結(jié)構(gòu)-形狀記憶合金慣容器協(xié)同系統(tǒng)的控制性能

孫曉東，曹黎媛，李春祥，馬汝為

（上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院土木工程系，上海 200444）

引言

在地震、極端風(fēng)等激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的振動(dòng)響應(yīng)。為有效降低結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的研究必不可少［1-2］。近年來(lái)，由于形狀記憶合金（SMA）具有優(yōu)越的超彈性特性和形狀記憶效應(yīng)，在土木工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究及應(yīng)用［3］。SMA 能控制由地震或風(fēng)引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，并能夠降低結(jié)構(gòu)的殘余變形，被認(rèn)為是控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的理想材料［4］。許多學(xué)者對(duì)SMA 阻尼器及其減振性能開(kāi)展了系統(tǒng)性研究。Shi 等［5］提出了一種自定心防屈曲支撐（Self-Centering Buckling-Restrained Brace，SC-BRB），它由基于SMA 拉索的自定心系統(tǒng)和全鋼BRB 組成；研究給出了SC-BRB 中SMA 拉索的理想退火方案和訓(xùn)練程序，并對(duì)SC-BRB 的力學(xué)性能進(jìn)行了數(shù)值模擬和參數(shù)研究。譚平等［6］提出了基于SMA-壓電阻尼器的巨-子結(jié)構(gòu)智能控制體系，研究表明這種智能體系可有效提高巨-子結(jié)構(gòu)的抗震安全性。李祥秀等［7］提出了在巨-子結(jié)構(gòu)隔震層處或子結(jié)構(gòu)頂部與主結(jié)構(gòu)連接處施加SMA-壓電智能復(fù)合阻尼器，形成一種巨-子結(jié)構(gòu)智能隔震體系，并對(duì)該體系的抗震性能進(jìn)行了研究。展猛等［8］研發(fā)了一種SMA 壓電混合減震裝置，并對(duì)其進(jìn)行了減震控制試驗(yàn)及數(shù)值分析研究。錢(qián)輝等［9］研制開(kāi)發(fā)了一種自復(fù)位形狀記憶合金復(fù)合摩擦阻尼器，將其應(yīng)用于偏心結(jié)構(gòu)并進(jìn)行了振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究。在Smith［10］提出慣容器（Inerter）概念之后，學(xué)者們開(kāi)展了各種帶有慣容器的耗能減振裝置研究，例如調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（Tuned Viscous Mass Damper，TVMD）［11］、調(diào)諧慣 容器阻尼器（Tuned Inerter Damper，TID）［12］、調(diào)諧質(zhì) 量阻尼 器慣容器（Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）［13］，串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器（Tuned Tandem Mass Dampers-Inerters，TTMDI）［14］。為充分 挖掘SMA 的優(yōu) 勢(shì)，Zhang 等［15］提出了一種慣容增強(qiáng)自定心阻尼系統(tǒng)（Inerter-enhanced Self-Centering Damping System，ISCDS），該系統(tǒng)在基于SMA 的自定心阻尼器基礎(chǔ)上并聯(lián)添加一個(gè)杠桿式慣容器（Lever-Based Inerter，LBI），研究結(jié)果表明，與SCDS 相比，ISCDS 加固的橋梁排架在減少自定心材料的使用、降低最大加速度和降低最大基底剪力方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。Tiwari 等［16］提出了SMA-TMDI，并將其用于控制連體單自由度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。Zhang 等［17］提出了一種SMA阻尼慣容器（Shape Memory Alloys Damper Inerter，SDI），并將其用于單自由度結(jié)構(gòu)的減震控制。為發(fā)揮傳統(tǒng)形狀記憶合金阻尼器和慣容器的協(xié)同作用，進(jìn)一步提高其有效性和魯棒性，使其能夠廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程中，在上述研究的基礎(chǔ)上提出了一種形狀記憶合金慣容器（Shape Memory Alloy Inerter，SMAI）系統(tǒng)。運(yùn)用隨機(jī)等效線性化方法以及定義的結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)均方位移目標(biāo)函數(shù)，在頻域內(nèi)對(duì)SMAI 系統(tǒng)進(jìn)行了迭代優(yōu)化分析，進(jìn)一步在時(shí)域內(nèi)驗(yàn)證了其控制性能。

