逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用探究

陳若冰

【摘要】初中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)過程中開展逆向思維培養(yǎng)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答各類數(shù)學(xué)問題，不僅可以開拓其數(shù)學(xué)解題的思路，提升他們問題解答的效率，還能借此使學(xué)生掌握正向解題、逆向解題兩種方式，使其能夠快速簡(jiǎn)化問題的解析難度，進(jìn)而提高其自主解答數(shù)學(xué)問題的能力.對(duì)此，為了使逆向思維解題教學(xué)發(fā)揮出更好的效果，文章從思維培養(yǎng)視角出發(fā)，闡述教師通過開展逆向引導(dǎo)、逆向推論、逆向求解等解題活動(dòng)，提高學(xué)生思維應(yīng)用能力的具體策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題教學(xué)

引 言

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下，教師不僅要讓學(xué)生扎實(shí)掌握學(xué)科理論知識(shí)和數(shù)學(xué)解題技能，還要培養(yǎng)他們會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力.基于此，在數(shù)學(xué)解題課程中，教師若想進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力，需要拓展他們的解題思路，通過有效的教學(xué)手段啟發(fā)他們的逆向思維，引導(dǎo)他們運(yùn)用逆向思維方式理解數(shù)學(xué)問題，獲得新的解題思路，找到有別于以往模式化解題方法的問題解決辦法，從而提升其問題解決的效率，提高學(xué)生的逆向思維能力.

一、逆向思維的概述

（一）逆向思維的概念

逆向思維是相對(duì)于正向思維而言的，是對(duì)正向思維進(jìn)行反方向拓展，也被稱之為求異思維，具體指的是從反方向角度出發(fā)思考問題、研究問題和解決問題的一種逆向思維方式.學(xué)生在使用逆向思維時(shí)，能夠突破傳統(tǒng)思維的束縛，從與眾不同的角度出發(fā)，對(duì)問題進(jìn)行反方向探究，從而總結(jié)出區(qū)別于以往模式化解決方法的全新方案.在數(shù)學(xué)課程中，逆向思維通常應(yīng)用于解題教學(xué)之中，學(xué)生需要從數(shù)學(xué)求解問題反推回已知條件，通過反方向思考數(shù)學(xué)知識(shí)，使問題變得更加簡(jiǎn)單化，從而快速得出數(shù)學(xué)問題的答案.

（二）逆向思維的特征

逆向思維具有普遍性、新穎性、批判性三個(gè)主要特征.普遍性指的是在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生需要對(duì)問題進(jìn)行多角度、多方面、全方位的分析與審視，要從常規(guī)思維的反向視角出發(fā)，推導(dǎo)數(shù)學(xué)知識(shí)的理論和原理，從而簡(jiǎn)化問題理解的難度，提高問題解決的效率.新穎性指的是學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，要摒棄傳統(tǒng)的循規(guī)蹈矩式問題分析方法，突破固化思維的束縛，可以采用更為靈活的反向思考方式，對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行多方面的深入研究，進(jìn)而厘清問題解答的思路，找到更出人意料的數(shù)學(xué)解題方法.批判性指的是學(xué)生在運(yùn)用逆向思維解題時(shí)，需要克服思維定式，打破以往的問題解析模式，摒棄傳統(tǒng)的常規(guī)化解題途徑，自覺找尋與眾不同的正確解題方法.

二、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的具體措施

（一）引導(dǎo)逆向思維應(yīng)用，培養(yǎng)逆向思維解題意識(shí)

數(shù)學(xué)教師若想提高學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答數(shù)學(xué)問題的能力，就要先培養(yǎng)他們應(yīng)用逆向思維解題的意識(shí)，使其掌握正確高效的逆向思維運(yùn)用方法，體會(huì)到逆向思維應(yīng)用的作用和意義，進(jìn)而更加自覺地訓(xùn)練他們靈活運(yùn)用逆向思維的能力.

