線BM相交但不垂直，那么交點(diǎn)C可能在哪里呢？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)C可能在垂足的左側(cè)或者垂足的右側(cè).

教學(xué)說明通過探究點(diǎn)C的不同位置，實現(xiàn)由直角三角形到斜三角形的轉(zhuǎn)化.

問題3：如圖2所示，AB=6，∠B=30°，在射線BM上任取一點(diǎn)C，使△ABC是斜三角形. 根據(jù)現(xiàn)有條件，是否可以解這個斜三角形呢？如果不可以，是否可以添加一個角這一條件呢？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)C在垂足的左側(cè)時，∠A為銳角;點(diǎn)C在垂足的右側(cè)時，∠A為鈍角.

教學(xué)說明問題3是一個開放性問題，解決方法較多. 教學(xué)中，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法梳理，使學(xué)生的思維從無序變有序，從而提高學(xué)生的思維水平. 為了計算方便，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生添加一些特殊角，如15°，30°，45°，75°，120°，135°等.

問題4：以45°角和135°角為例，你能構(gòu)造出怎樣的三角形？這些斜三角形能解嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過思考與交流，得到如圖3～圖6所示四個斜三角形.

教學(xué)說明圖3和圖4是添加∠C的度數(shù). 添加∠C的度數(shù)后，已知條件為兩角與其中一個角的對邊，于是過點(diǎn)A作射線BC的垂線便可構(gòu)造兩個直角三角形，而所構(gòu)造的直角三角形有已知邊，可以求解. 圖5和圖6是添加∠A的度數(shù)，已知條件為兩角及夾邊，于是過點(diǎn)C作AB的垂線，所構(gòu)造的直角三角形中沒有已知邊，但可以設(shè)其中一條邊的長為x，利用方程的思想方法來求解.

問題5：是否可以通過添加三角函數(shù)或添加邊等條件來解斜三角形呢？

教學(xué)說明引導(dǎo)學(xué)生與添加角的方法進(jìn)行類比，通過多角度分析讓學(xué)生掌握解決此類問題的策略. 同時，通過經(jīng)歷操作、反思、類比等過程進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，提高學(xué)生的思維水平. 在探索以上問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特殊條件出發(fā)，如添加BC的長度為8，AC的長度為3，tanC=等條件，通過降低運(yùn)算難度來提供更多思考空間，從而提升學(xué)生的解題信心.

問題6：如果只給出斜三角形三條邊的長度，那么這個斜三角形是否可解呢？例如，已知△ABC三條邊的長分別為13，14，15，如何解△ABC呢？

教學(xué)說明結(jié)合以上解題經(jīng)驗，學(xué)生會主動構(gòu)造直角三角形，通過設(shè)其中一條邊為x，運(yùn)用方程的思想方法分別求出所構(gòu)造的直角三角形的各邊，并結(jié)合三角函數(shù)求出各角的度數(shù).

問題7：說一說你掌握了哪幾種添加條件的方法，在解斜三角形的過程中分別用了哪些方法.

教學(xué)說明引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，歸納解斜三角形的必要條件，體會化斜為直數(shù)學(xué)思想方法的重要價值. 在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造“背靠式”和“疊合式”兩種雙直角三角形的基本模型（如圖7所示），為后期的靈活應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ).

3. 活學(xué)活用，鞏固新知

例1：如圖8所示，在四邊形ABCD中，AB=6，∠B=60°，BC=8，AD=4，CD=2，∠D=135°，求四邊形ABCD的面積.

教學(xué)說明四邊形ABCD為一個不規(guī)則的四邊形，要求出四邊形ABCD的面積，需要將四邊形進(jìn)行“割補(bǔ)”，將其轉(zhuǎn)化為若干個可以求解的三角形，最終計算出不規(guī)則四邊形的面積. 分析發(fā)現(xiàn)，例1可通過分割的方法構(gòu)造出如圖9所示若干個直角三角形，并通過求直角三角形的面積最終求出四邊形ABCD的面積.

例2：如圖10所示，在四邊形ABCD中，AB=6，∠B=30°，∠A=∠C=90°，CD=2，求四邊形ABCD的面積.

教學(xué)說明已知∠A=∠C=90°，∠B=30°，利用分割的方法會破壞這些重要的信息，從而使運(yùn)算復(fù)雜化，因此，求解該題時應(yīng)采用補(bǔ)全法，通過添加輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形，如圖11所示.

在新知探究階段，學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的解題經(jīng)驗，為了檢測學(xué)生的知識掌握情況和思維發(fā)展水平，教師一改往日簡單、機(jī)械、重復(fù)的練習(xí)，給出了更具探究性的四邊形問題，引導(dǎo)學(xué)生通過“補(bǔ)全”和“分割”的方法將問題向熟悉化、簡單化轉(zhuǎn)化，這樣既促進(jìn)了新知的鞏固，又讓學(xué)生在逐層探究中理解了問題的本質(zhì)，提高了應(yīng)用水平.

4. 課堂小結(jié)，完善結(jié)構(gòu)

問題8：請大家回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，說說你有哪些收獲、哪些疑惑.

教學(xué)說明該環(huán)節(jié)以小組合作交流的方式進(jìn)行，讓學(xué)生通過對“獲”與“惑”的思考，逐步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)完善的知識框架圖，從而使學(xué)生的思維更加清晰化、深刻化，并提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

1. 以聯(lián)系為核心，完善知識體系

在本節(jié)課教學(xué)中，教師從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，通過一個開放性的圖形幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固“雙基”;然后引導(dǎo)學(xué)生改變交點(diǎn)C的位置，在化斜為直的轉(zhuǎn)化中幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗;接著，將三角形問題拓展到四邊形中，讓學(xué)生通過對四邊形問題的研究進(jìn)一步強(qiáng)化對新知的理解. 在以上教學(xué)活動中，由易到難、由淺入深的探究，能讓學(xué)生的思維螺旋上升，實現(xiàn)思維自然生長. 同時，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的梳理與歸納，并帶領(lǐng)學(xué)生感悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生逐漸將新知內(nèi)化至原有知識體系中，以此逐漸完善認(rèn)知體系.

2. 以問題為主線，提高教學(xué)效率

教學(xué)中，教師精心研究教學(xué)、研究學(xué)生，以學(xué)生已有認(rèn)知為起點(diǎn)，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)設(shè)計精心設(shè)計問題，讓學(xué)生在問題的解決中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，提煉數(shù)學(xué)思想方法，提高教學(xué)有效性. 本節(jié)課以直角三角形為載體，通過由淺入深的問題激發(fā)了不同層次學(xué)生的探究欲，使學(xué)生的思維更活躍，課堂更高效.

3. 以學(xué)生為主體，提升學(xué)習(xí)能力

在本節(jié)課教學(xué)中，教師以問題為主線引導(dǎo)學(xué)生積極探究，充分調(diào)動了學(xué)生參與課堂的積極性，發(fā)揮了學(xué)生的主體性，提高了學(xué)生的自主探究能力. 例如，在解斜三角形的過程中，教師先啟發(fā)學(xué)生添加一個角，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比添加邊、三角函數(shù)等條件，使學(xué)生的思維不斷縱深，從而提升學(xué)習(xí)能力.

總之，在課堂教學(xué)中，教師要少一些“灌輸”，要引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

作者簡介：鄭燕穗（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，廣東省中小學(xué)“百千萬人才培養(yǎng)工程”初中理科名教師，汕尾市中小學(xué)名教師工作室主持人.