1 結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)

1.1 形狀記憶合金

超彈性SMA 是SMAI 系統(tǒng)的重要組成部分，先討論其力-變形關(guān) 系。Yan 等［18］提出的改進(jìn)SMA本構(gòu)關(guān)系，已經(jīng)在一些研究中［14］得到廣泛應(yīng)用。

超彈性SMA 的具體力-變形關(guān)系如圖1 所示。

圖1 超彈性SMA 的力-變形關(guān)系Fig.1 Force-deformation relationship of the super-elastic SMA

在該本構(gòu)關(guān)系中，SMA 元件的非線性恢復(fù)力表示為：

式中φ為SMA 屈服后與屈服前的剛度比（即SMA 在馬氏體中的剛度與奧氏體中的剛度之比）；kSMA為SMA 在奧氏 體中的 初始剛 度；xt為SMA 的位移；zs為遲滯位移，由下式給出：

式中a和b分別為奧氏體相變的彈性極限和觸發(fā)馬氏體相變的位移極限；sign（x）表示符號(hào)函數(shù)，由如下公式確定：

采用隨機(jī)等效線性化方法，將式（2）中的非線性項(xiàng)zs替換為等效線性化形式zeq，則Yan 等［18］本構(gòu)關(guān)系的隨機(jī)線性化形式為：

式中keq和ceq為等效線性系數(shù)。

使實(shí)際非線性zs與等效線性化zeq之間的均方誤差最小化：

式中 E 表示期望算子。

求解式（5）和（6），keq和ceq可以分別表示為：

將式（2）分別代入式（7）和（8）可得：

式中和分別為xt和的均方根值；er（fx）為誤差函數(shù)。

將式（4）代入式（1），SMA 恢復(fù)力的等效形式為：

SMA 的隨機(jī)等效阻尼、剛度和恢復(fù)力可分別表示為：

1.2 慣容器

慣容器是SMAI 系統(tǒng)的重要組成部分，是一種兩端點(diǎn)元件，其輸出力與兩端的相對(duì)加速度成正比。慣容元件的兩個(gè)端點(diǎn)的相對(duì)加速度可以通過(guò)改變內(nèi)部組件的運(yùn)動(dòng)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)，如平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換［11］的改變等方式。其物理實(shí)現(xiàn)形式以平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換裝置最為多見(jiàn)，此類(lèi)慣容又稱機(jī)械式慣容。機(jī)械式慣容的慣容系數(shù)本質(zhì)上是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行等效平動(dòng)化的宏觀參數(shù)。目前常見(jiàn)的機(jī)械式慣容器類(lèi)型是齒條齒輪機(jī)構(gòu)。圖2 所示為齒條齒輪飛輪裝置，該系統(tǒng)由兩個(gè)半徑為Ri和質(zhì)量為mi（i=1，2）的飛輪組成，可自由旋轉(zhuǎn)，通過(guò)小齒輪機(jī)構(gòu)連接到直線齒條。

圖2 慣容器物理實(shí)現(xiàn)模型Fig.2 Physical implementation model of inerter

圖3 慣容器力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of inerter

式中min為慣容器的表觀質(zhì)量（或稱為慣性系數(shù)）。

1.3 SMAI 系統(tǒng)

目前形狀記憶合金阻尼器存在SMA 變形量小或 SMA 利用率低的缺點(diǎn)，并不能充分發(fā)揮SMA 的潛在性能，所以考慮將SMA 與慣容器相結(jié)合，利用慣容器的負(fù)剛度效應(yīng)實(shí)現(xiàn)SMA 有效變形的放大，起到耗能增效的作用，以進(jìn)一步抑制結(jié)構(gòu)響應(yīng)。為更好地利用慣容器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)減振的目的，通常慣容器需要有耗能元件的配合。SMA 擁有超彈性特性和高阻尼特性，是理想的耗能元件，所以考慮將SMA 與慣容器協(xié)同工作組成SMAI 系統(tǒng)，該系統(tǒng)是有效可行的耗能減振裝置。SMAI 系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖4（b）中紅色虛線框所示。

