中低速磁浮車輛空氣彈簧動力學建模及其應用研究

王相平，李 星，王劍鋒，吳少培，丁旺才，李國芳

（1.蘭州交通大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.包頭鐵道職業(yè)技術學院鐵道機車車輛系，內(nèi)蒙古 包頭 014060）

引言

中低速磁浮交通是中國具有自主知識產(chǎn)權的新技術，近年來得到了廣泛發(fā)展?？諝鈴椈蓱覓煜到y(tǒng)作為中低速磁浮車輛的關鍵隔振部件，其動力學性能直接影響車輛的安全性、舒適性，是決定中低速磁浮車輛發(fā)展前景的重要因素［1-2］。

近年來，以線性彈簧、阻尼并聯(lián)的空氣彈簧等效模型因其簡單、高效的計算優(yōu)勢而被廣泛應用于中低速磁浮車輛動力學模型中［3-6］，但難以準確表征空氣彈簧系統(tǒng)的幅頻依賴性也致使其計算結果存在較大誤差［7］。羅英昆等［8］運用AMESim 建立了考慮氣動特性的空氣彈簧非線性模型，并結合SIMPACK模擬了小半徑豎曲線上高速磁浮車輛空氣彈簧系統(tǒng)的動力響應；Berg［9］根據(jù)鐵道車輛空氣彈簧力學特征建立了包含彈性力、摩擦力和黏性力的空氣彈簧一維非線性模型，該模型對求解精度和計算效率的合理折衷使得其在軌道車輛動力學分析中被廣泛使用；戚壯等［10-11］進一步考慮空氣彈簧膠囊材料的黏彈性特性，運用分數(shù)階微積分理論修正、優(yōu)化了鐵道車輛空氣彈簧氣動熱力學模型，并將其與UM 結合進行了整車動力學計算；陳俊杰等［12-13］采用摩擦模型和分數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型對空氣彈簧橡膠氣囊的頻率、振幅相關性進行描述，建立了汽車空氣彈簧非線性模型。目前，國內(nèi)外對中低速磁浮車輛空氣彈簧動力學模型的相關研究極少，采用等效線性模型或?qū)⑸鲜鲕囕v空氣彈簧動力學模型移植于磁浮車輛進行計算是最為常見的做法［1-8］。但中低速磁浮車輛無導向電磁鐵，橫向阻尼主要由空氣彈簧懸掛裝置提供［1］，車輛橫向欠阻尼特性導致其空氣彈簧結構與一般鐵道車輛存在顯著差別。以中低速磁浮車用SRI1R160A 和SRI1R160B 系列空氣彈簧［14-15］為例，與鐵道車輛空氣彈簧［16］相比，為滿足其特定安裝方式與功能特點，中低速磁浮車輛空氣彈簧膠囊呈筒形并逐步演化出中央導柱。兩者結構與功能上的巨大差異對現(xiàn)有鐵道車輛空氣彈簧模型是否適用于中低速磁浮車輛提出了新的質(zhì)疑與挑戰(zhàn)，在充分考慮二者結構特征的基礎上，建立合理的中低速磁浮車輛空氣彈簧動力學模型就顯得極為必要。

鑒于此，首先在充分考慮中低速磁浮車輛空氣彈簧結構特征的基礎上，分析各向載荷作用下空簧的受力特征，建立各關鍵部件的力學模型，再依據(jù)力學等效原理，建立方便用于動力學計算的空氣彈簧等效模型；其次進行系統(tǒng)參數(shù)辨識，并以某型空氣彈簧為例對模型進行驗證；最后將本文模型應用于中低速磁浮車輛，通過線路動態(tài)測試結果進一步驗證本文模型工程應用的可靠性。研究結論以期為中低速磁浮車輛動力性能預測提供理論基礎和技術保障。

1 中低速磁浮車輛空氣彈簧系統(tǒng)動力學模型

全文總體技術路線如圖1 所示。圖1 中，F(xiàn)=表示以合力F等于各分力Fi之和建立空簧等效模型；線性剛度K由各部件剛度k1和k2疊加而成；阻尼C由節(jié)流孔阻尼效應等效計算得到，表示為與阻尼孔有效面積s相關的函數(shù)f(s)［8］。

