空溝對彈性波散射的時域分析：平面SV 波入射

周鳳璽，梁玉旺，朱順望

（1.蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2.西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050）

引言

地基振動控制已經(jīng)成為巖土工程領(lǐng)域亟待解決的課題之一。在地面設(shè)置屏障（空溝和填充溝［1-3］、排樁［4-8］、波阻板［9-12］）能夠減弱振動波向被保護(hù)區(qū)傳播，且地面屏障具有造價低、施工方便、不影響建筑物和波源等優(yōu)點?？諟媳徽J(rèn)為是隔振效率最高的屏障，被廣泛應(yīng)用于隔振工程中。國內(nèi)外學(xué)者對空溝的隔振效果也進(jìn)行了大量的試驗研究和理論分析。在試驗方面：Woods［3］關(guān)于近場和遠(yuǎn)場中空溝隔振問題進(jìn)行了一系列現(xiàn)場原位試驗，提出用振幅衰減比來評價屏障的隔振效果。Ahmad 等［13］和Klein等［14］通過現(xiàn)場試驗對空溝尺寸和位置對隔振性能的影響進(jìn)行了研究，為隔振設(shè)計提出了一些指導(dǎo)原則。之后，Ulgen 等［2］，Celebi 等［15］，Murillo 等［16］研究了激振荷載作用下荷載頻率、土層參數(shù)、屏障尺寸等參數(shù)對空溝和填充溝隔振規(guī)律的影響。在數(shù)值模擬方面：Saikia 等［17］利用有限元程序PLAXIS 對簡諧波載荷作用下的空溝隔振問題進(jìn)行了數(shù)值分析。Shrivastava 等［18］通過三維有限元模型研究了空溝和填充溝幾何尺寸對Rayleigh 波的隔離效果的影響?；谶吔缭?，Emad 等［19］分析了任意形狀二維淺溝的隔振效果，發(fā)現(xiàn)只有在中頻范圍內(nèi)淺溝可以減少25%的地基擾動，且空溝形狀對隔振效果的影響較小。巴振寧等［20-21］采用2.5 維間接邊界元方法（IBEM）研究了空溝對層狀飽和地基中列車移動荷載的隔振性能。Andersen 等［22］和Adam 等［23］則借助邊界元-有限元耦合法分析了列車荷載作用下空溝尺寸和位置對隔振效果的影響。結(jié)合薄層法和邊界元法，文獻(xiàn)［24-25］分析了二維和三維黏彈性層狀地基中空溝的隔振效果，結(jié)果表明地基分層參數(shù)對空溝隔振效果的影響顯著。Hamidi 等［26］通過對連續(xù)打樁過程中的地面振動進(jìn)行有限元建模，分析了空溝深度和寬度等關(guān)鍵參數(shù)對隔振效果的影響。Zhou 等［27］通過完美匹配層來模擬無窮遠(yuǎn)幅射邊界條件，利用二維頻域有限元方法研究了空溝-波阻板的隔振性能。在理論分析方面：徐平等［28］和周鳳璽等［29］基于復(fù)變函數(shù)理論和保角映射方法，通過波函數(shù)展開法分別給出了單空溝和多空溝對平面SH 波隔離的理論解答。

綜上，針對空溝隔振的研究主要集中在對不同載荷以及不同地層等條件下的相關(guān)分析，但是關(guān)于空溝對彈性波隔離的時域分析鮮有研究。比例邊界有限元法是在無限域彈性動力學(xué)問題模擬研究的過程中逐步發(fā)展起來的數(shù)值模擬方法［30-31］，它只需離散邊界而徑向嚴(yán)格解析，不需要基本解且能自動滿足無窮遠(yuǎn)處輻射邊界條件。該方法目前在研究半無限空間中彈性波散射問題方面已有很多應(yīng)用［32-34］。本文基于比例邊界有限元方法（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM），通過土-結(jié)構(gòu)相互作用原理將含有空溝的場地問題分解為近場系統(tǒng)和無限遠(yuǎn)場系統(tǒng)；將無窮遠(yuǎn)處斜入射的平面SV 波轉(zhuǎn)化為作用在近場系統(tǒng)邊界上的等效節(jié)點力，利用四叉樹對近場計算區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格精細(xì)化離散，建立了時域-空間域中彈性波傳播問題的數(shù)值模型。分析了空溝對不同入射角平面SV 波的隔離效果。