圖4 外激勵(lì)作用下無(wú)控單自由度結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型及外激勵(lì)作用下單自由度結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.4 Mechanical model of uncontrolled SDOF structure under external excitation and mechanical model of SDOF structure-SMAI system under external excitation

黏滯阻尼器是目前工程中常用的耗能減振裝置，但是存在價(jià)格偏高、密封性不佳及耐久性差等問(wèn)題，特別是內(nèi)部材料處于壓縮狀態(tài)時(shí)會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)剛度而影響其性能，并且在工程應(yīng)用中也常常面臨著諸如老化、可靠性差、維護(hù)成本高等問(wèn)題，這些都會(huì)影響其減振性能并增加后期維護(hù)成本［19-21］。而SMAI 系統(tǒng)中慣容的耗能增效特性會(huì)提高其耗能效率，并且SMA 具有抗疲勞、高耐久性等優(yōu)點(diǎn)［3-4］。因此在工程抗震、抗風(fēng)領(lǐng)域中，SMAI 系統(tǒng)相較于黏滯阻尼器將具備更優(yōu)的減振控制性能和更低的后期維護(hù)成本。

1.4 結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的動(dòng)力方程

在外激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖4（b）所示。SMAI 系統(tǒng)由慣容器和SMA 兩部分組成。外激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中ms，cs和ks分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；xs為結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移；Fin為慣容器的反力；P（t）為一隨機(jī)激勵(lì)。

圖5 結(jié)構(gòu)-SMAI 的簡(jiǎn)化形式Fig.5 Simplified form of structure-SMAI

在外激勵(lì)下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可重新整理為：

式中ωs為結(jié)構(gòu)固有頻率；ζs為結(jié)構(gòu)阻尼比；β為慣容質(zhì)量比；ξ(t)為功率譜密度為恒定S0的理想白噪聲；F0為SMA 彈簧的歸一化轉(zhuǎn)換強(qiáng)度；Fys為轉(zhuǎn)換強(qiáng)度；uyt為觸發(fā)SMA 正向相變的位移。

將上述變量代入式（15）可得：

對(duì)結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的位移、速度、加速度響應(yīng)以及外激勵(lì)進(jìn)行拉普拉斯變換：

運(yùn)用上面的拉普拉斯變換算子對(duì)式（17）進(jìn)行拉普拉斯變換得：

推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和慣容器的相對(duì)位移傳遞函數(shù)分別為：

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論［17］得到確定性線性系統(tǒng)的輸出功率譜SXp(ω)為：

式中 輸入功率譜為白噪聲譜，即SF(ω)=S0，其中S0為白噪聲功率譜密度。

使用式（20）和（21），結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的位移方差可表示為：

結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可表示為：

式（22）可以表示為［16］：

結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的頻響函數(shù)絕對(duì)值平方可以表示為：

比較式（25）與（24），可知m的值為4，式（25）分子和分母中的系數(shù)可由下式求解出：引入變量：

在功率譜密度為S0的白噪聲激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的位移方差可表示為［18］：

2 結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的參數(shù)分析

為了能夠研究SMAI 系統(tǒng)內(nèi)不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其減振控制性能的影響，對(duì)結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)分析。這里參數(shù)分析所用的量化指標(biāo)γx（s即位移響應(yīng)減振比）定義為：結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)與無(wú)控結(jié)構(gòu)的均方位移之比。γxs比值越小，代表SMAI 的控制性能越好。