首先，數(shù)學(xué)教師需要結(jié)合教材知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探究逆向思維的內(nèi)涵，感悟逆向思維的應(yīng)用意義.例如，在教授華師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二單元“絕對(duì)值”知識(shí)時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從正、反兩方面視角出發(fā)，對(duì)絕對(duì)值的概念、性質(zhì)進(jìn)行深入研究.比如，學(xué)生通過分析教材中的案例，能夠知道正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，而負(fù)數(shù)的絕對(duì)值則是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這里初步涉及逆向思維.對(duì)此，教師可以結(jié)合絕對(duì)值的定義設(shè)計(jì)逆向思考問題，如“已知|m|=-m，則m的取值范圍是什么？”在解答上述問題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)絕對(duì)值的定義，運(yùn)用逆向思維思考-m與m之間的關(guān)系，通過反向推導(dǎo)，得到m的取值范圍.學(xué)生通過解答這一問題，能夠初步領(lǐng)悟逆向思維的內(nèi)涵，了解逆向思維的應(yīng)用場(chǎng)景.

其次，教師再借助案例習(xí)題教授學(xué)生逆向思維的正確運(yùn)用方法，讓他們更加直觀地感受逆向思維解題的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)而逐漸形成較強(qiáng)的逆向思維應(yīng)用意識(shí).以華師大版九年級(jí)上冊(cè)第二十一單元“二次根式”課程為例，教師可以圍繞此部分知識(shí)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維推理問題答案.比如“某一數(shù)學(xué)方程的根為-2和3，求這個(gè)方程.”針對(duì)這個(gè)問題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生了解二次根式和一元二次方程相關(guān)的知識(shí)有哪些，同時(shí)，運(yùn)用因式分解法探究此問題的解決方法.比如，學(xué)生可以先根據(jù)題目?jī)?nèi)容設(shè)一個(gè)方程，如a（x+2）（x-3）=0，然后，他們?cè)賹?duì)a進(jìn)行取值代入（不含0），通過多次反向推理運(yùn)算，得出最終答案.在此過程中，學(xué)生能夠?qū)σ阎獥l件和未知結(jié)果進(jìn)行互逆推導(dǎo)，用反方向探究的方式快速得出問題結(jié)果，同時(shí)，初步掌握逆向思維的運(yùn)用方法，形成良好的逆向解題意識(shí).

（二）開展逆向思維訓(xùn)練，提高逆向思維解題能力

教師為了更加高效地提升學(xué)生逆向思維運(yùn)用能力，提高他們數(shù)學(xué)解題的效率，需要開展有效的逆向思維訓(xùn)練活動(dòng).教師可以圍繞各單元知識(shí)點(diǎn)開展數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練活動(dòng)，為學(xué)生提供更多逆向思維應(yīng)用的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們從反向角度出發(fā)，探究數(shù)學(xué)問題的逆向解法，借此提升其將復(fù)雜問題簡(jiǎn)化的水平，使其更加扎實(shí)地掌握逆向思維應(yīng)用方法，從而提升其逆向解題的能力.

1.逆向判定數(shù)學(xué)理論

判定數(shù)學(xué)定理、判斷數(shù)學(xué)理論是最常出現(xiàn)，也是最為基本的一個(gè)數(shù)學(xué)問題類型，這對(duì)于加深學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念和理論的理解具有重要意義，同時(shí)，這也是鍛煉他們逆向思維能力較為基礎(chǔ)的一類題型.基于此，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，使其能夠從反向角度出發(fā)，以逆向推斷或判定的方式探究問題結(jié)論，使其更加快速地找到數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升解答判定類數(shù)學(xué)問題的效率.