圖1 技術路線Fig.1 Technical route

1.1 結構特征

中低速磁浮車輛空氣彈簧懸掛系統(tǒng)由空氣彈簧、附加氣室、滑臺、防脫開裝置等部件組成，其安裝位置及結構如圖2 所示。圖2 中，空氣彈簧下部經(jīng)錐形銷定位后安裝于懸浮托臂上的空氣彈簧安裝筒內(nèi)，上部通過圓柱銷定位后采用螺栓將其與滑臺固接，滑臺可在導軌上移動，導軌固接于車體，同時連接車體的還有位于懸浮架縱梁上的牽引拉桿。

圖2 空氣彈簧安裝位置及結構示意圖Fig.2 Installation position and structure diagram of air spring

1.2 理論分析

空氣彈簧系統(tǒng)結構如圖3（a）所示。圖3（a）中，H0為空簧標準工作高度；H1為上蓋螺栓高度；H3為上蓋螺栓距摩擦塊距離；D0和D2分別為止擋和膠囊直徑。由于空簧安裝位置較小故將活塞制作為中空結構，使其同時兼具附加氣室和應急止擋的作用。

圖3 空氣彈簧結構特征及其受力分析Fig.3 Structural characteristics and force analysis of air spring

1.2.1 垂向動力學模型

由于上蓋板到摩擦塊的距離H2小于下蓋板到中央導柱底部的距離H4，因此垂向載荷Fz作用下空氣彈簧垂向位移zi＜H2時所受到的力主要有：膠囊本體變形產(chǎn)生的黏彈性力Fze、氣動作用力Fza以及中央導柱與兩側壁面的摩擦力Fzf；當zi≥H2時上蓋板與摩擦塊接觸，壓迫應急止擋，故還需考慮應急止擋作用力Fzs，受力分析如圖3（b）所示。垂向作用力表示為：

式中zu和zd分別為上蓋板和活塞垂向位移。

膠囊由簾線橡膠復合材料制成，其變形產(chǎn)生的彈性力Fze為典型 的黏彈性力［10，12］，故以分 數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型表征；摩擦力Fzf與空簧垂向位移zi密切相關，故以庫侖摩擦模型表征［9］；應急止擋由橡膠與金屬材料粘合而成，具有顯著的非線性特性，故以非線性彈簧-阻尼模型等效；氣動作用力Fza為空氣彈簧系統(tǒng)主要的作用力，結合其幾何特征依據(jù)氣動熱力學相關理論計算。各模型示意圖如圖4所示。

圖4 各非線性模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of each nonlinear model

以分數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型表征的膠囊黏彈性力Fze為［17-18］：

式中Kze為垂向線彈性剛度；bz為分數(shù)導數(shù)阻尼參數(shù)；az為分數(shù)導數(shù)階次；Dazzi(t)表示位移zi(t)的az階分數(shù)導數(shù)。

以庫侖摩擦模型表征的摩擦力Fzf為［9］：

式中Ffs_z和zs分別為參考狀態(tài)的初始力和初始位移；Ffmax_z為最大摩擦力；z2為時所對應的位移大小

以非線性彈簧-阻尼等效的應急止擋力Fzs為：

式中FCzs()和FKzs(zi)分別為阻尼力和彈性力；Kzs和Czs分別為其非線性剛度和阻尼。

氣動作用力Fza為［13］：

式中Se(zi)為空氣彈簧有效面積；p為膠囊內(nèi)氣體壓強；pa為大氣壓強。

考慮中央導柱幾何特征，膜式空氣彈簧的有效面積Se(zi)為［19-20］：

式中κ為空簧高度對有效面積的影響因子［19-20］；z0為空簧初始工作高度；Ra為壓強變化后的氣囊半徑；RD為氣囊初始半徑；Tz為氣囊厚度；δ=0.8；Q1和Q2為與鋪層角相關的值；D1為中央導柱直徑。