參數(shù)分析所考慮的結(jié)構(gòu)參數(shù)和相關(guān)參數(shù)范圍如下：

結(jié)構(gòu)參數(shù)：ωs=0.5 Hz，ζs=1%，ms=25000 kg；SMAI 系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)考慮為［16-17］：φ∈［0.01，0.1］，F(xiàn)0∈［0.1，0.5］，β∈［0.05，0.1，0.2］；SMA 參數(shù)：a=0.005 m，b=0.02 m，uyt=0.02 m。

圖6 為白噪聲功率譜密度S0=0.01 m2/s3和不同慣容質(zhì)量比β下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的γxs等值線圖，其中不同的顏色區(qū)域代表不同的位移響應(yīng)減振比γxs。圖6 中的冷色區(qū)（紫色和藍(lán)色）代表參數(shù)組合為最有利的區(qū)域，而暖色區(qū)（紅色、黃色和橙色）代表參數(shù)組合為最不利的區(qū)域。

圖6 S0=0.01 m2/s3和不同β 值下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的γxs等值線圖Fig.6 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.01 m2/s3 and different values of β

圖7 S0=0.03 m2/s3和不同β 值下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的γxs等值線圖Fig.7 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.03 m2/s3 and different values of β

圖8 S0=0.05 m2/s3和不同β 值下結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的γxs等值線圖Fig.8 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.05 m2/s3 and different values of β

對(duì)圖6～8 進(jìn)行綜合分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）γxs對(duì)φ相對(duì)不敏感，而對(duì)F0較為敏感；

（2）在相同功率譜密度的白噪聲激勵(lì)下，隨著β增大，參數(shù)組合的有利區(qū)域顯著向左移動(dòng)（即對(duì)F0的需求值逐漸降低）；

（3）不同S0條件下的γxs變化趨勢(shì)大致相同；

（4）隨著S0增加，在相同β下，參數(shù)組合的有利區(qū)域呈右移趨勢(shì)，即隨著S0增加，對(duì)F0值的需求逐漸增加。

3 SMAI 系統(tǒng)的優(yōu)化

3.1 優(yōu)化準(zhǔn)則

本節(jié)研究的重點(diǎn)是通過(guò)減小結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)來(lái)保護(hù)結(jié)構(gòu)的完整性和安全性，因而目標(biāo)函數(shù)定義為：裝配有結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的無(wú)量綱位移均方差。目標(biāo)函數(shù)可以度量SMAI 系統(tǒng)的控制性能，通過(guò)使結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱位移均方差最小化可以得到SMAI 系統(tǒng)相應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)，所以SMAI 系統(tǒng)的優(yōu)化準(zhǔn)則為［16］：

式中L=［φ，F(xiàn)0］，Llb為參數(shù)取值的下界，Lub為參數(shù)取值的上界。一般來(lái)說(shuō)，min.Rs值越小，結(jié)構(gòu)位移控制的有效性越高。

3.2 迭代優(yōu)化流程

表1 不同功率譜密度S0下SMAI 系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Optimal design parameters of the SMAI system with different values of power spectral density S0

圖9 通過(guò)迭代優(yōu)化計(jì)算設(shè)置結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)位移均方差的流程圖Fig.9 Flowchart of the mean square deviation calculation of displacement of the structure with SMAI system through iteration optimization

3.3 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)控制性能

圖10 為S0=0.05 m2/s3時(shí)，設(shè)置不同控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)min.Rs隨慣容質(zhì)量比β的變化趨勢(shì)。如圖10 所示，隨著β增大，各結(jié)構(gòu)min.Rs都呈下降趨勢(shì)，TID與SMAI 系統(tǒng)的控制有效性接近但都優(yōu)于傳統(tǒng)的SMA 阻尼器（SMA 參數(shù)值與不同β情況下SMAI 系統(tǒng)中的SMA 參數(shù)值相同），同時(shí)隨著β的增大，SMAI 系統(tǒng)的控制有效性逐漸提高，但其控制有效性的提升效率逐漸降低；當(dāng)β＞0.4 時(shí)，其控制效率的提升并不顯著（即其控制效率的提升將趨于飽和）。