以華師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五單元“平行線的判定”課程為例.在鞏固平行線的性質(zhì)和判定知識(shí)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)如下習(xí)題：圖1中∠1=∠3，∠2=∠4，∠6=∠8，其中能夠判定直線a與直線b平行的條件有哪些？

此題的目的是考查學(xué)生是否掌握平行線的判定方法.對(duì)此，學(xué)生需要運(yùn)用逆向思維，結(jié)合圖中信息，從多個(gè)角度出發(fā)判定直線a與直線b平行，同時(shí)推斷各角之間的關(guān)系，然后再?gòu)膯栴}中選出符合要求的條件.在解題過程中，學(xué)生通過探究各項(xiàng)信息之間的內(nèi)在關(guān)系，找到更為靈活、更為高效的問題解答途徑，通過反向推導(dǎo)，快速得出問題答案，從而提升數(shù)學(xué)解題的效率.

2.逆向解析數(shù)學(xué)題目

分析和理解數(shù)學(xué)題目是解答數(shù)學(xué)問題的第一個(gè)步驟，也是實(shí)現(xiàn)高效解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生若能透徹理解題目的意思，了解出題者的意圖，同時(shí)知道題目所考查的相關(guān)知識(shí)，則可以更加快速地厘清解題思路，找到更為精準(zhǔn)的解題路徑，從而提升問題解答的效率與質(zhì)量.在這里需要注意的是，學(xué)生若是只依靠常規(guī)的正向解題思維研究數(shù)學(xué)問題，則很容易陷入出題者所設(shè)下的“陷阱”之中.因此，教師需要教授他們逆向檢測(cè)方法，使其能夠運(yùn)用逆向思維檢查習(xí)題結(jié)果的準(zhǔn)確性，以此來避開“隱秘的陷阱”，提高解答數(shù)學(xué)問題的準(zhǔn)確率.

在數(shù)學(xué)問題逆向解析過程中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生逆向分析題目?jī)?nèi)容，探尋問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后再提煉其中的關(guān)鍵信息，同時(shí)根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行合理運(yùn)算.之后，學(xué)生再運(yùn)用逆向思維檢查習(xí)題結(jié)果，確保習(xí)題解答的正確性.以華師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第六單元“解一元一次方程”課程為例.教師可以設(shè)計(jì)如下問題：李雷今年的年齡是8歲，他祖父的年齡是62歲，問多少年后，祖父的年齡是李雷年齡的4倍.在解題過程中，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生先深入研究習(xí)題題目，探尋出題者的考核意圖.比如，此題考查的是一元一次方程知識(shí)，其關(guān)鍵點(diǎn)不僅是“多少年后”，還包括“4倍”，所以，學(xué)生不能簡(jiǎn)單地計(jì)算李雷和祖父的年齡值，而是要圍繞4倍年齡差進(jìn)行年限計(jì)算.對(duì)此，學(xué)生可以先把“多少年”設(shè)置為未知數(shù)x，然后再根據(jù)題目中的提示信息列出一元一次方程，即8+x和62+x，之后再結(jié)合4倍年齡差對(duì)方程式進(jìn)行求解，最終得出“10年后”這一結(jié)果.之后，學(xué)生需要將10代入原題之中，再一次確認(rèn)10年之后祖父的年齡為李雷年齡的4倍，用逆向思維檢查結(jié)論的準(zhǔn)確性.學(xué)生通過深入解析數(shù)學(xué)題目，逆向驗(yàn)證問題結(jié)果，既可以躲避問題“陷阱”，提高解題的準(zhǔn)確率，又能形成良好的逆向驗(yàn)證意識(shí)，提高逆向思維能力.

3.逆向證明數(shù)學(xué)定理

數(shù)學(xué)教師教授學(xué)生數(shù)學(xué)定理的逆向證明方法，是提高他們的逆向思維能力，使其更加透徹地理解數(shù)學(xué)概念性、理論性知識(shí)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量的一種有效授課方法.逆向證明指的是從數(shù)學(xué)問題的結(jié)論出發(fā)，對(duì)其進(jìn)行反方向推導(dǎo)，由果反向推理出問題的因，然后再根據(jù)因果關(guān)系，得出問題的最終答案.學(xué)生運(yùn)用逆向證明法解答數(shù)學(xué)問題，能夠更加快速地解答一些難以用正向推導(dǎo)法解決的復(fù)雜性問題，進(jìn)而提升解題的效率與能力.逆向思維證明法包括反證法、逆證法和分析法.比如，學(xué)生若想證明數(shù)學(xué)不等式，可以從習(xí)題結(jié)果出發(fā)，逆向求出問題的初始條件，從而找到新的解題途徑.