理想氣體過程方程與體積表達式如下式所示：

式中p0為初始狀態(tài)氣體壓強；V和V0分別為當前和初始狀態(tài)氣體體積；α為有效體積變化率；n為氣體多變指數(shù)，取n=1.30～1.38。

結合式（10），可將式（6）中的氣體壓強p表示為下式形式：

將式（7）和（11）代入式（6），則氣動作用力Fza為：

1.2.2 縱/橫向動力學模型

空簧為對稱結構，其縱/橫向動力學模型一致［9］。本節(jié)縱/橫向力求解的目的是構建其與垂向的力學/幾何關系，如此僅完全解析某一方向作用力便可得到整體模型的力學關系。限于文章篇幅，后文僅給出橫向模型計算過程，縱向計算與橫向計算完全一致，僅將y替換為x即可，故不再贅述。

橫向力Fy作用下空氣彈簧上下蓋板發(fā)生相對橫移，此時系統(tǒng)所受作用力主要有：中央導柱橫向力Fyf、膠囊體積變化引起的橫向氣動作用力Fya、膠囊自身變形產(chǎn)生的橫向力Fye和應急止擋橫向力Fys，受力分析如圖3（c）所示。圖3（c）中，yd和yu分別為活塞和上蓋板橫移量；yi為任意狀態(tài)下的空簧橫向位移。橫向力Fy表示為：

應急止擋以金屬材料為主，為各向同性材料，其橫向力Fys可按式（5）計算。以空簧中軸線為Z軸，上蓋板處為XOY平面建立坐標系，膠囊結構各向應力如圖5 所示。

圖5 膠囊結構應力分析Fig.5 Structural stress analysis of rubber balloon

在上蓋板與應急止擋約束作用下，膠囊軸向變形橫截面為平面上的環(huán)狀結構，故軸向應力σφ為：

式中R0(zi)，R1(zi)分別為與高度相關的膠囊內(nèi)、外徑。

在膠囊囊壁取徑向長度dr、軸向長度單位1、周向dθ角度的微元體，如圖5（c）所示。則由法線方向上∑F⊥=0 可得：

式中σr為徑向應力；σθ為周向應力；r為所取微元體到回轉(zhuǎn)中心的徑向距離，r∈[R0，R1]。

周向應力σθ作用下囊壁周向纖維伸長，橫截面圓環(huán)周長增大，半徑對應增大，記增大量為w；徑向應力σr作用下囊壁徑向拉伸，膠囊壁厚增大，記增大量為dw，如圖5（c）所示，則周向應變εθ、徑向應變εr分別為：

結合式（17），對周向應變εθ求導，整理后可得：

根據(jù)應力-應變關系，εθ和εr可分別表示為：

式中E和μν分別為膠囊材料的彈性模量和泊松比。

聯(lián)立式（18）和（19），可得膠囊變形的應力微分方程為：

系統(tǒng)的邊界條件為：

結合式（14），由式（20）和（21）可得三向應力之間的函數(shù)關系式為：

則各向作用力為：

式中Si為i向應力作用面積，i分別表示軸向φ、周向θ和徑向r。

則膠囊自身變形產(chǎn)生的橫向力Fye為：

即最終可建立如式（24）和（25）所示的Fye與Fze（Fφ）的函數(shù)關系，在式（3）計算出軸向力Fze的基礎上求得橫向力Fye。

與垂向類似，橫向氣動作用力Fya為：

式中Se_y(yi)為影響橫向剛度的有效面積，是空簧有效半徑Re和氣囊自由圓弧中心垂向位移Δzi的函數(shù)，可按下式計算［21］：

根據(jù)幾何關系，圓弧中心垂向位移Δzi為［21］：

式中Ha為膠囊高度；Hb為氣囊自由圓弧中心距膠囊橫向邊界的距離。Ha，Hb和H3等參數(shù)見圖3（a）。

中央導柱橫向力Fyf主要為導柱抵抗變形的作用力，其值較大，故以彈性模量表征剛度。

1.2.3 模型等效

依據(jù)各作用力特性所建立的空氣彈簧垂向、橫向動力學模型如圖6（a），（b）所示。模型復雜、參數(shù)較多導致其難以直接用于車輛動力學計算，故基于力學等效原理，建立空氣彈簧等效模型如圖6（c）所示。