圖10 在S0=0.05 m2/s3時(shí)不同控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)min.Rs隨β 的變化趨勢(shì)Fig.10 Variation trends of min.Rs of different control systems with β under S0=0.05 m2/s3

圖11 為S0=0.05 m2/s3時(shí)，SMAI 和TID 系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼值隨β的變化趨勢(shì)。從圖11 中可以看出，隨著β增大，TID 與SMAI 系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼值都呈遞增趨勢(shì)，但SMAI 系統(tǒng)最優(yōu)等效阻尼系數(shù)小于TID 系統(tǒng)阻尼系數(shù)，且在大β下尤為明顯。對(duì)圖10和11 綜合分析可知，隨著β增大，SMAI 系統(tǒng)可以在阻尼值相對(duì)較低的情況下取得與TID 系統(tǒng)相近的控制性能。

圖11 在S0=0.05 m2/s3時(shí)TID 和SMAI 系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù)隨β 的變化趨勢(shì)Fig.11 Variation trends of the optimal damping coefficients of the TID and SMAI systems with β under S0=0.05 m2/s3

3.4 結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)行為

圖12 為無(wú)控和SMA，TMDI，TID 和SMAI 系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線。如圖12 所示，隨著總慣容質(zhì)量比增大，不同控制系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線峰值都呈下降趨勢(shì)，其中設(shè)置TMDI，TID 與SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線的峰值比較接近，但都小于設(shè)置SMA 結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)峰值。與TMDI系統(tǒng)相比，TID 和SMAI 系統(tǒng)都無(wú)需附加質(zhì)量塊。

圖12 無(wú)控，SMA，TMDI，TID 和SMAI 系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)位移頻響曲線Fig.12 Displacement frequency response curves of structures without control or under SMA，TMDI，TID and SMAI system control

此外在大慣容質(zhì)量比β情況下分別設(shè)置TID 和SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移頻響曲線的峰值也比較接近，并且他們的頻響曲線峰值都小于設(shè)置SMA 結(jié)構(gòu)的位移頻率響應(yīng)峰值。

4 結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的時(shí)域分析

4.1 白噪聲模擬時(shí)程

為了在時(shí)域內(nèi)驗(yàn)證SMAI 系統(tǒng)的控制性能，將S0=0.05 m2/s3的白噪聲信號(hào)由MATLAB 自編程序隨機(jī)生成，將白噪聲信號(hào)以激勵(lì)力的形式作用于結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)上。本節(jié)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)和前文中取值一致，并利用在頻域內(nèi)得到的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行時(shí)域驗(yàn)證。結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的矩陣形式為：

式中fSMA表示非線性SMA 的恢復(fù)力；P（t）表示激勵(lì)力。

將單自由度結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的動(dòng)力方程（33）轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間方程為：

將連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程（35）轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間狀態(tài)空間方程：

式中Ad=eAΔt為4×4 的離散化系統(tǒng)矩陣；上標(biāo)“Δt”表示時(shí)間步長(zhǎng)；Bd=A-1(Ad-I)B為4×1 的離散化非線性恢復(fù)力向量；Ed=A-1(Ad-I)E為4×1 的離散化荷載向量。

對(duì)于非線性SMA 來(lái)說(shuō)，離散化非線性恢復(fù)力fSMA[k]定義為：

式中D1=[ 1 -1 0 0 ]為連接SMA 的相對(duì)位移輸出向量；G1=[ 0 0 1 -1 ]為連接SMA的相對(duì)速度輸出向量。

相較于 慣容質(zhì)量比β取值為0.4，β取0.5時(shí)的SMAI 系統(tǒng)控制有效性的提升效率并不十分顯著，所以綜合考慮控制有效性和阻尼需求，這里β的取值為0.4。圖13 給出了S0=0.05 m2/s3時(shí)無(wú)控和分別設(shè)置SMA，TID，SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線。從圖13 中可以看出：在慣容質(zhì)量比β=0.4 的情況下，SMA，TID 和SMAI 系統(tǒng)都能有效地減小結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)；與SMA 相比，TID 和SMAI 系統(tǒng)的控制效果更佳，不過(guò)此時(shí)SMAI 系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)約為T(mén)ID 阻尼系數(shù)的3/4。