1 比例邊界有限元法基本公式

采用SBFEM 建立空溝對彈性波隔振問題的計算模型如圖1 所示。將問題域（圖1（a））分解為有界近場系統(tǒng)和無限遠(yuǎn)場系統(tǒng)（圖1（b））。通過近/遠(yuǎn)場交界面處的相互作用力將兩個部分聯(lián)系起來。

圖1 彈性波入射半空間計算模型Fig.1 Calculation model of elastic wave incident half space

近場系統(tǒng)的SBFEM 動態(tài)剛度矩陣方程為［31-32］：

式中ω為圓頻率；S(ω)為動態(tài)剛度；E0，E1，E2和M0為有限元組裝元素的系數(shù)矩陣，詳細(xì)表達(dá)式如下：

式中B，D和J分別為應(yīng)變位移轉(zhuǎn)換矩陣、材料本構(gòu)矩陣和雅可比矩陣；N(η)為SBFEM 單元邊界形函數(shù)；ρ(η)為質(zhì)量密度；η為SBFEM 的環(huán)向坐標(biāo)。

遠(yuǎn)場系統(tǒng)的SBFEM 動態(tài)剛度矩陣方程可類似地表達(dá)為［31-32］：

式中M，K和C分別為近場系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、靜力剛度矩陣和阻尼矩陣，其中，下標(biāo)“s”表示近場域內(nèi)部的節(jié)點，下標(biāo)“b”表示近/遠(yuǎn)場交界面上的節(jié)點；分別為節(jié)點的總位移、總速度和總加速度，其中ut(t)由散射位移場us(t)和自由位移場uf(t)組成；Ft(t)為總的力場?？刹捎肗ewmark-β法對方程（4）進(jìn)行求解：

式中Fs(t)和Ff(t)分別為由散射位移場us(t)和自由位移場uf(t)引起的力場。

式中t和τ分別為持續(xù)時間和離散時間。

現(xiàn)階段混合動力汽車主要有4種類型，如表1所示。壓縮天然氣、液化石油氣和天然氣是燃?xì)馄嚨闹饕剂希c傳統(tǒng)的普通汽車相比，其二氧化碳排放量得到了大大的降低，并且能夠造成空氣污染的有害氣體也明顯減少，有利于資源節(jié)約和環(huán)境保護(hù)。

將式（7）代入式（6）進(jìn)一步得：

近/遠(yuǎn)場交界面上的相互作用力可表示為：

式（7）～（9）中關(guān)于時間的卷積積分詳細(xì)計算見文獻(xiàn)［31，35］。

2 平面SV 波的輸入

考慮平面SV 波以入射角θ1入射半平面，當(dāng)入射角θ1小于臨界角θc時，入射波遇到自由表面會產(chǎn)生反射SV 波和反射P 波；當(dāng)入射角θ1大于臨界角θc時，入射波遇到自由表面僅產(chǎn)生反射SV 波［36］，如圖2（a）所示。

圖2 平面SV 波入射半空間示意圖Fig.2 Schematic diagram of plane SV wave incident half space

由圖2（b），觀測點P 處的自由場運動可表達(dá)為：

式中ν為半空間土體介質(zhì)的泊松比。

假定入射平面SV 波波前到達(dá)C(x0，y0)點的時刻為t=0，則入射SV 波、反射SV 波和反射P 波在交界面上任意觀測點P(x，y)處的分量可分別表達(dá)為關(guān)于時程響應(yīng)g(t)的激勵函數(shù)［32-33，37］：

