時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的有限差分方法

丁 鵬，梁宗旗

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門361021)

0 引言

近年來，由于分?jǐn)?shù)階微積分的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)與工程的各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，如光學(xué)[1]、流體力學(xué)[2]、化學(xué)[3]、物理學(xué)[4]、金融[5]和其他自然科學(xué)[6]。在分?jǐn)?shù)階微分方程理論分析上，已經(jīng)有大量學(xué)者開展了許多重要的工作[6-14]。但是，大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解依然難以直接給出，即使是含有特殊函數(shù)的線性分?jǐn)?shù)階微分方程亦是如此。由于這些特殊函數(shù)大多是無窮級數(shù)，其收斂速度比較慢，導(dǎo)致這些函數(shù)的計(jì)算也變得相當(dāng)困難。因此，分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解成為當(dāng)今相關(guān)研究領(lǐng)域的課題之一。

本文研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程

(1)

u(x，0)=φ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈[-L，L]，

(2)

u(-L，t)=0，u(L，t)=0，t∈(0，T]。

(3)

其中：f(x，t)為已知函數(shù)；φ(x)、ψ(x)為初值函數(shù)。Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

(4)

關(guān)于時(shí)間α(0<α≤1)階偏微分方程的數(shù)值解法，已經(jīng)有豐富的研究成果，但相對時(shí)間α(1<α≤2)階偏微分方程而言，其數(shù)值求解的研究成果比較欠缺。Zhang等[12]將時(shí)空分?jǐn)?shù)階非線性Klein-Gordon方程進(jìn)行有限差分L1格式離散，空間上進(jìn)行譜離散，利用線性化的方法將非線性項(xiàng)線性化，并利用能量法證明其離散格式是無條件穩(wěn)定的。Vong等通過構(gòu)造一維和二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的空間緊差分格式，得到空間上4階的收斂階，并利用能量法證明了其收斂性和穩(wěn)定性[15-16]。Chen等[17]利用時(shí)空譜方法求解了時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性Klein-Gordon方程的數(shù)值解，并證明了其離散格式的收斂性和穩(wěn)定性。事實(shí)證明，關(guān)于差分格式收斂性和穩(wěn)定性的分析，大都采用能量法證明數(shù)值解是有條件或無條件穩(wěn)定的。Sun等[13]提出了一種新的能量分析方法來分析多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的收斂性與穩(wěn)定性，給出有關(guān)Caputo導(dǎo)數(shù)L1差分格式的相關(guān)結(jié)果，證明了時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合次擴(kuò)散方程和擴(kuò)散波方程有限差分格式的收斂性與穩(wěn)定性。事實(shí)表明，這種新的能量分析方法也能推廣應(yīng)用到其他時(shí)間α(1<α≤2)階偏微分方程的數(shù)值求解問題，分析其有限差分格式的收斂性和穩(wěn)定性。因此，本文利用這種新的能量分析方法，嚴(yán)格證明時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的L1有限差分格式的收斂性與穩(wěn)定性。

1 時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程有限差分的構(gòu)建

記Λ：=[-L，L]，I=(0，T]，Ω=Λ×I，將求解區(qū)域Ω={(x，t)|-L≤x≤L，0

分別在節(jié)點(diǎn)(xi，tn)和(xi，tn-1)考慮方程(1)，并相加得到

u(xi，tn-1)]=[f(xi，tn)+f(xi，tn-1)]/2，1≤i≤M-1，1≤n≤N。

對時(shí)間Caputo導(dǎo)數(shù)采用L1格式逼近，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分格式逼近，得到

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 收斂性和穩(wěn)定性分析

(11)

(12)

(13)

(14)

式(14)等式右端第一部分和第二部分分別利用分部求和公式，得到

(15)

(16)

將式(15)～式(16)代入式(14)中，得到

(17)

式(17)乘以Δt，將n從1到N求和，并利用引理3，得到

(18)

式(18)利用引理2，得到

(19)

利用引理5，式(19)右端最后一項(xiàng)得

(20)

將式(20)代入式(19)中，得到

(21)

(22)

式(22)可改寫為

(23)

(24)

定理1證畢。

類似于定理1的證明，差分格式(11)～(13)有如下的收斂性，即定理2。

證明用式(5)～式(7)減去式(11)-式(13)，得到

(25)

