一道經(jīng)典高考試題的深度思考與拓展

沈文炳，毛新文，朱呈記

1.湖北省鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北 咸寧 437100

2.崇陽(yáng)縣香山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，湖北 咸寧 437500

3.通山縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，湖北 咸寧 437600

高考?jí)狠S試題對(duì)學(xué)生的思維能力要求高。如何突破壓軸試題的思維難點(diǎn)，提升學(xué)生解決問(wèn)題的思維能力層次，是高三備考的關(guān)鍵。本文以一道經(jīng)典的高考試題——2018 年江蘇卷物理第22題為例，借助GeoGebra 軟件，對(duì)試題進(jìn)行拓展和延伸，直觀呈現(xiàn)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程和狀態(tài)細(xì)節(jié)，使學(xué)生思維從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)向拓展抽象結(jié)構(gòu)能力層次發(fā)展。

1 試題呈現(xiàn)

例1如圖1 所示，釘子A，B 相距5l，處于同一高度。細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M 的小物塊，另一端繞過(guò)A 固定于B。質(zhì)量為m 的小球固定在細(xì)線上C 點(diǎn)，B，C 間的線長(zhǎng)為3l。用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時(shí)BC 與水平方向的夾角為53°。松手后，小球運(yùn)動(dòng)到與A，B 相同高度時(shí)的速度恰好為零，然后向下運(yùn)動(dòng)。忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：

圖1 試題原圖

（1）小球受到手的拉力大小F；

（2）物塊和小球的質(zhì)量之比M：m；

（3）小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物塊所受的拉力大小T。

評(píng)析：?jiǎn)栴}（1）的思維能力層次要求為多點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生需要正確分析小球的受力，并利用力的合成和分解的知識(shí)建立方程，求解拉力大小。問(wèn)題（2）為弱關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生需要從運(yùn)動(dòng)的角度理解小球和物塊的速度均為先增大后減小。當(dāng)小球處于高度AB 時(shí)，小球和物塊的速度均為零。學(xué)生還需要從做功的角度判斷系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，并根據(jù)能量守恒定律列出相應(yīng)的方程。問(wèn)題（3）屬于強(qiáng)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生需要知道小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球和物塊的速度為零，兩細(xì)繩垂直，夾角為90°。物塊的加速度和小球的切向加速度大小相等，小球的向心加速度為零。學(xué)生需要利用牛頓第二定律分別對(duì)小球和物塊列出方程并求解［1］。

解析（1）由于BC=3l，AB=5l，故AC=4l，∠ACB=90°。小球和小物塊均平衡，繩子AC 拉力大小為Mg，繩子BC 拉力為F1。對(duì)小球分析，把重力分解到兩繩方向，有F1=（mg+F）sin53°，Mg=（mg+F）cos53°，解得（2）小球運(yùn)動(dòng)到與AB 等高過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律，有mg×3lsin53°=Mg（4l+3l-5l），解得（3）由機(jī)械能守恒定律可知，小球回到C 點(diǎn)速度為零。此時(shí)切向加速度為a，由牛頓第二定律有Mg-T=Ma，T-mgcos53°=ma，得

2 運(yùn)動(dòng)分析

小球和物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能分別是多少？ 它們的動(dòng)能是否同時(shí)達(dá)到最大呢？

利用速度關(guān)聯(lián)確定物塊與小球的速度關(guān)系，利用余弦定理和正弦定理確定物塊和小球的位置關(guān)系，通過(guò)能量守恒定律求解物塊和小球的動(dòng)能和角度的關(guān)系，并用GeoGebra 軟件作出小球和物塊的動(dòng)能和角度的圖像，直觀地呈現(xiàn)出關(guān)聯(lián)物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。確定兩物體不是同時(shí)達(dá)到動(dòng)能的最大值，由此打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力［2］。

2.1 小球動(dòng)能與角度的關(guān)系

為了簡(jiǎn)單，設(shè)m=2 kg，M=2.4 kg，g=10 m／s2。當(dāng)∠ABC=θ 時(shí)，小球速度為v1，v1與繩AC 的夾角為α，物塊速度為v2，繩AC 長(zhǎng)度為x，如圖2 所示。由余弦定理可知，x=

圖2 小球和物塊的速度關(guān)系圖

小球和物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒

代入上述相關(guān)關(guān)系及數(shù)據(jù)，可以得到

利用GeoGebra 軟件，作小球動(dòng)能和角度的關(guān)系圖像（圖3）?？芍?dāng)角度θ=0.26 rad，即θ=14.9°時(shí)，小球動(dòng)能達(dá)到最大值6.96 J。當(dāng)角度0.26 rad≤θ≤0.92 rad，即14.9°≤θ≤53°時(shí)，隨著角度變小，小球動(dòng)能越來(lái)越大。當(dāng)角度0 rad≤θ≤0.26 rad，即0°≤θ≤14.9°時(shí)，隨著角度變小，小球動(dòng)能越來(lái)越小。

圖3 小球動(dòng)能和角度的關(guān)系圖

2.2 物塊動(dòng)能與角度的關(guān)系

由上述關(guān)系可以同時(shí)求出物塊動(dòng)能和角度的關(guān)系

利用GeoGebra 軟件，作物塊動(dòng)能和角度的關(guān)系圖像（圖4）。當(dāng)角度θ＝0.5 rad，即θ=28.66°時(shí)，物塊動(dòng)能達(dá)到最大值4.87 J。

圖4 物塊動(dòng)能和角度的關(guān)系圖

對(duì)比圖3 和圖4，小球從最低點(diǎn)釋放后向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球和物塊不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大動(dòng)能。物塊先達(dá)到最大動(dòng)能，然后小球達(dá)到最大動(dòng)能。

3 平衡分析

改變?cè)囶}條件，對(duì)試題進(jìn)行變化，有利于我們從不同角度理解物理模型，豐富物理模型的情境，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生思維的靈活性和開(kāi)放性。

如圖5（1）所示，保持小球質(zhì)量m 不變，改變物塊質(zhì)量M，使系統(tǒng)平衡。設(shè)繩AB 長(zhǎng)度為l，繩BC 長(zhǎng)度為l1、與豎直方向的夾角為α，繩AC 長(zhǎng)度為x、與豎直方向的夾角為β。分析繩BC 的拉力F、物塊質(zhì)量M 分別與夾角α 的關(guān)系。

小球受力分析圖如圖5（2）所示。力的平衡三角形中，由正弦定理得幾何三角形中，由正弦定理得，由余弦定理得x2=l2+l21-2ll1sinα。

圖5 小球平衡及受力圖

從上述三個(gè)方程可以解得

為理解方便，設(shè)m=0.1 kg，l1=0.5l，g=10 m／s2，0≤α≤90°。利用GeoGebra 軟件，作M－α 圖像和F－α 圖像如圖6 和圖7 所示。

圖6 M－α 圖像

圖7 F－α 圖像

由圖6 可以看出，隨著角度α 的增加，物塊質(zhì)量M 先增加緩慢，然后增加很快。

由圖7 可以看出，隨著角度α 的增加，繩BC的拉力先減小然后增加。由可以得出，當(dāng)sinα=時(shí)，繩BC 的拉力F 取極小值，此時(shí)AC 垂直BC。