圖13 白噪聲激勵(lì)下無(wú)控和分別設(shè)置SMA，TID，SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線Fig.13 Displacement time-history curves of structures without control and respectively with SMA，TID，SMAI systems under white noise excitation

圖14 展示了TID 和SMAI 系統(tǒng)中慣容器的位移時(shí)程曲線。由圖14 可以看出，SMAI 系統(tǒng)中慣容器的位移峰值小于TID 系統(tǒng)中慣容器的位移峰值（這時(shí)SMAI 系統(tǒng)中慣容器位移峰值為0.604 m 左右，而TID 系統(tǒng)中慣容器位移峰值為0.662 m左右）。

圖14 白噪聲激勵(lì)下TID 和SMAI 系統(tǒng)中慣容器的位移時(shí)程曲線Fig.14 Displacement time-history curves of inerters of TID and SMAI systems under white noise excitation

圖15 為上述白噪聲激勵(lì)下SMA 的力-位移曲線。從圖15 中可以看出，SMAI 系統(tǒng)中SMA 位移明顯大于傳統(tǒng)SMA 的位移（傳統(tǒng)SMA 的最大位移約為0.57 m，而SMAI 系統(tǒng)中SMA 的最大位移約為0.72 m）。在慣容質(zhì)量比β=0.4 的情況下，SMAI 系統(tǒng)中SMA 滯回位移的最大值與滯回曲線面積都大于傳統(tǒng)SMA 的相應(yīng)值，且TID 系統(tǒng)中慣容器的最大出力為46 kN 左右，SMAI 系統(tǒng)中慣容器的最大出力為23 kN 左右，意味著SMAI 系統(tǒng)中慣容器對(duì)結(jié)構(gòu)的損害更小。

圖15 白噪聲激勵(lì)下SMA 的力-位移曲線Fig.15 Force-displacement curves of SMA under white noise excitation

綜上所述，與TID 系統(tǒng)相比，SMAI 系統(tǒng)中SMA 與慣容器協(xié)同作用可以有效降低慣容器的位移峰值；SMAI 系統(tǒng)中慣容器的最大出力遠(yuǎn)低于TID 系統(tǒng)中慣容器的出力，即SMAI 系統(tǒng)中慣容器對(duì)結(jié)構(gòu)的損害更??；此外慣容器可以進(jìn)一步發(fā)揮SMA 的潛力，通過(guò)放大SMA 位移提高其能量耗散能力。

4.2 脈動(dòng)風(fēng)模擬時(shí)程

選擇一單層結(jié)構(gòu)，并根據(jù)上述的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，給出SMAI 系統(tǒng)的具體設(shè)計(jì)參數(shù)如下：β=0.4，φ=0.001，F(xiàn)0=0.2289。并通過(guò)一組模擬的脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程進(jìn)一步驗(yàn)證SMAI 系統(tǒng)的控制性能。結(jié)構(gòu)參數(shù)為：ωs=0.5 Hz，ζs=1%，ms=250 t，迎風(fēng)面積為（50×16）m2。

圖16 展示了一組模擬的脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程。圖17 給出了其在脈動(dòng)風(fēng)荷載激勵(lì)下無(wú)控和分別設(shè)置SMA，TID，SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線。由圖17 可見(jiàn)，SMA，TID 和SMAI 系統(tǒng)都能有效地減小結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，其中，無(wú)控狀態(tài)下結(jié)構(gòu)位移峰值為0.695 m 左右，SMA 系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)位移峰值為0.239 m 左右，TID 系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)位移峰值為0.171 m 左右，SMAI 系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)位移峰值為0.159 m 左右。特別值得注意的是，此時(shí)SMAI 系統(tǒng)中最優(yōu)等效阻尼系數(shù)僅為T(mén)ID 系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù)的5/7 左右。