圖6 空氣彈簧動力學模型Fig.6 Dynamics model of air spring

圖6（c）中，Kz和Cz分別為垂向剛度和阻尼，其各項組成如圖6（a）所示；Ky和Cy分別為橫向剛度和阻尼，其各項組成如圖6（b）所示。圖6（a），（b）中，符號K和C分別表示剛度和阻尼，其下標首字母z和y分別表示垂向和橫向，下標第二位字母e，f，a和s分別表示彈性項、摩擦項、氣動項和應急止擋非線性項。各向剛度按下式計算：

系統(tǒng)中的庫侖阻尼、結構阻尼以及其他非黏性阻尼，均采用能量法轉(zhuǎn)化為等效黏性阻尼，即：

式中 ΔE為黏性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量，庫侖阻尼ΔE=-4μFzA，結構阻尼ΔE=-vA2，其中μ和v分別為摩擦系數(shù)和比例系數(shù)；A和ω0分別為激振力的振幅和圓頻率。

2 系統(tǒng)參數(shù)辨識方法

需要辨識的系統(tǒng)參數(shù)有：庫侖摩擦模型中的初始力Ffs_z和初始位移zs，最大摩擦力Ffmax_z及對應的位移z（2式（4））；分數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型中的剛度Kze、阻尼參數(shù)bz和導數(shù)階次az（式（3））；應急止擋、膠囊材料、氣動作用力所對應的剛度與阻尼（圖6）。庫侖摩擦模型參數(shù)通過空氣彈簧靜態(tài)試驗辨識；分數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型參數(shù)通過動態(tài)試驗辨識；剛度與阻尼通過滯回曲線辨識。力-位移滯回曲線如圖7 所示［9］。

圖7 力-位移滯回曲線Fig.7 Hysteretic curve of force-displacement

主氣室靜態(tài)試驗加載頻率極低，膠囊黏彈性特性可以忽略，此時主氣室靜剛度Kz僅取決于摩擦模型和氣動特性，即［9］

其中，Kze+Kza由滯回曲線zi=±z0兩點處斜率求得；KAB由靜態(tài)滯回曲線兩端點所連直線AB的斜率求得。

則庫侖摩擦模型中相關參數(shù)之間的關系為：

式中Kmax為zi=±z0時滯回曲線的最大斜率；Ffmax_z為滯回曲線在zi=±z0時兩切線垂向距離的一半，如圖7 所示［9］。庫侖摩擦模型中的初始力Ffs_z和初始位移zs可由加載特性獲取。

主氣室靜態(tài)試驗低頻加載時節(jié)流孔中氣體流動速度緩慢，阻尼效果不明顯［11］，故結合式（6），已知空簧內(nèi)壓時氣動剛度Kza為：

式中Ve(zi)為空簧有效體積。

則分數(shù)導數(shù)Kelvin-Voigt 模型中線彈性剛度Kze為：

主氣室動態(tài)試驗時膠囊黏彈性不可忽略，記動態(tài)特性試驗時主氣室動剛度為KD_Z，則分數(shù)導數(shù)模型中分數(shù)導數(shù)項對主氣室總體剛度的貢獻KK_V為：

式中Kzf為摩擦模型剛度與圖7 中的“Kze+Kza”類似，KD_Z可由動態(tài)試驗滯回曲線zi=±z0兩點處斜率求得。已知KK_V時，式（3）分數(shù)導數(shù)項可等效表示為：

動特性加載曲線為正弦型，即

式中AD為加載位移幅值；ω為圓頻率。式（38）可寫為：

在求得不同頻率對應的KK_V后，將其用形如下式的曲線擬合：

則根據(jù)下式可求得分數(shù)導數(shù)項的值：

應急止擋、膠囊材料、氣動作用力所對應的剛度和阻尼按照式（31）和（32）計算。在已知滯回曲線時，式（32）中ΔE可表示為滯回環(huán)面積的函數(shù)，按文獻［11］計算。

3 基于測試的模型參數(shù)辨識

3.1 模型參數(shù)與測試方法

本文所建立的空氣彈簧模型參數(shù)見表1。表1中，尺寸參數(shù)各符號與圖3（a）對應，特征參數(shù)各符號與式（6）～（9）對應。需要說明的是，部分模型參數(shù)及后續(xù)實驗數(shù)據(jù)源自文獻［14-15］，有效面積、有效體積及其變化率等部分特征參數(shù)通過幾何關系計算得到，限于文章篇幅，此處僅給出計算結果。