式中H為近場區(qū)域的高度。

由彈性力學(xué)中胡克定律幾何方程，可得到應(yīng)力-位移的關(guān)系：

式中σ(x，y)為應(yīng)力張量；D為半空間土體介質(zhì)的本構(gòu)矩陣；ε(x，y)=L(u)為應(yīng)變張量，其中，L 為微分算子，u為位移張量。

自由場運動在近/遠(yuǎn)場交界面上產(chǎn)生的等效節(jié)點力可由交界面上的單元形函數(shù)和表面牽引力確定［32-33］：

式中N為近/遠(yuǎn)場交界面上單元的形函數(shù)；為單元表面牽引力；ds為單元表面；n為單元節(jié)點的外法向量。將式（10）代入式（14）可得自由場應(yīng)力張量σf。

3 算例分析

通過比例邊界有限元法，實現(xiàn)了SV 波在半無限空間中的輸入問題。本節(jié)將給出兩個數(shù)值算例，第一個算例研究了入射平面SV 波在自由場（不含空溝）中的運動位移情況，便于與文獻(xiàn)［36］的解析解進(jìn)行對比，以驗證本文方法及編程計算的正確性；第二個算例研究了空溝（溝寬為w，溝深為h）對彈性波的散射，用以分析平面SV 波入射下空溝對彈性波的隔振效果。

3.1 自由場

將近場區(qū)域截取為矩形，其寬度為100 m，高度為50 m，自由場的近場區(qū)域通過四叉樹網(wǎng)格離散，網(wǎng)格大小為0.625 m＜λf/10（λf為主剪切波波長），如圖3（a）所示。該區(qū)域能夠保證觀察到平面SV 波入射下彈性波入射和反射的運動過程。假定半空間為均勻的、各向同性的彈性介質(zhì)，其物理屬性如表1所示。

表1 彈性半空間的物理屬性Tab.1 Physical properties of the elastic half-space

圖3 近場區(qū)域四叉樹網(wǎng)格離散Fig.3 Near-field region quadtree grid discretization

選用Ricker 子波作為時程響應(yīng)函數(shù)：

式中Amax，f和t0分別為時程最大幅值、傅里葉譜主頻率和位移達(dá)到峰值的時間，并分別取值為Amax=0.001 m，f=10 Hz 和t0=0.5 s，則主剪切波波長為λf=9.2 m。函數(shù)g(t) 的位移時程和頻率如圖4所示。

圖4 脈沖激勵的時程響應(yīng)和頻率響應(yīng)Fig.4 Time history response and frequency response of impulse excitation

取入射角θ1=20°，由圖5 給出了平面SV 波入射自由場時水平位移隨時間變化的情況。從圖5 中可以明顯看出，輸入平面SV 波的入射角經(jīng)測量為20°，當(dāng)入射波遇到地表邊界時產(chǎn)生了反射SV 波和反射P 波，并且反射SV 波的反射角測量值為20°，反射P 波的反射角測量值為26.5°，與式（11）的計算結(jié)果一致。說明本方法可以有效地模擬彈性波在半無限空間中的傳播。

圖5 平面SV 波入射自由場時的位移云圖Fig.5 Displacement cloud diagram of plane SV wave incident in free field

為進(jìn)一步驗證本文計算精度的可靠性，取平面SV 波入射角為20°，以圖3（a）中的點A，B 和C 作為觀測點，繪制水平位移時程響應(yīng)圖如圖6 所示，并與文獻(xiàn)［36］進(jìn)行對比。從圖6 中可以明顯看出，兩者計算結(jié)果非常吻合，說明本文方法精度滿足計算要求。

圖6 半空間中觀測點A，B 和C 處的位移響應(yīng)Fig.6 Displacement response at observation points A，B and C in half space