以華師大版八年級(jí)上冊(cè)第十三章“等腰三角形的判定”課程為例.學(xué)生通過學(xué)習(xí)此單元知識(shí)，能夠知道“等腰三角形的兩個(gè)底角不能是鈍角，也不能是直角，只能是銳角，而此圖形的頂角則可以是鈍角，也可以是直角”這一定理.在逆向思維訓(xùn)練活動(dòng)中，教師可以圍繞此定理設(shè)計(jì)證明習(xí)題.例如，針對(duì)圖2中的等腰三角形，證明此圖形的兩個(gè)底角必為銳角.

對(duì)此，在逆向證明過程中，學(xué)生需要先做出假設(shè)，即假設(shè)∠B和∠C同為直角或鈍角，然后計(jì)算三角形三個(gè)內(nèi)角之和，而這兩種角的內(nèi)角之和均大于180°，這與三角形的內(nèi)角和為180°定理相悖，由此便可推斷出等腰三角形的兩個(gè)底角既不能是鈍角，也不能是直角.而根據(jù)這一結(jié)果進(jìn)行反向推理，便可證明等腰三角形的兩個(gè)底角必為銳角.學(xué)生運(yùn)用逆向證明方法證明數(shù)學(xué)定理的正確性，既可以突破定勢(shì)思維的束縛，提高逆向思維的運(yùn)用能力，又能降低證明題的錯(cuò)誤率，提高反向證明的質(zhì)量.

4.逆向運(yùn)用數(shù)學(xué)法則

初中數(shù)學(xué)教材中所包含的數(shù)學(xué)公式或運(yùn)算法則，有一部分是具有雙向性特點(diǎn)的，相互之間可以進(jìn)行合理逆轉(zhuǎn).對(duì)此，教師可以利用這部分知識(shí)點(diǎn)的特征開展逆向思維的培養(yǎng)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)公式相互逆轉(zhuǎn)的方法解答習(xí)題，以此來提高他們運(yùn)用逆向思維解題的水平.比如，針對(duì)某個(gè)算式習(xí)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用公式的逆向使用方法，或者采用排除法對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算和解答，從而快速得出算式結(jié)果.數(shù)學(xué)公式或法則的逆向運(yùn)用不僅可以拓寬學(xué)生的運(yùn)算思路，還能借此培養(yǎng)他們另辟蹊徑的解題意識(shí)，同時(shí)，提高其一題多解、逆向解題的能力.

此時(shí)再代入已知條件，便可得出5這個(gè)結(jié)果.傳統(tǒng)的解題方法是直接代入x字母數(shù)值，而逆向解題方法則是先對(duì)算式進(jìn)行變換和簡(jiǎn)化，再代入x的值，最后求出算式結(jié)果.學(xué)生通過解答此類習(xí)題，能夠進(jìn)一步掌握公式互逆的解題方法，同時(shí)提高逆向解答數(shù)學(xué)算式的效率.

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)學(xué)教師若想提高學(xué)生解答各種數(shù)學(xué)問題的效率與能力，可以開展逆向思維培養(yǎng)活動(dòng)，幫助學(xué)生突破傳統(tǒng)思維的束縛，使其能夠從不同視角出發(fā)探尋多元解題途徑，通過反向思考、反向推導(dǎo)，快速得出問題結(jié)論，證明數(shù)學(xué)定理，同時(shí)提高運(yùn)用逆向思維解題的水平.

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