表1 空氣彈簧模型參數(shù)Tab.1 Parameters of air spring model

空氣彈簧的垂向靜、動態(tài)特性測試依據(jù)標準文獻［16］執(zhí)行，加載曲線如圖8 所示。

圖8 空氣彈簧靜、動態(tài)測試加載過程Fig.8 Loading process of static and dynamic test of air spring

靜態(tài)測試時安裝高度為標準工作高度260±2 mm，加載波形為三角波，加載速度為0.8 mm/s，采用10 mm 振幅時的結果評定空簧垂向剛度，在氣囊內(nèi)分別充入0.7，0.6，0.5，0.4，0.3 MPa 壓縮空氣，每個工況循環(huán)3 次，取第3 次測得的力-位移曲線，靜剛度測試加載過程如圖8（a）所示。動態(tài)測試安裝高度為260±2 mm，加載幅值為70 mm 的正弦波，在氣囊內(nèi)分別充入0.6 和0.3 MPa 壓縮空氣，每個工況循環(huán)5 次，取第5 次測得的力-位移曲線，動剛度測試加載過程如圖8（b）所示。

空氣彈簧滿載載荷Fm=13 kN，在進行應急止擋的力-位移特性測試時，最大加載載荷取1.25Fm［16］，即16.25 kN。測試時，將0～16.25 kN 的載荷以10 mm/min 進行加載，兩相鄰載荷之間測試不停頓，進行3 次循環(huán)加載，從第3 次循環(huán)開始記錄數(shù)據(jù)。

3.2 參數(shù)辨識與結果對比

內(nèi)壓為0.3 MPa 時，空氣彈簧主氣室靜態(tài)測試得到的力-位移滯回曲線如圖9 所示。

圖9 主氣室靜態(tài)測試滯回曲線Fig.9 Hysteresis curve of static test of main gas chamber

將圖9 中的結果代入式（34）～（36），得：z2=1.22 mm；Kza=45.68 N/mm；Kze=3.91 N/mm；Kzf=9.95 N/mm。再將上述參數(shù)代入式（37）～（44），結合動態(tài)測試結果辨識分數(shù)導數(shù)項參數(shù)，得：az=0.1997，bz=2.1985。

應急止擋載荷-位移曲線如圖10 所示。對其線性擬合，95%置信區(qū)間內(nèi)其剛度可用斜率表示為：

圖10 應急止擋載荷-位移曲線Fig.10 Emergency stop load-displacement curve

結合式（32），其阻尼為：

至此，垂向模型各參數(shù)辨識完畢。將各參數(shù)代入式（1）～（6），繪制出內(nèi)壓為0.3 MPa 時的各作用力如圖11（a）所示；內(nèi)壓為0.3 和0.6 MPa 時垂向力Fz的計算值與測試值對比如圖11（b）所示。圖11（a），（b）表明，±70 mm 范圍內(nèi)，氣動作用力Fza為空簧垂向力Fz的主要成分；大于70 mm 時，應急止擋力Fzs發(fā)揮主要作用。計算值與測試值能夠較好吻合，驗證了本文垂向模型及其參數(shù)辨識結果的正確性。但式（1）結構成分的復雜性導致其應用難度大，故擬通過擬合Fz-z曲線以建立圖6（c）模型對應的函數(shù)表達式。

圖11 空氣彈簧測試結果及計算結果Fig.11 Test results and calculation results of air spring

圖10 和11 表明，大于70 mm 時止擋力Fzs可線性表示，故以70 mm 為臨界點對Fz進行擬合。zi∈[-70，70] mm 時，由式（1）可知，F(xiàn)z由三項組成，考慮常數(shù)項，采用三次多項式擬合Fz-z曲線，0.3 和0.6 MPa 時擬合結果分別為：