3.2 空溝對彈性波的散射

同樣假定半無限空間為均勻的、各向同性的彈性介質(zhì)，介質(zhì)的物理屬性如表1 所示。將近場區(qū)域截取為寬度為100 m、高度為50 m 的矩形，以保證能夠觀察到空溝對彈性波的隔離情況。近場區(qū)域的網(wǎng)格離散如圖3（b）所示，其中網(wǎng)格大小為0.625 m＜λf/10。為了說明空溝對彈性波的隔振情況，取空溝寬度w=1 m，深度h=8 m，入射角θ1=20°，不同時刻的水平位移響應(yīng)云圖如圖7 所示。從圖7 中可以看出，當(dāng)彈性波遇到空溝邊界時，空溝前側(cè)的位移被放大（t=1.15 s）；隨著彈性波的進(jìn)一步傳播，空溝前側(cè)有左行波產(chǎn)生（t=1.3 s），這是由于空溝對彈性波的散射、反射等作用所致，這種作用會減弱彈性波的傳播，從而達(dá)到對彈性波的隔振作用。

圖7 不同時刻的水平位移響應(yīng)云圖Fig.7 Cloud diagram of horizontal displacement response at different time

為了進(jìn)一步分析不同入射角和空溝深度對隔振性能影響，將其他參數(shù)歸一化到空溝寬度，并引入位移衰減比AR來評價空溝的隔振效果：

其中，AR值小于1 時說明有隔振效果，且AR值越小隔振效果越好。

3.2.1 入射角的影響

不同h/w取值下，入射角對隔振性能的影響規(guī)律如圖8 所示。從圖8 中可以看出，當(dāng)入射角θ1=0°時，即入射波垂直于地表面入射，由于空溝對彈性波的散射作用，靠近空溝周邊位置處的位移被放大，空溝沒有隔振效果；空溝對入射角較大的彈性波更容易起到反射和散射等作用，因此，隨著入射角的增大，靠近空間前側(cè)位置處的位移放大現(xiàn)象越來越明顯，同時空溝后側(cè)位移響應(yīng)明顯減小了。說明空溝對入射角較大的彈性波有更好的隔振效果。

圖8 入射角對空溝隔振性能的影響Fig.8 Effect of incidence angle on the vibration isolation performance of the open trench

3.2.2 空溝深度的影響

不同θ1取值下，空溝深度對隔振性能的影響規(guī)律如圖9 所示。從圖9 中可以看出，當(dāng)入射角θ1=0°時，靠近空溝周邊位置處的位移放大現(xiàn)象隨著深度的增大而增大，這是因為深度越大，空溝對彈性波的散射效率越高；靠近空溝前側(cè)周邊位置處振幅衰減比AR隨著深度的增大而明顯增大，空溝后側(cè)的振幅衰減比AR隨著深度的增大而明顯減小，即隔振效果更好，這是因為深度越大，彈性波越容易被空溝所阻隔。

圖9 深度對空溝隔振性能的影響Fig.9 Effect of depth on the vibration isolation performance of the open trench

4 結(jié)論

本文基于SBFEM 理論，將問題域劃分為近場系統(tǒng)和無限遠(yuǎn)場系統(tǒng)，利用四叉樹對近場計算區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格精細(xì)化離散；利用位移單位-脈沖響應(yīng)矩陣表示近場和遠(yuǎn)場交界面上的相互作用力；將無窮遠(yuǎn)處斜入射的平面SV 波轉(zhuǎn)化為作用在近場系統(tǒng)邊界上的等效節(jié)點力，建立了半無限空間中空溝對彈性波隔離問題的數(shù)值模型。通過數(shù)值計算，得出了以下結(jié)論：

（1）入射角對隔振效果的影響非常明顯，隨著入射角增大，空溝隔振效果越來越好。

（2）當(dāng)入射角較小時，可以通過增大空溝深度來提高空溝的隔振效果。

（3）隨著深度的增大，越靠近空溝周邊位置處位移放大現(xiàn)象越明顯，實際工程中應(yīng)根據(jù)隔振需求開挖合理的深度，以減少護(hù)壁耗資。