(26)

(27)

3 數(shù)值例子

表1分別給出了α=1.3、1.5、1.8和Δt=1/10、1/20、1/40、1/80差分格式(11)～(13)的誤差和收斂階。從表1中可以看出，差分格式(11)～(13)在無窮模下的時(shí)間方向上收斂階為3-α。表2給出了α=1.3、1.5、1.8和M=10、20、40、80差分格式(11)～(13)在T=1處的誤差和收斂階，得到無窮模下的空間收斂階為2。由表1和表2可以看出，差分格式(11)～(13)的收斂速度較快，而且數(shù)值結(jié)果和理論分析結(jié)果是一致的。

表1 例1的不同時(shí)間步長下的最大誤差及收斂階 (M=1 000)Tab.1 The maximum errors and convergence orders with different time node for example 1 (M=1 000)αΔtE∞(h,Δt)Order11.31/108.385 5×10-3—1/202.597 0×10-31.691 11/408.031 4×10-41.693 11/802.492 7×10-41.688 01.51/101.936 5×10-2—1/206.927 0×10-31.483 11/402.463 8×10-31.491 41/808.747 7×10-41.493 91.81/105.953 4×10-2—1/202.631 7×10-21.177 71/401.154 8×10-21.180 01/802.179 3×10-31.188 3

表2 例1的不同空間步長下的最大誤差及收斂階(N=1 000)Tab.2 The maximum errors and convergence orders with different spatial node for example 1 (N=1 000)αME∞(h,Δt)Order21.3107.691 5×10-2—201.838 6×10-22.064 7404.495 5×10-32.032 1801.119 8×10-32.005 31.5106.337 2×10-2—206.927 0×10-31.985 5403.964 3×10-32.013 1801.002 2×10-31.983 91.8104.442 2×10-2—201.113 3×10-31.996 4402.689 5×10-32.049 4806.700 7×10-42.005 0

同例1，例2給出了有關(guān)時(shí)間和空間方向上無窮模下的誤差和收斂階。由表3可以看出，當(dāng)α=1.3、1.5、1.8、時(shí)間步長成1/2倍減少時(shí)，差分格式(11)～(13)的時(shí)間方向上是3-α階收斂的。由表4可以看出，當(dāng)α=1.3、1.5、1.8時(shí)差分格式(11)～(13)在無窮模下的空間方向上收斂階為2。這與定理2中差分格式的收斂階是O(Δt3-α+h2)是一致的，說明數(shù)值結(jié)果和理論分析是一致。

表3 例2的不同時(shí)間步長下的最大誤差及收斂階(M=1 000)Tab.3 The maximum errors and convergence orders with different time node for example 2 (M=1 000)αΔtE∞(h,Δt)Order11.31/101.112 2×10-1—1/203.448 2×10-21.689 61/401.064 8×10-21.695 21/803.282 7×10-31.697 71.51/102.470 4×10-1—1/208.845 8×10-21.481 71/403.146 9×10-21.491 11/801.115 9×10-21.495 61.81/107.116 8×10-1—1/203.131 2×10-11.184 41/401.371 1×10-11.191 31/805.988 1×10-21.195 2

表4 例2的不同空間步長下的最大誤差及收斂階(N=1 000)Tab.4 The maximum errors and convergence orders with different spatial node for example 2 (N=1 000)αME∞(h,Δt)Order21.3102.949 9×10-2—207.129 2×10-32.048 9401.768 4×10-32.011 3804.435 9×10-41.995 11.5102.543 1×10-2—206.266 0×10-32.021 0401.572 3×10-31.994 7804.073 4×10-41.948 61.8101.913 9×10-2—205.048 4×10-31.922 6401.447 6×10-31.802 2805.453 9×10-41.408 3

4 結(jié)論

本文利用新的能量分析方法，證明了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程標(biāo)準(zhǔn)L1差分格式的穩(wěn)定性與收斂性。數(shù)值例子證明，該方法是一個(gè)簡單、經(jīng)濟(jì)和高效的數(shù)值方法。下一步的研究將基于L1新的能量分析方法推廣應(yīng)用到其他時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程上，證明其有限差分格式解的穩(wěn)定性和收斂性。除此之外，還可以建立基于L2新的能量分析法來證明時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程高階的差分格式穩(wěn)定性和收斂性。