圖16 模擬脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程Fig.16 Time-history of simulated fluctuating wind load

圖17 脈動(dòng)風(fēng)荷載激勵(lì)下無(wú)控和分別設(shè)置SMA，TID，SMAI 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線Fig.17 Displacement time-history curves of structures without control and respectively with SMA，TID，SMAI systems under fluctuating wind load

文章研究的單自由度建筑結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)，是為將SMAI 裝置應(yīng)用在多自由度建筑結(jié)構(gòu)中打下理論基礎(chǔ)，在之后的研究中會(huì)在多自由度建筑結(jié)構(gòu)中連接SMAI 并添加風(fēng)譜進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。根據(jù)實(shí)際工程應(yīng)用，應(yīng)將SMA 的一端設(shè)置在橫向位移最大的樓層，一般是在最頂層與樓板相連，另一端則與慣容器相連。慣容器的另一端可通過(guò)設(shè)計(jì)足夠大的樓板開(kāi)口連接到建筑結(jié)構(gòu)的下一層或幾層的樓板處（單自由度建筑結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)中，慣容器一端則直接與地面相連）。形狀記憶合金阻尼器、慣容器在建筑結(jié)構(gòu)中協(xié)同工作的示意圖如圖18 所示。

圖18 形狀記憶合金阻尼器、慣容器在多自由度建筑結(jié)構(gòu)中協(xié)同工作的示意圖Fig.18 Schematic diagram of cooperative operation of shape memory alloy damper and inerter in multi-degree-offreedom building structure

圖18 中，n為基本建筑結(jié)構(gòu)的自由度；wi（i=1，…，n）表示每一層上的風(fēng)荷載激勵(lì)；xi（i=1，…，n）表示基本建筑結(jié)構(gòu)的第i層相對(duì)于地面的位移；mi（i=1，…，n）表示基本建筑結(jié)構(gòu)的第i層的質(zhì)量；下標(biāo)“n-L”表示慣容器所連接的樓層。

5 結(jié)論

本文提出了一種SMAI 協(xié)同系統(tǒng)，首先在頻域內(nèi)揭示了SMAI 系統(tǒng)的減振行為，然后在時(shí)域內(nèi)進(jìn)一步驗(yàn)證了SMAI 系統(tǒng)的控制性能。得出的主要結(jié)論如下：

（1）提出了以結(jié)構(gòu)均方位移響應(yīng)為控制目標(biāo)的SMAI 系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

（2）與傳統(tǒng)的SMA 阻尼器相比，SMAI 系統(tǒng)中慣容器可以顯著提高SMA 的滯回位移，因而提高了其能量耗散能力。

（3）與TID 系統(tǒng)相比，在總慣容質(zhì)量比大于0.3時(shí)，SMAI 系統(tǒng)的最優(yōu)等效阻尼系數(shù)值明顯低于TID 系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)值，并能提供相近的控制有效性；同時(shí)，SMAI 系統(tǒng)中的慣容器出力明顯低于TID 系統(tǒng)中的慣容器出力，這意味著SMAI 系統(tǒng)中慣容器對(duì)結(jié)構(gòu)損傷更小。這些優(yōu)勢(shì)使得SMAI 系統(tǒng)在實(shí)際工程中將具有極佳的應(yīng)用前景。

本文在頻域和時(shí)域內(nèi)對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)-SMAI系統(tǒng)的控制性能進(jìn)行了系統(tǒng)研究。接下來(lái)的研究工作將是使用平穩(wěn)和非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速譜對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)-SMAI 系統(tǒng)的風(fēng)致振動(dòng)控制性能及設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。