其中，F(xiàn)z單位為N，擬合度R2分別為0.9982和0.9987。

圖11（c）為標準高度下不同內(nèi)壓對應的空簧載荷曲線。對測試值進行線性擬合，擬合度高達0.99987，這表明Fz-p呈線性關系。故可對式（47）進行線性插值，得到不同內(nèi)壓與±70 mm 行程范圍內(nèi)的垂向力為：

依據(jù)式（24），（25）和（27）計算得 到內(nèi)壓0.3 MPa 時各橫向力如圖12 所示。圖12 中Fya和Fye分別為與膠囊變形和加載頻率相關的力，F(xiàn)ys和Fyf幾乎不受加載頻率影響，當橫向位移達到對應值后即會作用。

圖12 內(nèi)壓0.3 MPa 時的橫向力Fig.12 Transverse force at 0.3 MPa internal pressure

依據(jù)前述結果，根據(jù)式（31）和（32）計算出空氣彈簧系統(tǒng)的剛度和阻尼特性如圖13 所示。

圖13 空氣彈簧系統(tǒng)剛度、阻尼特性曲線Fig.13 Stiffness and damping characteristic curves of air spring system

圖13（b）中，橫向位移0～0.5 mm 為空簧上、下蓋板最大橫向相對位移，在此范圍內(nèi)主要為膠囊變形產(chǎn)生的氣動剛度、摩擦剛度以及膠囊自身的黏彈性力對應的剛度；0.5～6 mm 為應急止擋變形區(qū)，剛度即為圖10 中的擬合斜率b；大于6 mm 時系統(tǒng)橫向剛度主要由剛度更大的中央導柱提供。

4 不同空氣彈簧模型的動力學特征比較

結合線路動態(tài)測試結果，基于UM 建立磁浮車輛動力學模型，對比本文模型與線性模型的差異。線性模型中的剛度與阻尼通過空氣彈簧動剛度試驗確定，即剛度由橡膠氣囊和附加氣室等效計算獲得，阻尼由節(jié)流孔阻尼效應等效計算得到［8］。線性模型參數(shù)取值為：縱/橫向剛度為2.6×106N/m，阻尼為1860 N·s/m；垂向剛度為5.3×104N/m，阻尼為3110 N·s/m。

軌道不平順幅值為±2.5 mm，依據(jù)文獻［22-23］反演。以空簧上部固接于車體的導軌安裝座評估其隔振性能，10～80 km/h 運行速度下導軌安裝座處各向加速度有效值（RMS）如圖14（a）～（c）所示。由圖14（a）～（c）可見，速度低于30 km/h 時本文模型與線性模型計算結果相當，大于30 km/h 時線性模型計算結果逐漸偏大，且速度大于60 km/h 時偏大程度進一步增大。由前文分析結果可知，空簧剛度、阻尼與其動位移相關，以垂向為例，取30 和60 km/h 速度下30 s 內(nèi)導軌安裝座處垂向動位移計算結果進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)采樣總數(shù)6000 個，不同位移出現(xiàn)頻次如圖14（d）所示。對比圖14（d）可見，速度為60 km/h 時兩模型計算結果差異顯著，主要是動位移大于平均數(shù)時線性模型對應數(shù)據(jù)點個數(shù)大于非線性模型。

圖14 直線線路模型對比Fig.14 Comparison of straight line model

中低速磁浮車輛可通過最小曲線半徑50 m，目前實際運營線路最小曲線半徑100 m，全線最高運營速度100 km/h，為兼顧120 km/h 提速運營的需求，進一步考慮選取800 m 半徑曲線，各曲線線路參數(shù)依據(jù)標準文獻［23］設置。半徑50，100，200，300，800 m 曲線對應最大通過速度15，40，60，70，120 km/h［23］。由于空簧縱/橫向模型相同，且平曲線線路橫向動態(tài)作用顯著，故以下僅給出各曲線上導軌安裝座處橫向、垂向計算結果，如圖15 所示。

