關注數(shù)學課堂細節(jié)，發(fā)展學生幾何直觀

張海華

摘 要

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，有助于把握問題本質，明晰思維的路徑。教師要重視發(fā)展學生幾何直觀能力，不斷精進自身對幾何直觀的深刻理解，并在新授課教學、解題教學中重視學生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關鍵詞

初中教學 幾何直觀 數(shù)軸

最近，筆者參加學校組織的青年教師匯報課的觀課與評課活動，內容是蘇科版數(shù)學七年級上冊“數(shù)軸（第1課時）”。開課的六位教師都是近三年參加工作的，教學熱情高，課前都進行了精心備課，不論是教案、學案的精致呈現(xiàn)，還是課件的精美設計都是值得肯定的。課堂上，教師也能與學生保持積極互動、對話追問。七年級學生剛剛進入初中階段，對數(shù)學充滿興趣，“數(shù)軸”的教材內容不算太難，課堂氛圍很好。課后帶教師父、教研專家們對青年教師們的點贊式課堂予以高度評價。然而，對于數(shù)軸這樣一個重要的數(shù)學工具，如何教出深度？還是引發(fā)了筆者的進一步思考。

一、從一節(jié)“數(shù)軸”新授課的觀課說起

1.關于“原點”位置

教師在講解數(shù)軸定義時，給出的數(shù)軸都是標準的圖形，即原點位于“正中”位置，后續(xù)練習時提供的數(shù)軸原點也都處在“正中”位置。從學生的畫圖和練習來看，學生都是這樣來畫數(shù)軸的。比如，教師給出一道練習題，讓學生在數(shù)軸上表示出-1和6.5這兩個數(shù)，結果很多學生畫成如圖1所示的數(shù)軸。

教師在點評或展示學生的作業(yè)時，如果能發(fā)現(xiàn)如圖2所示的畫法，應給予學生表揚，這將有利于學生深刻理解數(shù)軸三要素之一的“原點”。因為原點并不一定要在直線的“正中”，它只是一個基準，“基準”是一種規(guī)定，也是培養(yǎng)學生思維靈活性的重要機會。

2.對“單位長度”的理解

有的教師講解如何在數(shù)軸上表示[7/10]時，指出只要會表示[1/10]就好辦了，并在黑板上示范把數(shù)軸上的單位長度平分成10份，取其中的7份就可以了。該教師還借助動畫呈現(xiàn)如何不斷“細分單位”（如圖3），該動畫生動呈現(xiàn)了如何將0.1進一步細化出更小的單位長度。

上述講解方式有利于學生理解“更小”的分數(shù)（小數(shù)）的表示方法，但是筆者認為，這種方法還不能引導學生深刻理解“單位長度”的本質。比如，我們需要在數(shù)軸上表示出[710]（如圖4）。這時教師需要引導學生對照數(shù)軸定義理解圖4是否滿足定義中“規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線”，這樣做能加深學生對數(shù)軸定義的理解。為了鞏固學生對數(shù)軸的理解，教師還可以進一步追問學生“如何在數(shù)軸上快速標出2023與-2023”，這個練習可以鞏固學生對數(shù)軸“單位長度”的理解。

二、關于發(fā)展學生幾何直觀的幾點思考

1.教師要不斷精進對幾何直觀的深刻理解

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下稱《課標》）指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，有助于把握問題本質，明晰思維的路徑。筆者認為，對于幾何直觀的理解因人而異，且有一個不斷深入的過程。同樣對一個概念的呈現(xiàn)與揭示，甚至像上文提到的數(shù)軸，這樣看似簡單的概念，筆者提到的這兩處細節(jié)與教學建議，不少“老教師”都表示沒有做過深入思考。試想，如果教師缺少對這類問題的深入思考，就很難在新授課中為學生“打開一扇窗”。教師還可以多加研究多元表征理論，中學階段的函數(shù)概念的提出，正是多元表征理論的典型例證，函數(shù)可以用表格、圖像、表達式來表示，教師要有準確的理解，并在講解這些不同的表示方式時，引導學生從幾何直觀的視角進行理解。

2.數(shù)學概念新授課要重視幾何直觀的滲透

教師應注重新授課概念的不同預設方式，比如數(shù)軸的文字表示方式、圖形表示方式，包括數(shù)軸的相關概念（三要素）等；與之同類的概念教學，比如平面直角坐標系就可以類比數(shù)軸進行；再如，乘法公式的新授課，既要給出文字表示，也要給出符號表示，還可以給出乘法公式的圖形直觀。

教師在教學設計時的一個重要工作就是進行概念分析，概念分析的常用途徑是在各種問題情境中考查學生如何運用概念。以圓周角的新授課為例，當我們結合圖形定義圓周角之后，教師要引導學生對照定義學會辨識圓周角，讓學生繼續(xù)探究同弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關系，還需分類討論不同位置關系狀態(tài)下的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關系，這也是《課標》所提出的幾何直觀的重要內涵之一：會根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質。與上文提到的數(shù)軸的原點位置關系相關的又一處新授課教學細節(jié)，即關于“二次函數(shù)的圖像和性質”的新授課中，筆者在組織學生畫出形如y=x2-6x+15的圖像時，引導學生先將其配方成頂點式y(tǒng)=（x-3）2+6，明確它的頂點、對稱軸位置，再選取恰當?shù)淖鴺溯S位置，即可畫出更合理的圖像。

3.數(shù)學解題教學時要加強幾何直觀的演示

不少教師在數(shù)學解題教學中都會進行“一題多解”，有效培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、靈活性。

為有效發(fā)展學生的幾何直觀，在開展一題多解的解法探究時，教師要特別關注從數(shù)、形兩個角度對解法進行研究，這樣可以讓學生既感受到數(shù)式演算的嚴謹性，又能從圖形演示的角度看到問題的直觀性。在七年級上學期期末復習階段，以數(shù)軸為背景的綜合題很多，數(shù)軸的“深刻性”還體現(xiàn)在數(shù)軸習題的解答過程中有很多數(shù)學思想方法，首先就是數(shù)形結合（根據不同習題的解法特點，又可細化為以形助數(shù)、以數(shù)馭形、數(shù)形互助）。到八年級學習函數(shù)之后，學生又要靈活運用平面直角坐標系來研究函數(shù)問題，對學生的數(shù)形結合能力和圖形直觀能力也提出了較高的要求。另外，不少省市中考試卷中，對幾何綜合題的考查側重于補圖能力的訓練，還需要教師在解題教學時培養(yǎng)學生補全圖形的能力，而不是直接給出完整圖形，只讓學生完成“后半段”的解題過程，這樣不利于學生幾何直觀能力的培養(yǎng)，也不利于學生解題能力的提升。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)丁所初級中學）