圖15 曲線線路模型對比Fig.15 Comparison of curve line model

R=100 m 時，速度為5，15，25 km/h 時的測試結果分別為橫向0.05，0.18，0.56 m/s2，垂向0.02，0.07，0.12 m/s2；R=300 m 時，速度為20，40，60 km/h 時的測試結果分別為橫向0.33，0.96，1.72 m/s2，垂向0.09，0.27，0.51 m/s2，與 圖15（a）～（b）對比可見其與本文模型較為接近。由圖15（a）～（b）可見，同一速度下（低速）曲線半徑越小，線性模型計算結果偏差越大，同一曲線半徑車輛通過速度越大，線性模型偏差越大。以車輛速度為60 km/h 通過200 m 半徑曲線為例，如圖15（c）所示（圖15（c）中：區(qū)間①為直線；②為緩和曲線；③為圓曲線），可見導軌安裝座處垂向加速度線性模型幾乎全程均略大于本文模型，圓曲線處尤為顯著；橫向加速度線性模型在緩和曲線與圓曲線過渡處以及圓曲線處顯著大于本文模型，直線處兩者較為接近。這表明，在提速時車輛動力學性能預測以及100 m 以下小半徑曲線工程應用中線性模型的計算結果存在較大誤差。

進一步對比兩種模型的頻率特性。車輛以15 km/h 通過R105 m+45‰曲線線路時，經(jīng)空簧減振后導軌安裝座處各向振動加速度功率譜密度如圖16 所示。

圖16 導軌安裝座處各向振動加速度功率譜密度（PSD）Fig.16 Power spectral density（PSD）of vibration acceleration in each direction at guide rail mounting seat

圖16（a）為0～1000 Hz 內(nèi)導軌安裝座處的垂向PSD 圖，可見低頻內(nèi)兩模型PSD 幅值和變化趨勢均存在顯著差異，但隨著頻率增加兩者變化趨勢逐漸接近，線性模型PSD 值略大于非線性模型。空簧系統(tǒng)固有頻率一般在0.7～3 Hz［21］，該型空簧固有頻率f0＝2.62 Hz，當激勵頻率大于時發(fā)揮隔振效果，故選取0～6 Hz 對比分析兩模型頻率特性的差異。由圖16（b）～（d）可見，縱/垂向頻率小于1 Hz、橫向頻率小于5 Hz 時線性模型PSD 值顯著小于非線性模型。結合前文空簧系統(tǒng)剛度、阻尼特性曲線，可認為兩模型出現(xiàn)差異的原因是：線性模型恒定的剛度與阻尼導致其對低頻減振特性表征不足而過高地評價了中高頻減振特性。

5 結論

基于振動力學與彈性力學基本原理，構建了考慮膠囊、中央導柱、應急止擋等關鍵部件力學特性的中低速磁浮車輛空氣彈簧垂向、橫/縱向動力學模型，推導了垂向-橫/縱向力學關系，探究了系統(tǒng)參數(shù)的辨識方法，基于力學等效原理給出了簡化模型，并以某型空氣彈簧為例，通過空簧試驗與車輛線路動態(tài)測試結果對比驗證了本文模型的準確性與優(yōu)越性，主要結論如下：

（1）建立了考慮膠囊黏彈性特性、中央導柱摩擦/支撐特性以及整體氣動特性的磁浮車輛空氣彈簧垂向、橫/縱向非線性模型，構建了垂向與橫/縱向的力學關系，探究了系統(tǒng)參數(shù)的辨識方法，試驗驗證了模型的準確性。

（2）±70 mm 行程范圍內(nèi)，磁浮車輛空氣彈簧垂向力與內(nèi)壓、高度之間的關系可用三次多項式準確表述；垂向位移大于70 mm 時，載荷與位移呈線性關系，結構的特殊性導致磁浮車輛空氣彈簧橫向剛度遠大于垂向，且近似呈分段線性。

（3）磁浮車輛提速時的動力學性能預測以及半徑100 m 以下曲線線路動態(tài)通過性能計算時線性模型誤差較大。具體表現(xiàn)為：直線線路上車輛速度大于30 km/h 時線性模型計算結果大于本文模型，且速度越高偏差越大；半徑小于100 m 的曲線線路上線性模型計算結果顯著大于本文模型；同一半徑曲線線路車輛通過速度越大線性模型偏差越大，車輛速度大于60 km/h 時尤為顯著。剛度與阻尼恒定的線性模型對低頻減振特性的表征不足和對高頻減振特性的過高估計是造成計算誤差的主要原因。